CHAPITRE VII. — SIGNES DE FONCTIONS. gï

théorie générale, nous appelons des signes doubles, triples, quadruples, .... Ils permettent, en général, d'écrire, de la façon la plus expressive, la valeur que prend une fonction pour des valeurs déterminées des variables.

240. Les valeurs que prend /"(x), pour les valeurs a et h de x^ se représentent respectivement par f{a) et f{b). La valeur de o{x, JK, -s) pour les valeurs a^ b, c de x^ y, jz se représente par 23 (a, 6, c). Lorsque x est égal à a, la fonction P-^ devient P^; lors(|ue X, )', z sont égaux à a, b, c, la fonction Qx.r.z devient Q«,6,c- Les dérivées successives dey'(.r), quand x égale <7, s'écrivent /'(«),/'(«),/-(«), etc.

Dans tous ces exemples, il nous a suffi de remplacer les lettres x^y, z qui désignaient les variables par les lettres a, b, c qui en désignaient les valeurs numériques respectives. Mais, quand les variables ne sont point en évidence, ce procédé ne se peut appliquer. De là, dans le cas particulier de la dérivée âe/(x), une supériorité de la notation y (.r), qui est due à Lagrange, sur la notation -^ , oui est due à Leibniz.

ax *

241. Supposons qu'une fonction de x soit représentée simplement par j'. Les valeurs de cette fonction et de ses dérivées, pour la valeur a de x, s'écriront j'^, y^, y"^, .... Si les dérivées éltiient

dy d-y , . ■ i • > i

représentées \^^iV -j- , —r^^ , ••■■, leurs valeurs oarticulieres, iioiir la ' ' dx dx'^ ' '

valeur a de x, s'écriraient ( -n ) ' ( -f^ ) > • • ••

La dérivée partielle du second ordre de la fonction u des trois variables x, y^ z^ prise d'abord par rapport à x, ensuite par rapport à j)^, se représente pai' -^ — j-' La valeur particulière qu'elle prend lorsqu'on j remplace x, y, z respectivement par r/, 6, c se représente par ( -, — j- ) : et il en est de même |)Our toutes les

^ ^ \dx djja,b,c '

dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables.

242. Certaines fonctions de x, lorstpi'on v remplace x par a, prennent une for nie indéterminée; mais possèdent alors ce qu'on appelle une vraie valeur. Cette vraie valeur n'est que la limite vers

9i PREMIÈRE PARTIE. — ÉNIMÉBATION.

laquelle tend la fonction lorsque x tend vers a. On récrit

lim 1^/(37)]^^ ou \\maj\^)-

C'est d'ailleurs par cette notation que s'indique une limite quelconque.

243. Ainsi, dans ces divers cas, pour marquer la valeur particulière de la fonction, nous nous bornons à placer en indices les valeuis particulières que nous attribuons aux variables. QueUjues auteurs placent en indices, non point ces simples valeurs, mais les égalités (pii leur correspondent. Au lieu d'écrire

dxja \àx dy j a,bj ils écrivent

Ce sont là des notations compliquées, qu'un peu de soin dans la rédaction suffirait à rendre siqierllues. Quant à la notation

p(«, aj'=oo) pour p(i<, w'),o=oo,

quoique je la trouve dans un I^ivre excellent, elle est francliement détestable.

Fonctions inverses.

244. Lorsque deux variables sont liées entre elles d'une manière quelconque, chacune d'elles est fonction de l'autre et les deux fonctions ainsi définies sont inverses V une de l'autre. Considérons un arc et son sinus; chacune de ces longueurs est fonction de l'autre : ce sont, comme nous venons de le dire, deux fonctions inverses. Si l'on prend l'arc pour variable proprement dite et qu'on le désigne par .r, son sinus se représente par sina;. Si l'on prend le sinus pour variable et (ju'on le désigne par x^ l'arc se représente par arc sinx. Ces deux fonctions sin:r et arc sin.r sont inverses l'une de l'autre.

245. La caractéristique arcsin est un sjnibole trop long et assez