CHAPITRE XI. — DIRECTION DES CALCULS. 45l

Dans l'équation

y"^ z^- -H z-x- -H x'^y'^ — '}.x'-yz — ly-zx — iz-xy = o,

qui, en coordonnées Lrilinéaires, représente l'hypocycloïde à 3 rebroussements, le premier membre est très bien écrit. — Si cette même équation afifectaitla forme

y-Z' -i- z^x- -\- x-y- — ix-yz — ixy-z — 2xyz'^ = o,

que je rencontre en un bon Ouvrage, son premier membre serait mal écrit, puisqu'on y tournerait dans la première moitié, mais non pas dans la seconde.

Lorsque plusieurs fonctions, plusieurs équations peuvent se déduire les unes des autres par permutations circulaires, il est toujours commode d'effectuer ces permutations. Par exemple, des 3 fonctions

(b-c)\ (c-af, {a-by,

on ne calculera que la première : les autres s'en déduiront mécaniquement.

1067. Lorsqu'un système d'équations à plusieurs inconnues ne change pas, ou plutôt reste équivalent à lui-même, quand on y permute, à la fois, circulairement, les inconnues d'une part et certaines données de l'autre, il en est évidemment de même de tous les systèmes c[ui en sont des conséquences, et en particulier de celui qui nous donne les expressions des inconnues. Il suffit donc de calculer une seule de celles-ci. Par permutation circulaire, on en peut déduire les autres.

Soit le système

y -h z — X — a, z '\- X — y=zb, -^ -^y — ^ = c,

qui ne change point lorsqu'on y permute circulairement, d'une part x^y^ ^, de l'autre «, 6, c. Si, par un moyen quelconque, on a trouvé la valeur de x, on en déduira immédiatement, par permutation circulaire, celles de y et de z.

Addition des équations.

1068. Comme nous l'avons dit précédemment, les équations analogues doivent être placées les unes sous les autres, d'une façon très

régulière. Il faut qu'elles se succèdent dans un ordre convenable; (|u'elles soient écrites de la même manière; et, dans la plupart des cas, que leurs termes semblables se correspondent exactement.

1069. Lorsque ces équations se déduisent les unes des autres par permutations circulaires, elles doivent donc se succéder dans Tordre même où ce procédé nous les donne. C'est ce qui a lieu dans le système

Lorsque ces équations résultent d'une suite de calculs, il les faut

placer dans l'ordre où ces calculs nous les fournissent. C'est ce que

l'on voit sur le système

A = Al «1 -+- A,,

Al = Aoa, -+- A3,

A, = A3 as -h Ai,

formé des égalités qu'on obtient lorsqu'on réduit en fraction continue le quotient de A par A,.

1070. Dans toutes ces équations analogues, les termes doivent être groupés de la même l'açon. 11 en est ainsi dans les deux s\stèmes qu'on vient d'écrire. — Mais, lorsque les équations considérées doivent être ajoutées ou retrancbées membres à membres, il faut de plus que leurs ternies semblables soient e\Aclemeï\{ placés les uns sous les autres. Dans ce dernier cas, il faut donc renoncer à procéder par permutations circulaires. Le premier des deux systèmes précédents devrait donc s'écrire

jr

C'est de celte façon encore qu'il convient d'écrire les systèmes d'équations linéaiies, lorscjue l'on y veut considérer le déteniiinant formé par les coefficients des inconnues.

1071. S il arrivait (pic quelcpics termes manquassent dans cer-