CHAPITRE VII. — RELATIONS CONTINUES

des variables soient égaux entre eux , et que les coefficients des rectangles soient tous nuls.

910. Dans tous les exemples qui précèdent, chaque élément est représenté par une seule lettre. Il se pourrait qu'il consistât en une expression quelconque. C'est à l'aide île récjnalion continue

(ABCD) = (BADG) = ( GDAB) = (DCBA)

que Creniona a (') exprimt- l'égalité existant enire 4 rapports anhainioniques.

911. Cependant il ne faut point abuser des équations continues. C est un lort de désigner l'origine des coordonnées par

11 serait si sim|)le de l'appeler le point (o, o, o ), ou le point dont les 6 coordonnées sont nulles!

Relations continues.

912. De même que l'on considère des égalités continues, on peut considérer des inégalités continues ou, plus généralement, des relations continues cpielconques. On peut considérer, j)ar exemple, l'inégalité continue

a <:i b <i c <C d, et la relation continue

Chacune de ces relations continues équivaut à un système de relations simples. La première, au système des o relations

la seconde, au système des i relations

p = g, qâr.

(') Géométrie projective, traduction française, in-S", Paris, p. 5i..

Les relations conliniies pourraient être regardées comme le résultat de la juxtaposition, avec contraclioi), des relations simples au système desquelles elles sont équivalentes.

913. Il suit de là, pour la lecture de ces relations continues, les mêmes difficultés que pour celles des égalités continues.

Considérons l'inégalité continue

Si on lit, sans virgule, a plus petit que b plus petit que c plus petit que d, on forme une phrase qui n'appartient à aucune langue. Si on lit, avec virgules, a plus petit que 6, plus petit que c, plus petit que cl, le nombre a paraît seul en cause : on ne fait point connaître les grandeurs relatives des nombres b, c, d. — Le mieux, ce serait de dire les relations simples au système desquelles la relation continue équivaut, ou bien d'employer l'énoncé sans virgule que nous venons de critiquer, en le regardant, bien entendu, comme une abréviation des plus incorrectes.

914. Supposons qu'il s'agisse d'expi'imer : que S est plus grand que A, mais plus petit que B; — que .a:, qui est supérieur à a, est compris entre a et [i; — que la différence b„ — a„, qu'on sait positive, est inférieure à £„. On écrira les 3 inégalités continues

O <bn— an< t„.

Il n'y a là nulle difficulté.

Or, dans un Ouvrage excellent, je trouve ces 3 égalités continues

écrites sous ces formes,

bn — an> O < S„,

qui sont évidemment absurdes. C'est là évidemment une distraclion de l'auteur. Ne proviendrait-elle pas de ce qu'il se prononçait à lui-même, en écrivant, les phrases : S plus grand que A mais plus petit que B; x supérieur à a mais inférieur à |j; 6„ — a,i