CHAPITRE VIII. — SIGNES DE RELATIONS. g

signe d identité n'est point indispensable; qu'il ne faut point s'en servir à tout propos; quil ne faut point surtout imiter ceux qui donnent aux égalités purement numériques le nom à' identités, et qui emploient pour les écrire lun des signes spéciaux (pie nous venons d indiquer.

Signe de congruence.

2o3. La notion et le signe de congruence sont dus à Gauss, qui les a définis à la première page de ses Disquisitiones arithmeticœ {^). La congruence

a^b ( iiiod/?),

où a^ b el p sont des entiers jiosilifs ou négatils, se prononce Cl congru à b snivant le module p. Elle signifie que la difTérence Cl — b est exactement divisible par^o.

Le module se place, entre parenthèses, en face, mais non pas à 1 intérieur du second membre de la congruence. On ne se dispense de récrire (|ue quand le texte en indique nettement la valeur.

Soi. La congruence n'est pas une égalité véritaljle. Il faudrait. pour en rendre les deux membres égaux, ajouter à Itm on à r.mtre un multiple de p. Quant au signe ^, il rappelle tout à fait le signe = dont il ne diflère que par l'adjonction d'une troisième barre. Nous avons dit rpi on lemplovait fréquemment comme signe d identité et que cet emploi était incorrect. Par contre, on le remplace quelquefois, dans 1 écriture des congruences, par le signe i^: dont nous avons déjà parlé : c'est une nouvelle incorrection.

2oo. La notion de congruence, telle que Gauss Va définie, ne se rapporte qu'aux nombres entiers. On l'a, depuis, étendue à l'Algèbre. Deux polynômes entiers, f{x) et g[.v), sont congrus par rapport à un troisième 'lix). qui est alors le module, lorsque leur différence est exactement divisible par ce troisième polynôme. C'est en ce sens cpiil faut com|jrendre cette proposition : une égalité entre deux imaginaires n'est cju'une congruence dont le module est i--\- 1 .

( ' ) Traduction française de Poullet-Dciisle. Paris, 1S07.

gS PREMIÈRE PARTIE. — ÉMMÉRATION.

Signes d'équipoUence et d'équivalence.

206. \J équipoUence est une égalité véritable; mais nue égalité géométrique, une égalité dont chaque membre re|)résente soit un vecteur, soit une ligne brisée composée de plusieurs vecteurs. Elle s'indique à l'aide du signe =2= qui se prouonce équipoUent à, et qui n'est autre chose que le signe astronomique de la balance, c'est-à-dire de l'équinoxe d'automne.

207. La théorie des équipollences constitue, on le sait, une sorte de géométrie analytique plane ('), qui a été inventée, il y a déjà longtemps, par G. Bellavitis. On en peut rapprocher la f/ieo/7e des quaternions , qui se rapporte à l'espace et qui est due à Hamilton. Ces théories renferment l'une et l'autre, en dehors du signe £]z, plusieurs signes qui leur sont propres. Les limites que nous nous sommes imposées ne nous permettent point d'en parler.

258. Quant au signe à^ équivalence , rxj^ si employé par Kronecker (-) et son école, il appartient, non point à la Géométrie, mais à la théorie des formes et à celle des nombres algébriques. Placé entre les expressions de deux systèmes, il exprime que ces systèmes sont équivalents. I^es relations où il figure sont, d'ailleurs, les unes, d'ordre arithmétique; les autres, d'ordre analytique.

Signes d'inégalité proprement dits.

239. Les signes d'me^a/fVe proprement dits sont le signe >, qui se prononce yo/M5 grand que ou supérieur à; et le signe «<, qui se prononce plus petit que, moindre que ou inférieur à. Ces signes remontent au xvi* siècle et paraissent dus à Harriot. Les deux expressions entre lesquelles on place l'un ou l'autre sont les deux membres de l'inégalité.

(') GiusTO Bkllavitis, Equipoltenze, in-4°. Modena, i854.

(-) Bellavitis, i8o3-i88o; llauiillon, iBoJ-iSGô; Kroneckor, 1823-1891 .