DI -D; D

Elles ne seront indeterminees que dans le cas ou les deux surfaces seront symetriques Tune de 1'autre. La double famille qu'elles forment ne se r6duira a une famille unique que si les deux surfaces (0), (61 ) sont rgle"es Tune et Fautre, leurs generatrices reclilignes etant des lignes correspondanles. Toutes ces proprietes peuvent etre prevues et demontrees a priori. Quand une correspondance, point par point, est tablie entre deux surfaces d'ailleurs quelconques (S) et (S|), il existe, en general, un syst&me conjugue de (S), et un seul, qui correspond aun syst&me conjugue de (S^). En effet, a tout r^seau conjugue de (S) correspond sur (S 4 ) un systeme de courbes qui divisentharmoniquement le reseau des lignes correspondantes aux asymptotiques de (S). Si Ton veut qu'elles soient, en outre, conjugue*es sur (S), leurs tangentes en chaque point seront pleinement definies par la condition de diviser harmoniquement deux angles, en general distincts. Si les lignes asymptotiques de (S) ne correspondent pas a celles de (S 4 ), il y aura un reseau repondant a la question et compose de deux families distinctes, reelles ou imaginaires. Si une famille de lignes asymptotiques de (S) correspond a des lignes asymptotiques de(Si), le reseau conjuguesereduiraa une famille double, ibrmee des asymptotiques qui se correspondent. Enfin, si a toutes les lignes asymptotiques de (S) correspondent les lignes asymptotiques de (S^, tout reseau conjugue de Tune des surfaces aura pour homologue un reseau conjugue' de la seconde ( i ).

Dans le cas particulier ou les surfaces correspondantes sont

(*) Dans cet ordre d'id^es, le lecteur d^montrera facilement la proposition suivante : Quand on connait les lignes asymptotiques d'une surface (S), on peut la faire correspondre, point par point, & un plan de telle maniere que tout reseau orthogonal du plan ait pour homologue un reseau conjugue" de ia surface; etcela, sans aucune integration,

applicables Tune sur Fautre, nous avons vu au n 723 qu'en dehors des cas spe'ciaux signales plus haul les lignes asymptotiques ne sontjamais des courbes correspondantes. Done le systeme conjugue existera toujours et se composera de deux families distinctes reelles ou imaginaires. Ces deux families auronl me'me cette propriete particuliere que les tangentes aux deux courbes qui passent au mme point feront le meme angle sur les deux surfaces.

Cela pose, soient (C), (Cj) deux courbes correspondantes appartenant a Tune ou a Pautre famille et tracees sur les deux surfaces. Les deux de"veloppables circonscrites suivant ces courbes aux deux surfaces seront e*videmment applicables Tune sur Pautre; car elles ne sont autres que les deux surfaces regimes (R) et (R,) considerees au n 932. On peut d'ailleurs le reconnaitre directenient; le lecteur tablira sans peine que, pour les deux de\eloppables, le segment de la generatrice rectiligne intercept^ entre la courbe de contact et Farte de rebroussement a la mme valeur, et de la il de*duira que les deux aretes de rebroussement des dveloppables ont mme arc et m^me rayon de courbure aux points correspondants, ce qui suffit & etablir le r^sultat annonce.

935. Au sujet de ce systeme conjugue commun a deux surfaces, M. Kcenigs a fait une remarque tres int^ressante que nous allons rappeler.

Si Ton prend comme variables les parametres u et v des deux families conjugu^es qui le composent, on salt que les trois coordonn^es carte*siennes des points de chaque surface satisfont a une equation line'aire telle que la suivante

(34) -TT H-a -h Q-T- = o.

du dv da r dv

II devrait done y avoir deux equations distinctes de cette forme, Tune pour (6), Fautre pour (0 4 ). En reaiit<$, il n'y en a qu'une; et si Ton suppose d'ailleurs les deux surfaces dans une position relative quelconque, mais fixe, les six coordonne*es x> y, z\ x^ y(, ^i de deux points correspondants satisfont a une m&ne equation lin^aire de la forme pre"ce"dente. Telle est la proposition de M. Kcenigs.

La demonstration en est d'ailleurs presque immediate. Elle r6-