Si 1'on imagine les coordonn^ f , y , z exprimdes cn

plaa satisfait ici la d^flmt on ea suce S' qu'elle resulte de la ^formation fafiaimeit Se ^ \ l n r T * PUiSSe dh ' e 'ompta aistoent de la raison de cette exceptfoT Se rendra

DEFORMATION INFINIMENT PETITE, P MLIERE SOLUTION. 5

fonction de deux variables u et p, r&paatiooa aux diflfdrentielles totales (4) se decomposera dans les trois ^roanles :

dx dx\ dy dy^ dz ds\

du du du du du H)u "~ *

dx dx\ dx dx\ dy dy^ dy dy\ fa (te^i dz dz\

dp du du dp dv du, "du &v dp <)su du dp '

dp dp dp d? "d?

Quant aux autres Equations compris-csdsans le systeme (3), si Ton cherche a les int^grer successiv^mea.t, elles se ramenent toutes au type suivant :

du du "*" du du "*" dv. r 1 = ~^ ft

dp ~du 'du "5p" dx dxi

qui ne differe du precedent que paries tterm*esdu second niembre A./? B/, C/, ces termes etant chaque fois cflesfco notions connues de u et de p. Or, il resulte d'uiie propositions de *Cauchy que Von sait toujours integrer par des quadrature- *w systeme quelconque d j equations tineaires aux derive fnr~*tielles avec second membre toutes les fois que Von sait int&grer d j une maniere generale le meme systeme o,it les seco^ndir^Ttembres ont ete supprimes. En utilisant ce resultat dans la <jues. .tion qui nous occupe, on peut done dnoncer la propositionsu^ivairtte :

Quand on saura trouver de la, mam,ur^ la plus generale les termes tx { , ty {9 lz\ des s&ries (^ ), oripoEurra, par de simples quadratures, determiner success ivemzent ztous les autres.

En d'autres termes, quand on saurczres-oudre d'une maniere complete le probleme de la deformastm infiniment petite, tel que nous Vavons enonce, on pourrceZj^-rde simples quadratures, resoudre le meme probleme cam line approximation, non plus settlement du second ordre, smds" de tel ordre que Von voudra.

854. Ces remarques g6n&rales line fois presentees, revenons a

6 LIVRE VHI. CHAPITRE I.

Fequation ( 4) et, pour Interpreter geom^triquement, consid^rons la surface (5^) lieu du point dontles coordonnes sont x { , y^ z { . Cette surface correspond point par point & (S) et liquation (4) exprime evidemment que Jes dements lineaires correspondants des deux surfaces sont toujours perpendiculaires. Ainsi le probleme de la deformation infmiment petite de (S) e"quivaut a la determination des surfaces (Si) qui correspondent point par point a (S) de telle maniere que les Elements line"aires correspondants defmis respectivement par les projections dx, dy, dz et dx { , dy< , dz i soient orthogonaux. Nous avons deja rencontre [I, p. 824, 325] ce mode de correspondance, e*tudie en premier lieu par M. Moutard ( * ) et M. Ribaucour ( 2 ). Voici comment ces deux geometres avaient ete conduits a se poser ce probleme dit des elements rectangulaires.

Considerons deux surfaces (S) 5 (Si), applicables Tune sur Tautre. Si nous designons par X ? Y, Z ; Xi , Yi , Zi les coordonnees rectangulaires de deux points correspondants sur ces surfaces, on aura

ce que Ton peut ecrire

Xi) d(X4-Xi) -*- d(\ - Yi) rf(Y -h Yi) + rf(Z - Zj d(Z -+- Z,) = o. Si done on pose

il viendra

Ainsi, lorsque deux surfaces (S), (Si) sont applicables I'une

(') Ko//' MOUTARD, Sur la deformation des surf aces (Bulletin de la Socie'te Philomathigue, ann<5e 1869, p. 45, seance du 12 juin), ainsi que le Me"moire et la Note inseres aux Comptes rendus, t. LXX, p. 834 et deja signales [II, p. 53],

() Les premieres recherches de M. Ribaucour, dont la Science deplore la mort receate et prematuree, reraontent a peu pres a la m^me epoque et sont contenues dans la Note Sur la theorie de ^application des surfaces I'une sur Vautre au Bulletin de la Socie'te Philomathique, ann^e 1869, p. 3 7 .

sur Vaulre, la surface (S), lieu du milieu des segments MM 1 dont les extremites sont des points correspondantssur les deux surfaces, et la surface (S<) obtenue en menant par un point fixe quelconque de Vespace des droites paralleles et proportionnelles aux segments MM 4 se correspondront point par point avec orthogonalite des elements lin&aires. Et, reciproquement, si deux surfaces (S), (S<) se correspondent avec orthogonalite des elements lineaires, et que Von ?nene, par chaque point de (S), deux dmites, egales et de sens contraires, paralleles et proportionnelles au rayon vecteur qui joint un point fixe de Vespace au point correspondant de (&<), les extremites de ces deux vecteurs decrivent deux surfaces (S), (S,), applicables Cune sur Vautre.

