Considerons maintenant le systeme

dz = p dx -r- q < (7)

Ixi = rj dy

deja donne au n 867, et qui remplace Tequation a verifier (0)5 p et q y designent, nous 1'avons vu, les derivees de js consideree comme fonction de x et de y. Employons la transformation deja raise en usage au n 885, et introduisons les nouvelles variables

u= px -4- qy z,

La differentiation nous donnera, en tenant compte des rela-

tions (7),

a u = x dp -f- y d q ,

dv = xdri dw = y dr\ -+-

et de la on deduit

(10) dudr<L-\- d\? dp -hdw dq = o.

C'est dire que la surface lieu du point (/?, q, u) et la surface lieu du point (p, cv, r^ se correspondent avec orthogonality des elements lineaires*

^g LIVRE VIII. CHAPITRE IV.

Or, /?, >/. u sont les coordonnees da pole du plan tangent a la surface > S ) relativement au paraboloide defini par 1'equation

tin

Done, qitandon salt resoudre le problems de La deformation in fuument petite pour line surface (S), on salt aussi resoudre le mem e probleme pour La polaire reciproque de (S) relativement au paraboloide defini par V equation (i i).

Ce cas particulier, ajoute a celui que nous avons deja etudie dansle nuniero precedent, nous suffit pour etablir le theoreme o-eneral que nous avons en vue; car il est aise de reconnaitre que toute transformation homographique et toute transformation correlatixe s'obtiennent par 1'emploi repet6 des deux transformations parliculieres que nous avons considerees.

Ainsi, a toute solution du probleme des elements rectangulaires ou de la deformation infiniment petite obtenue pour une surf ace (S), on pent faire correspond, par voie algebrique, une solution pour les surfaces qui derivent de (S} a Vaide de la transformation homographique ou correlative la plus generate.

11 est interessant de voir ainsi s'introduire les proprietes projectives dans le probleme dela deformation infiniment petite, alors que le probleme de la deformation finie parait dependre avant tout des relations metriques.

902. Au reste si, pour arriver a la transformation homographique la plus generate, on ne veut pas employer 1'interme'diaire d'une transformation par polaires reciproques, on pourra joindre a riiomographie que nous avons etudiee en premier lieu celle qui est definie par les formules suivantes :

On verra facilement qne, si Ton pose

m aura la relation

1 4 ) dx 1 dx\ -I- dy' dy\ -f- dz' dz\ = < dx dx^ -*- fly dr^ ->- ds dzi ) ,

jui etablit encore, pour ce cas special, la proposition que nous tvons en vue. La transformation definie par les formules (la) et 'ID) est un cas limite de celle qne nous allons eludier, ainsi que ions le montrerons an n 908. Mais c'est un resultat bien connn p'en combinant les homographies definies par les deux systemes '12) et (2) on arrivera a 1'homographie la plus ge"nerale.

903. Si Ton e*tudie atlentivement le second Tableau donne plus laut [p. 72] on y verra que toujours une surface determinee y est iccompagnee d'une me'me surface. Ainsi, danschacune des places 3u se trouve (S) on rencontre (S 2 ); de sorte que les trois reseaux le conrbes designes respectivement par les cliiffres ro mains I, II 3t III jouentle menie role sur (S) etstir (S 2 ). Par exemple, comme les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux surfaces, on v r oit qu'a tout reseau conjugue trac^ sur (S) correspond un resean 2onjugue trac6 sur(S 2 )* La relation est de meme nature entre (Si) et (S 3 ). Etudions la transformation par laquelle on deduit directement (S 2 ), (S 3 ) de (S) et de (S<).

Elle est definie par les formules

a?i y l Si x y z xz

elle est done purement ponctuelle; c'est-a-dire qu'elle fait correspondre aux deux points M(x,y, 5), M < (3C\,y\, z\} de (S) et de (Si) deux points M 2 (# 2}< y 2 , s 2 ), M 3 (# 3 , y$, z 3 ) de (S 2 ) et de (S 3 ) dont les coordonnees dependent seulement de celles de M et de Mi . Mais elle offre un autre caractere sur lequel il importe d'insister : les coordonnees de M 2 dependent, a la fois, de celles de M et de celles deM { ; de sorte que la transformation s'applique, non a des points isoles, mais a des couples de points. On peut bien faire correspondre M 2 a M et M 3 a M mais M 2 variera si Mi varie, alors me* me que M resterait fixe.

Comme la transformation se reduit a 1'inversion ordinaire, quand les deux points M et Mi coincident, nous lui donnerons le

8o LIVRE VIII. CHAPITRE IV.

nom $ inversion composee. Pour Fetudier, nous crirons les formules precedentes sous la forme un peu plus generate

qui fait correspondre aux points M, M< des points (#',/, S 7 ), (#n/i? 5 i)i designes maintenant par M', M' r Des formulas precedentes on deduit la suivanle

d'ou il rfaulte imme"diatement que la transformation est involutive. Si au couple M, M H correspond le couple M 7 , M' n reciproquement a M', M 1 , correspondront M, M< .

C'est ce qui re*sulte aussi de la construction geometrique suivantedes points M ; , M,. Soit Torigine des coordonnees que nous appellerons aussi, par analogic, le pole de V inversion, P la projection de M^ sur OM, P^ la projection de M sur OM^ Le point M' sera sur le rayon OM< a une distance du point definie par la relation

(18) OM'.OP^A-s

et, de m^me, le point M' t sera sur OM a une distance definie par la relation