TRANSFORMATIONS DIVERSES. INVERSION COMPOSES
Les six couples de surfaces qui se correspondent avec orthogonalite des elements lineaires. Theoreme et construction de Ribaucour. Quand on sait resoudre le probleme de la deformation infmiment petite pour une surface donnee, on sail resoudre ce meme probleme pour toutes les surfaces homographiques et correlatives. Demonstration de ce theoreme general pour les homographies qui conservent le plan de 1'infini; pour la transformation par polaires re"ci-
proques relative au paraboloide defim par 1'equation s = : Ces deux
cas particuliers entrainent le theoreme general. Definition de I s inversion composee : sa proprie"t6 fondamentale. Quand on sait resoudre le probleme de la deformation pour une surface (S), on sait aussi le resoudre pour toutes celles qui en derivent par 1'inversion composed. L'iaversion composee rattach.e aux notions relatives aux formes quadratiques dont les coefficients sont constants.
D'apres les resultats que nous avons etablis au Chapitre precedent, on voit que, si Pon connait deux surfaces (S), (Si) qui se correspondent point par point avec orthogonalite des elements lineaireSj on pourra en deduire, par de simples operations algebriques, cinq autres couples qui seront forme's de surfaces se correspondant Pune a 1'autre de la mme maniere que les deux premieres.
Si nous rangeons ces couples dans Pordre suivanl
(SUSO; (S),(A); (S,),(A 8 ); (S a ),(S s ); (A 2 ),(S 2 ); (AiMSi); (S),(SO,
on reconnait que chacun d'eux se d6duit de celui qui precede toujours par la m^me operation, celle qui nous a permis, ^tant donne le couple (S), (Si), d'en de"duire le suivant(S), (A). II semble, a la vdrit^, que, la relation entre deux couples consecutifs e"tant parfaitement r^ciproque ? cette operation, applique'e sans modification a chaque couple, devraitredonnerle precedent; mais, comme elle depend de 1'ordre des surfaces qui composent le
couple, il suffit de changer cet ordre pour obtenir le couple qui
suit.
On peut interpreter geometriquement les formules que nous avons donnees et qui permettent de passer de chaque couple au suivant. Mais la construction a laquelle on est ainsi conduit prend un enonce plus simple, si Ton substitue aux couples de surfaces qui se correspondent avec orthogonalite des elements lineaires les couples, formes de surfaces applicables, qu'on peut leur associer d'apres la methode dti n 854. Pour cela, portons a partir de chaque point M de la surface (S) (fig. S3), et sur la directrice de
Fig. 83.
la deformation relative a ce point, c'est-a-dire sur la parallele au rayon vecteur correspondant de (S^, des longueurs Ma, Ma', egales et de sens contraires, proportionnelles au module de la deformation, c'est-a-dire egales au rayon vecleur de (S,) multiplie par la constante /r, les deux surfaces (U), (U ; ), lieux des points a et a! seront applicables Tune sur 1'autre. Operons de meme pour la surface (S), au point P qui correspond a M; c'esta-dire prenons, sur la droite parallele au rayon vecteur correspondant de (A), des segments egaux P6, P6' dont la longueur commune soitegale ace rayon vecteur multiplie par la constante k' : nous obtiendrons un nouveau couple (V), (V) forme des surfaces lieux des points b et b f qui seront, elles aussi, applicabies Tune sur Fautre. D'apres les proprietes demontrees au n 886 le plan perpendiculaire sur le milieu de aa f sera tangent en P a (S) et le plan perpendiculaire sur le milieu de bb f sera tangent en M a (S); la droite MP, tangente commune a (S) et a (2), sera perpendiculaire a la fois a aa! et a bb r . Remarquons d'ailleurs que, si V
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designe Tangle des plans tangents en M et en P aux surfaces (S) et (2), on a, d'apres les equations (i i) du n 885,
h etant une constante egale au produit de A- et de A-'.