Ainsi il revient au meme de chercher un couple de surfaces applicables 1'une sur 1'autre, ou un couple de surfaces se correspondant avec orthogonality des elements line*aires. Mais il importe de remarquer que, si 1'on sait resoudre le probleme des elements rectangulaires pour une surface (S), c'est-a-dire trouvertoutes les surfaces qui lui correspondent avec orthogonalite* des elements lineaires, on ne sanra pas pour cela determiner toutes les surfaces applicables sur (S). On pourra settlement connaitre des couples de surfaces applicables Tune sur 1'autre etcontenant des canstanles ou des fonctions arbitraires.

855. C'est dans une Communication presentee par Tauteur a la Societe mathe'matique de France, le 17 de'cembre 1878 (*), qu'a et6 ^tabli pour la premiere fois le lien entre le probleme des elements rectangulaires et celui de la deformation infiniment petite que nous avons signale" plus haut. Si Ton emploie les definitions que nous avons adoptees, la proposition qui a servi de point de depart aux recherches de M. Moutard prend la forme suivante :

Lorsqrfon connaitune deformation infiniment petite de (S) r si Von porte a partir de chaque point de (S) sur les droites di-

(*) Cette Communication est rest6e in6dite. \ 7 oir une Note Sur les equations aux derivees partielles inseree aux Comptes rendus, t. XCVI, p. 766 ; mars i883.

rectrices de la deformation deux longueurs egales et de sens contraires, proper tionnelles au module de la deformation, on obtient un couple de surfaces applicables Vune sur V outre.

Et reciproquement :

Si deux surfaces (S), (S^sont applicables Vune sur Vautre, la droite MM< qui joint deux points correspondants de ces surfaces est a la fois la directrice et le module d'une deformation infiniment petite pour la surface (S) lieu du milieu de MMj.

Depuis ces premieres recherches, M. Lecornu (*) et Beltrami ( 2 ), dans deux Memoires iraportants, publics en 1880 et 1882, se sont preoccupes de Petude detaillee des forces que met en jeu la de*formalion infiniment petite d'une surface donnee, M. Weingarten a repris la question en se placant au point de vue de la Geometric ( 3 ).D'importantsre'sultats relatifsau probleme des Elements rectangulaires se trouvent aussi dans diflerents Memoires cle Ribaucour, de MM. Bianchi, Cosserat, Guichard, etc., et seront exposes plus loin.

L'auteur va developper ici les methodes directes qu'il a .suivies des 1882, dans son enseignement de la Facult^.

856. En voici une que nous allons indiquer rapidement. Soit a resoudre 1'equation

(6) dx dxi -H dy dy^ -4- dz dz = o.

On demontrera facilement que Ton peut toujours trouver trois fonctions a, 6, c telles que Ton ait identiquement

Lr^ = c dy b dz, yi adz c dx, zi = b dx a dy,

( ') L. LECORNU, Sur Vequilibre des surf aces flexibles et inextensibles (Journal de I'Ecole Poly technique, XLVIIP Cahier, p. 1-109; *83o).

( 3 ) E. BELTRAMI, SuW equilibrio delle superficie flessibili ed inestendibili {Memorie delle Science dell' Istituto di Bologna, serie IV, tomo III, Gennaio 1882).

(*) J. WEINGARTEN, Ueber die Deformationen einer biegsamen unausdehnbaren Fldche ( Journal de Crelle, t. G, p. 296; 1886).

DEFORMATION INFINIMENT PETITE. PREMIERE SOLl'TIOX. 9

au moins tant que la surface (S) lieu du point (#, jr? *) n ^ se Y &duit pas a une courbe ou a un point (*).

En effet, introduisons six fonctions a, b, c\ a r , b f , c r telles que Ton ait

dxi cdy b' dz,

dy\ =zadz c; dx, dzi = b dx a' dy

Si Ton porte ces valeurs de dx {: dy { , dz\ dans Tequation (6), il vient

(a a')dydz-*-(b b')dxdz -t- (c-c')dxdy o.

Comme il ne peut exister aucune relation de cette forme en dx, dy, dz, on doit done avoir

ce qui donne les formules (7).

De la resulte une premiere solution du probleme des elements rectangulaires.

En efiet, si Ton prend pour , 6, c des constantes, on peut integrer les Equations (7) et Ton a, a, (3. y designant de nouvelles

constantes,

Xi = a -r- cy bz,

Zi = Y -f- bx ay.

On reconnait ici les expressions des composantes de la vitesse d'un point quelconque dans le rnouvement d'un solide invariable. Ainsi cette solution pour laquelle la surface (S<) lieu du point (x^ y^ z { ) serait un plan correspond, non a une deformation, mais a un deplacement infinitnent petit de (S); en eiFet, deux surfaces egales sont ^videmment applicables Tune sur Fautre.

