ROULEMENT DE DEUX SURFACES I/UNE SUR I/AUTRE
suite de ce que, dans 1'equation pre'ce'dente, a et J3 sont relies aux coefficients E, F, G de P element line"aire par les formules
(35) If + aE-4-pF = o, ig + aF+pG^o,
dont nous avons deja fait usage.
M. Kcenigs a ajoute* que la me'me equation (34) admet aussi la solution
II suffit, en eflel, de substituer celte solution et de tenircompte de ce que #, y, z, X{, y\, z\ sont des solutions particulieres pour obtenir la condition
Sdx dor C\d&\ d%\ __ ^^~~ 2 O~^r W ""'
qui est evidemment verifiee. Nous verrons plus loin le parti qu'on peut tirer de ces diffe'rentes propriet^s.
936. L'emploi du deplacement a deux variables que nous venons d'etudier nous permet de presenter sous une autre forme le theoreme fondamental que nous avons demontre au n 761, relativement aux sjstemes cycliques. Considerons d'une maniere generate une droite (d) invariablement lie a (8) et entrainee dans le mouvement de cette surface, et soit m son point d'intersection avec le plan de contact de () et de (&\ ). Le point m decrira une certaine surface dont le plan tangent en m sera celui qui projette la droite (d) sur le plan de contact. En eflfet, tous les dplacements e"lementaires e*tant des rotations autour de droites situe*es dans le plan de contact, la vitesse d' entratnement du point m dans ces deplacements sera ton jours la normale k ce plan ; quant sa vitesse relative, elle sera' dirigee evidemment suivant la droite (d). Le plan tangent cherche" devra etre normal au plan de contact et passer par la droite (rf).
Cela pose", conside"rons une sphere (S) de rayon nul, ayant son centre en un point M invariablement lie a (). Elle couperaleplan de contact suivant un cercle (C) dont les positions successives engendreront une congruence. Soit (d) une ge"ne"ralrice rectiligne
determinee de (S) ; elle coupera le cercle en un point variable m\ et, d'apres la construction du plan tangent que nous venons d'indiquer, la surface (S) decrite par le point m sera normale au cercle. C'est le resultat deja demontr au n 762.
937. A la famille des surfaces (S) normales aux cercles, on doit associer deux autres families d'enveloppes de spheres formant avec la premiere un systeme triple orthogonal (n 477). Les positions successives du cercle (C) qui engendrent ces deux families de surfaces correspondent aux deux series de roulements dans lesquels le centre instantane d^crit une des courbes du systeme conjugue commun a (0) et a (0i). II suffira, pour le demontrer, d'etablir que les developpables de la congruence engendree par 1'axe du cercle (C) dans ses differentes positions correspondent a ces memes courbes conjuguees (n 472).
AbaissoBS du point M invariablement lie a (0) une perpendiculaire surle plan de contact de (6) et de (0,).Les differentes positions de cette perpendiculaire seront les axes des positions successives du cercle (C). Si Ton se deplace sur la surface (<), deux positions conse'cutives de k perpendiculaire seront perpendiculaires a lacaracteristique du plan tangent a (i), c'est-a-dire a la tangente conjuguee de la direction du d^placement. Pour que la perpendiculaire engendre un element de surface dveloppable, il sera done necessaire et suffisant que le d^placement du point M soit, lui aussi, perpendiculaire a cette conjuguee. C'est ce qui aura lieu si cette tangente conjuguee est 1'axe de rotation du deplacement, c'est-a-dire si ce deplacement a lieu suivant une des courbes du systeme conjugu^ commun a () et a (<)- Nous obtenons ainsi les deux series de developpables de la congruence et notre proposition est 6tablie.
Au reste, Panalyse en fournit aussi une demonstration des plus simples.
