L VIII

DEFORMATION 1NFINIMENT PETITE ET REPRESENTATION SPHERIC UE.

CIIAPITRE I.

DlIFOiniVTLON IJNFfNniFNT PETITK. PKEMILRE SOLUTION.

Enonce precis du problemc a resoudrc. Comment on pourrail ontreprendrc son etude pciv la methode des series. Lc prubleme dc la dLt'urmation mfiniment petite console dans la determination d s preimus Icrincs de ccs series. Ce quo I'on appellc la direr trice cL \e /tiodttle de la deformation infinirneul petite.

Couples de surfaces apphcables Time sur I'auLrc Uapporlb de Ja question proposce avcc lc probleme clit des elements rcctfingulctires. Indication dcs travaux: publics suv cos questions. Premiere solution du probleme : on e^t ramene <i Tintegration crime equation Imcaire du second ordrc. lnlerprelation geomelrKjuc. Application an paruboluidc. Raisonncnicnl a priori montrant quc la solution du probleme pent oire obtenuc pour toute suil'acc du second degre. Developpement de la solution pour lc cas de la sphere. Demonstration geornetrique : la surface (S,) qui correspond a line sphere par orthogonal ite des elements cst la surjace moyenne d'unc congruence isolrope.

E([iiations qui determinent cette surface moyenne. Relour au cas general: les Cciractenstiques de I'equaliou lineairc dont depend la solution sont les Jignes asymptotiques de la surface pioposec.

852. 11 ressort avec evidence des duveloppemcnts conlenns dans les Chapitres precedents quc, jusqn'ici, le probleme dc la deformation des surfaces n"a pu elre resoiti d'unc maniere complete que dans nn petit nombre de cas. Pour fairc connailrc lout cc qu'il y a d'essentiel clans Jcs travaux des geomelres sur ce beau ct difficile sujet, il nous reste a exposer toute une se'rie de D. - IV. i

recherches relatives a la deformation infiniment petite, recherclies qui conduisent, soit dans la theorie des surfaces, soit dans celle des congruences, a des propositions du plus haut intrt. Formuloos d'abord d'une maniere precise Tdnonc^ du probleme qui va nous occuper dans ce Chapitre et dans les suivants.

Imaginons que Ton d^tache del'ensemble des surfaces qui resultent de la deformation d'une surface donnde (S) line famiJle de surfaces dont (S) fera partie, c'est-a-dire une suite continue de surfaces, representee en coordonnees rectangulairesparune equation de cette forme

ou l designe un parametre variable et telle que la surface proposec corresponde, par exemple, a la valeur zdro de ce parametre. Si jc,y, s designentles coordonndes d'un point quelconque de (S) et si X, Y, Z sont les coordonnees du point correspondant de la surface de parametre t, on devra avoir

On peut d'ailleurs supposer que X, Y, Z, fonctions de la variable t en meme temps que de *, y, *, soient d^veloppables suivant les puissances de t. Et comme X, Y, Z doivent se reduirc respeclivemenl a x, y, z pour t = o, on devra avoir

Jn.y'i, -15^^,53,... designantdes fonctions independantes de t mais dependantes des deux parametres, quels qu'ils soient que 1 on a choisis pour fixer la position du point fo y s \ sur } [ surface (S). Substituons les valeurs deX, Y, Z dans liquation M et egaions a zero les coefficients des diff^rentes puissances de

iNous obtenons amsi les relations f- ds d^ = o,

axa$ {

i+dydy

qui permeltront de determiner de proche en proclie les fonctions inconnues xt, yi, Zj. Si, par exemple, on pouvait integrer de la maniere la plus gen^rale le systeme (3) en obtenant pour les valeurs de X, Y, Z des series convergentes, il est clair que Ton aurait rsolu d'une maniere complete par la mthode des series le probleme de la deformation finie de la surface (S).

Envisag^ de cette maniere, le probleme exige en premier lieu la determination des fonctions x\, y^ z\ qui satisfont a la premiere des equations (3)

( 4 ) dx dxi -+- dy dy\ -+- ds dzi = o.

G'est Pint^gration complete de cette equation aux differ en tielles totales qui donne la solution de ce que nous appellerons dans la suite le probleme de la deformation infiniment petite de la surface (S).

Supposons que Ton ait trouve des fonctions # 4 , y\^&\ v^rifiant les trois Equations aux driv6es partielles qui sont comprises dans 1'^quation (4) et considerons la surface (S') de'finie par les Equations

On aura, en tenant conipte de Tequation (4),

\ + dy\ -4-

de sorte que, si le param^tre t est infiniment petit, la surface (S') correspond point par point a (S), de telle maniere que les longueurs de deux courbes correspondantes different seulementde quantites infiniment petites du second ordre par rapport a t. Si 1'on veut donner une forme entierement geometrique a cet ^nonc^, on peut dire que la surface (S 7 ) est infiniment voisine de (S) et que la difference des longueurs de deux courbes correspondantes tracees sur les deux surfaces est du second ordre par rapport a la distance qui separe deux points correspondants quelconqnes sur (S) et sur(S').

En comparant les formules (5) aux formules (2), on peut encore admettre que, x^ y i9 z { une fois connus, on pourra toujours, et d'une infinite* de manieres, determiner les fonctions # 2 > JKa? -^sJ ^ 3 , ... qui entrent dans les puissances sup&rieures de t] de telle

sorte que la surface (S') sera infiniment voisine du second ordre d'une infinite de surfaces eflfectivement applicables sur (S). D'une maniere plus precise, si M' est le point de (S') qui correspond a un point M de (S), la difference geometrique entre le vecteur MM' dont les projections sont

X'-tf, T-y, Z'-*,

et le vecteur MM" qui r^unirait le point M au point correspondent M 7 d'une surface rigoureusement applicable sur (S) et convenablement choisie, sera une grandeur geometrique infiniment petite du second ordre par rapport au segment MM", au moins dans toute Fetendue d'un segment fini de la surface (S) (*).

Si, par les diflfoents points de (S), nous menons les vecleurs MM', ces vecleurs inde'finiment prolonged engendreront une congruence de droites que nous appellerons les directrices de la dformation infiniment petite. Quant a la grandeur MM 7 , nous Fappellerons le module de la deformation. II est clair qu'une deformation est determine si Fon connait, pour chaque point de (S), la directrice et le module de la deformation. Comme Fdquation (4) ne change pas de forme lorsqu'on y multiplie x,,y h s t par une constanie, nous poumms supprimer le facteur t et considerer le module comme une quantity finie

en nous souvenantque, si Fon veut obtenir une surface (S') r&uitant de la deformation infiniment petite de (S), il faudra porter, a partir de chaque point, sur la directrice de la deformation une longueur sOK, fi designant une constants infiniment petite quelconque. On voit que le module peut toujours ^tre multiplie par une constante, * ^ v