CHAPITRE VI. — RELATIONS
que s'écrit la relation existant entre les cosinus des dièdres, formés par les 4 faces A, B, C, D d'un tétraèdre.
L'équation en S d'un degré quelconque pourrait très bien s'écrire aussi sons la forme d'un déterminant égalé à zéro. Toutefois, s'il s'agissait d'étudier cette équation, par exemple de démontrer que toutes ses racines sont réelles, il serait bon de développer ce déterminant et d'ordonner le polynôme obtenu suivant les puissances décroissantes de S.
899, L'emploi des déterminants, pris sous leur forme abrégée, permet de donner à certains résultats un aspect facile à retenir.
Supposons que co soit une fonction arbitraire de u et de v] u et v^ des fonctions connues de x^y, z; mais 5, une fonction inconnue de
x^ y] et que l'on ait
cp(w, v) = o.
L'élimination de la fonction arbitraire 9 conduit, on le sait, à une équation linéaire aux dérivées partielles de ::, dérivées que l'on représente, depuis Monge, par les lettres p et q. On pourrait chaque fois former cette équation par le calcul. On peut l'écrire immédiatement, si l'on établit, une fois pour toutes, qu'elle se peut mettre sous la forme
du dv
dx dx
du ôv
ôy ây
du dv
dz dl
qui est très régulière et se retient très bien.
900. Considérons encore la condition nécessaire et suffisante
pour que le trinôme
P dx -^ q dy ^ R dz,
où P, Q, R sont des fonctions données de x, y, z, soit une différentielle totale exacte. Cette condition s'exprime, on le sait, par l'égalité
\dz dy I ^ \ Ox Oz I \dy dz J
qui est fort régulière, mais demande une certaine attention. ]Ne
vaut-il pas mieux l'écrire sous la forme
P dP
ûx
dy
ôz
bien que cette forme soit purement mnémonique, les deux termes de chaque dérivée partielle y étant séparés l'un de l'autre?
Ordre des deux membres.
901. Supposons choisies les deux expressions qui doivent consliliier les deux membres d'une relation quelconque. Dans ({uel ordre faut-il écrire ces deux expressions? Laf|uelle des deux doit être mise au premier membre, laquelle au second ? La réponse est facile lorsqu'on se rappelle la nature de la relation et le but qu'on vise en l'écrivant.
Une relation n'est autre chose c\iî une propo.sitio/i dont le premier membre est le sujet, dont le second est \ attribut, et dont le signe de relation |)récisément est le verbe, i^e but (ju'on se pro|)ose, lorsqu'on écrit une relation, c'est d'instruire le lecteur en lui faisan I connaître une propriété du sujet de la proposition, c'est-à-dire du premier membre de la relation.