Nous pouvons, d'apres cela, enoncer la proposition suivante :
Lorsqu'on connait un couple de surfaces (U), (U') applicables Vune sur I'autre, on pent en deduire un couple nouveau par la construction suivante : Le plan perpendiculaire sur le milieu M de la droite aa' qui joint les points correspondants a, a f des deux surf aces enveloppe une surface (S) qu'il louche en un certain point P; et la droite MP, necessalrement tangente en P a la surface (S), est aussi tangente en M a la surface (S) lieu du point M. Si, sur La parallele me nee par le point P a la normale de (S) en M, on porte de part et d'autre deux segments egaux P6, Pb ! dont la longueur commune soit definie par la relation (i), les deux surfaces (V), (V), lieux des points b et b', sont aussi applicables Vune sur I'autre (M.
La relation etablie par cette proposition entre les deux couples (Uj, (U ; ) et (V), (V ; ) est parfaitement reciproque, de telle maniere que la construction indiquee, appliquee an couple (V), (V 7 ), redonnerait le couple primitif. Pour obtenir tous ceux que nous ont fournis les methodes du Chapitre precedent, il faudra continuer a appliquer la meme construction, mais en remplacant I'une des surfaces (V), (V'} par sa sjmetrique relative a Torigine des coordonnees.
899. Nous reviendrons plus loin sur les couples de surfaces applicables, qui meritent une etude speciale. Nous bornant, pour le moment, aux surfaces qui se correspondent avec orthogonalite
(*) Cette elegante proposition se trouve deja enonc^e, bien que d'une maniere incomplete, dans la premiere Communication de Ribaucour, relative au sujet qui nous occupe : Sur la theorie de V application des surfaces les unes sur les autres (Bulletin de la Societe Philomathique, i3 noverabre 1869); Ribaucour 1'a rappelee sans la d^montrer, mais en donnant son enonce tout a fait complet, dans son tftude des Elassoides.
des elements lineaires, nous allons e*tudier les cinq couples que les methodes du Chapitre precedent font deliver du couple primitif (S), (S/).
Parmi ces cinq couples. Tun d'eux merite une attention particuliere : c'est ceJui qni est forme des surfaces (S a ) et (A 2 ). En effet, la surface (S 2 ) ne depend en aucune maniere de (S 4 ), puisqu'elle est simplement la polaire reciproque de (S) par rapport a la sphere de rayon z qui a 1'origine pour centre. Par suite, on deduira de toutes les surfaces (Si ) qui correspondent aux di/erentes deformations injiniment petites de (S) toutes les surfaces (A 2 ) qui definissent de me 1 me les deformationsinfiniment petites de (S 2 ). Ainsi
Ouandon sait resoudre le probleme de la deformation infiniment petite pour une surface donnee, on sait resoudre ce meme probleme pour sa polaire reciproque relative a une sphere.
900. Cette proposition n'est qu'un cas particulier de la survante que nous allons etablir dans toute sa generality :
Ouand on sait resoudre le probleme de la deformation in- (i ni me nt petite pour une surface donnee, on sait resoudre ce meme probleme pour toutes les surfaces nouvelles qui en derivent par t homo graphic ou la correlation les plus generates.
En effet, coniniencons par consid^rer les transformations homographiques qui conservent le plan de Finfini et qui sont definies par des formuies telles que les suivantes :
ar' = a x -+- by +- cz -+ h,
il est clair que, si Ton deTmit x\, y\, z\ en fonction de x { , y { , par les relations
on aura identiquement
( 4 ) dx dxi 4- dy dy^ 4- dz dz^ = dx' dx\ 4- dy' dy\ 4- dz' dz\ .
Par suite, a toute solution de Tequation ( f, ) dx dxi 4- dy dy 4- dz dz^ = o,
les formules (2) et (3) feront correspondre une solution de liquation
( 6 ) dx' dx\ 4- dy 1 dy\ 4- dz' dz\ = o ,
et vice versa. G'est la demonstration du th^oreme qne nous avons en vue pour le cas special ou Von soumet la surface (S) a toute transformation homographique qui conserve le plan de Vinfini.