(*) Si (S) sereduit a une courbe (C), on verra faciiement que la surface (S,) lieu du point (a? t , y l} s t ) ne peut etre qu'une developpable (A) dont les plans tangents seront perpendicutaires aux tangentes de (C). Alors, a chaque point M(#, y } z) de (G) correspondent tous les points M,(a7,, y^ z t ) de (A) situes sur la g^neratrice de contact de celui des plans tangents de A qui est perpendiculaire a la tangente en M a la courbe (C).

Si (S) se reduit a un point la surface (S,) est entierement indetermine'e.

8o7. Laissant de cote ce cas exceptionnel, revenons aux formules (7) et exprimons les conditions d'intdgrabilite. Si nous supposons z { exprimee en fonction de x et de y et si nous designons par/? { , q^ ses derivees premieres, on aura d'abord

Si Ton remplace dz par p dx -f- qdy, les expressions de dy { prennent les formes suivantes

\ <tyi = de sorte que les conditions d'integrabilite nous donnent

do) ; i

dx dy ' b dx dy

filiminant c par de nouvelles d^mations, on trouve

dy* dx~ dx dy

on, en developpant etdesignant par /*,, s^ t+ les derivees secondes

L'integration de cette equation lineaire fera connaitre z { ; puis les equations (10), qui donnent les deux derives de c, etles equations (9) permettrontde determiner c, x ij y i par des quadratures de diflferentielles totales a deux variables.

858. La principale difficult^ est.donc 1'int^gration de liquation (i i). Donnons d'abord Pinlerpretation geom^trique de cette equation.

Si Ton adjoint a la surface (S) la surface auxiliaire (S ) lieu du point (x, y, z { ), les points coj^espondants des deux surfaces sont toujours sur une meme verticale et liquation (n) exprime que les lignes asymptotiques de Vune des surfaces, projetees verticalement sur Vautre, y decoupent un systems conjugue.

En effet, les lignes asymptotiques des deux surfaces (S) et (S )

sont respectivement definies par les equations differentielles

/* dx* + as dx dy -4- t dy- = o, 7*1 dx*-\- 25j dx dy + ti dy* = o,

qui feront connaitre les projections de ceslignes surle plan des xy, et 1'equation (n) exprime qu'en chaque point de ce plan les directions relatives a Tune des surfaces divisent harmoniquement Tangle forme* par les deux directions relatives a Faulre surface. Etant donnas une surface quelconque (A) el un point O, proposons-nons de trouver une surface (A ) telle que la perspective de ses lignes asymptotiques sur (A), obtenue en prenant le point O pour point de vue, dessine sur (A)un systeme conjugue. II suffira de faire une transformation homographique qui rejette le point aFinfini, etl'onseraramene au probleme precedent. Par exemple, si Ton veut determiner toutes les surfaces pour lesquelles les lignes asymptotiques vues d'un point O paraissent se couper a angle droit, il suffira d'efiectuer une transformation homographique rejetant le point a Finfini et de determiner les deformations infiniment petites de la surface du second degre qui correspond, apres cette transformation, a une sphere de centre O.

8S9. Appliquons les methodes preccdentes au paraboloide de-

fini par Tequation

z xy.

L'equation (i i) nous donnera ici

Pour la commodite des calculs prenons Finie'grale sous la forme

(12) ^, = XVY',

X designant une fonction de x et Y une fonction de y. Les inconnues c, %i,y\ se de*termineront sans difficulte et Fon aura, en choisissant convenablement X, Y et adoptant les notations les

plus simples

r r ff '

La surface ainsi obtenue, qui depend de deux fonctions arbi- * traires, a ses lignes asymptotiques determinees par 1'equation | diSerentielle 1

ou les variables sont separees.

860. Nous ferons connaitre plus loin des propositions ge'ne'rales d'apres lesquelles le resultat precedent peut tre etendu a toute surface du second degre. Mais, des a present, il est bon de remarquer a priori que le probl&me de la deformation infiniment petite peut etre resolu pour toute surface du second degre. Nous avons vu, en effet, que toute surface regle"e admet une s6rie de deformations finies dans lesquelles ses generatrices demeurent rectilignes. A ces deformations finies correspondent evidemment des deformations infiniment petites qui dependent d'une fonction arbitraire a une variable. Or, commeune surface du second degre est doublement reglee, Tapplication de la remarque prec^dente nous en fera connaitre des deformations infiniment petites, qui se distribueront en deux series bien distinctes, se rattachant respectivement aux deux systemes de generatrices. Et comme les equations du probleme de la deformation infiniment petite sont lineaires, il su/ira de super poser ces deux series particulieres de deformations infiniment petites pour obtenir la solution la plus generate du probleme propose.

En terminantce Chapitrenousindiqueronsrapidement comment Fetude et la solution du probteme de la deformation infiniment petite de la sphere peuvent tre rattachees a la theorie des surfaces minima.