CHAPITRE Ail. — SIGNES DE FONCTIONS

Une chose à remarquer clans la notation des dérivées, c'est cette forme de quotient qu'on leur donne dans la plupart des Ouvrages. Celte forme s'explique. La dérivée, en eHet, peut toujours être regardée comme un véritable (|uotient et il y a avantage à le rappeler. Mais, dans les calculs, les dérivées des fonctions d'une seule variable peuvent seules être traitées comme telles. Dans la dérivée -r- de la fonction u de la seule variable x. le numérateur

et le dénominateur peuvent être séparés, éloignés l'un de l'autre,

écrits et employés isolément. Dans la dérivée -— de la fonction v

des trois variables x, y^ 5, il n'en est plus de même ; l'expression -r-

doit être regardée comme un bloc insécable : on ne peut la tiaiter comme un quotient; on n'en peut sé|)arer les deux termes. Si on

les séparait, en effet, dans un calcul où entreraient à la fois — ,

' O.JC

àv dv 1 • 1 • . ^ r ■» • • . 1

-T—> T-» on obtiendrait, sous la même forme ov, trois quantités de oy oz '1

définitions diverses et, en général, de valeurs différentes. C'est pour rappeler cette insécabilité qu'il est nécessaire d'écrire les dérivées partielles un peu autrement qu'on n'écrit les dérivées ordinaires. De là l'emploi, d'ailleurs récent, des d'eux lettres différentes d et d. Cet emploi prévient une foule de confusions et d'erreurs; par malheur, comme on l'a fait remarcjuer, il est impuissant à les prévenir toutes.

237. Bien que \^ fonction primitive def(x) n'ait point la même définition que ïintégrale indéfinie de J\x)dx, elle coïncide avec elle. Cette fonction piimitive se désigne souvent par Py(.z;); cette

intégrale définie, par /(^x)dx. Fonction primitive et intégrale

possèdent, d'ailleurs, chacune, une infinité de déterminations qui ne différent entre elles que par une constante, appelée constante

arbitraire. L'expression plus particulière / /(x)dx représente

* Il

l'intégrale a|)rès qu'on a choisi la constante de telle sorte que cette intégrale s'annule pour la valeur a de x\

Quant à 1 intégrale définie / /(x)dx, c'est, non plus une fonc-

go PREMIERE PARTIE. — E^UMERATIO^^

lion de J7, mais une fonction des limites a et b. Le signe / lap-

h pelle le signe ^ que nous considérerons plus tard; il le rappelle

même d'autant mieux cpi'ii se prononce somme de a à b. Il est bon qu'il en soit ainsi, puisque l'intégrale définie, par sa nature même,

n'est autre chose que la limite d'une somme représentahie par / ^,

lorsque les termes de cette somme sont infiniment petits et infiniment nomlireux.

Dans les intégrales multiples, dans / / \f{x^ V-, z-)dx dy dz^ par exemple, les signes / peuvenl présenler des li.nites on en être

dépourvus. Ces intégrales multiples peuvent donc être regardées tantôt comme définies, tantôt comme indéfinies. Ce sont : dans le

premier cas, des limites de \^ superposés; dans le second, des

intégrales simples également superposées.

238. On connaît la notion de résidu, imaginée par Cauehv, et si importante dans le calcul intégral. Le résidu n'est au fond qu'une intégrale définie, (^auchv le désigne, à peu près indilléreinment, par l'une ou l'autre des notations (')

dont la dernière, qui est la plus simple, suffit dans la plupart des cas. Le résidu intégral, qui est une somme de résidus ordinaires,

se représente par \ f\z). il convient d'ailleuis de rappioclier le SNmbole 1 du nom d'excès qu'on a parfois donné au résidu.

Valeurs parti ciilièr es des fonctions.

239. Les symboles si variés que nous venons d indiqurr pour la représentation des fonctions sont presque tous ce <pie, dans notre

(') H. Lauhkxt, Traité d'Analyse, iii-8, Paris, t. III, p 2^3.