938. Nous avons vu (n 758) [III, p. 348] que si, de chaque point d'une surface comme centre, on d^crit une sphere de rayon variable, les points de contact de cette sphere avec son enveloppe demeurent invariables quand la surface se d^forme en demeurant applicable sur elle-meme. Par suite, si, du point de contact de (0)
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et de (<) pris comme centre, on decrit une sphere dont le rayon varie suivant une loi quelconque, les points ou cette sphere louche son enveloppe sont les memes, qu'on la considere, soit comme appartenant a(@), soit comme appartenant a (6^). En d'autres termeSj on obtiendra deux enveloppes de spheres, Tune dans Tespace, 1'aulre dans le systeme mobile. Ces deux enveloppes glisseront Tune sur 1'autre et seront toujours tangentes en deux points places sym^triquement par rapport au plan de contact de (0) etde(0,).
Considerons,en particulier, une sphere d^finie dans le systeme fixe par Fequation
z\ sont les coordonnees du centre instantane par rapport a des axes fixes et ou 9 est une solution quelconque de l'quation (34) relative au syst&me conjugue commun. La sphere touche son enveloppe en deux points P, P ; qui sont les m&rnes quand on la considere comme faisant partie, soit du systeme fixe, soit du systeme mobile; mais la corde de contact PP' engendre deux congruences distinctes, suivant qu'on la rattache a Tune ou a 1'autre des surfaces (0), (i) Bien que distinctes, ces congruences ont achaque instant lesmmes plans focaux; car ces plans focaux doivent etre (n 473) perpendiculaires aux tangentes du systeme conjuguS commun. On peut done dire que les developpables de la congruence engendree paries droites PP' se conservent lorsque la surface (0) se deforme en entrainant ces droites de mani&re a venir comcider avec (i), et elles correspondent aux courbes du syst&me conjugue commun & (6) et a (Oj). Ajoutons toutefois que, si les plans focaux des droites de ces congruences demeurent invariables, il n'en est pas de mme de leurs points focaux.
Appliquons la remarque generate prcdente au cas ou Ton choisit pour 9 une solution particuliere deja indiquee plus haut. Si x, y^ z d^signent les coordonnees du centre instantan^ par rapport & des axes invariablement lies a (8), nous avons vu que Tequation (34) admet la solution
6i = ns\ Gomme la sphere repr^sent^e par Uequation (3y) a, dans ce cas,
pour rayon
t-'Si 6 i ou son equation par rapport ajux axes mobiles sera ^videmment
ou encore
Xa-hYs-f-Z a 2X# 2Yj 2Z,3 = o,
et elle passera par un point fixe du systeme mobile, a savoir Porigine des coordonnees; de sorte que sa corde de contact sera la perpendiculaire abaissee de ce point sur le plan de contact de(0) et de (0? elle sera 1'axe du cercle appartenant au systeme cyclique determine par la sphere de rayon nul ayant son centre en ce point. Par suite, dans ce cas particulier comme dans celui ou 6 est une solution quelconque de Tequation (34), les developpablesde la congruence engendree par cet axe correspondront aux courbes du systeme conjugu commun a (6) et a (i).
939. D'apres cela, si M designe un point du systeme mobile invariablement lie a (0), le systeme cyclique derive de ce point se definira comme il suit.
Les differents cercles (C) du systeme seront les intersections du point-sphere M avecles positions successives du plan de contact de(@) etde (6,).
Les differentes surfaces (S) normales aux positions successives du cercle (G) seront engendrees par le point d'intersection, avec ce plan de contact, d'une g^n^ratrice rectiligne determin^e, mais quelconque, du point-sphere M. Chacune de ces surfaces constituera Tuniqne nappe focale situe a distance finie de la congruence engendree par cette gnratrice iso trope.
Enfin les deux families de surfaces (E), (E ; ) qui competent avec la famille (S) le systeme triple orthogonal se definiront de la maniere suivante : Quand le point de contact de () et de (% { ) decrira une des courbes du systeme conjugue commun, 1'axe du cercle (C) engendrera une surface developpable (A) ; les diflfdrentes positions de ce cercle engendreront une des surfaces (E) ou (E ; ), qui sera une enveloppe de sphere et sera touchee, en tous les points du cercle (C), par la sphere qui contient ce cercle et a son centre au point de contact de 1'axe du cercle et de Farte de re-
