MP , .MP

tan S? = <i?p> tangcp' = 8 ,

et, comme elles sont orthogonales, on aura necessairement

MP*=FP.F r P.

En d'autres termes, les foyers F. F' divisent harnioniquement le segment forme parle point M et son sjm6trique relativement au plan de contact.

Le lecteur pourra verifier cette relation en e*tudiant directement la congruence rectiligne forme"e par 1'axe du cercle (C); il reconnaitra egalement ce fait important que Tangle cp sous lequel le plan de contact est coupe par une des spheres demeure le me'me pour chaque position de (0) et de (0^ lorsqu'on substitue au point M tout autre point M^ invariablement lie, lui aussi, a (0). Nous preferons etablir ce dernier resultat parlamethode suivante.

940. Soient M, M.^ deux points du systeme mobile invariablement li^s a (0). Les perpendiculaires abaissees de ces points sur le plan de contact de () et de (0<) engendrent deux congruences distinctes dont les developpables se correspondent, puisqu'elles correspondent au mme systeme conjugue de (0). Envisageons d'une maniere g^nerale les congruences engendrees par deux droites paralleles et pour lesquelles les developpables se correspondent. Voici les proprie'te's generales que nous avons deja signalees a leur e*gard (n 920) et que nous completerons en les demontrant de nouveau par une voie directe (*).

(*) Ribaucour y avait ^te conduit de son c6t^ et les a enonce"es dans une Note Sur les systemes cycliques inserSe le 17 aout 1891 au Tome CXIII des Comptes rendus de I'Academie des Sciences (p. 3o4 et 324).

I2 g LIVRE VIII. C1IA.PITRE VI.

941. Soient(rf) et (d r ) (Jig. 85) les deux droites parallels; F, F, les points focaux de la premiere; F', F, les points focaux correspondants de la seconde. Quand les droiles varient, ces points focaux decrivent les nappes focales des deux congruences, nappes que nous designerons respectivement par les lettres (F), (p),

Fig. 85.

(F|) ? (F,). Cela pos, quand la droite (d) engendre une dveloppable, elle demeure tangente, par exemple, a la courbe d^crite par le point F et alors la droite (d!) demeure tangente a la courbe decrite par le point F'. Les deux courbes decrites par F et par F' ayant leurs tangentes paralleles ont, par suite, leurs plans osculaleurs paralleles ; et comme ces plans osculateurs (n318)sont les plans tangents aux nappes (F< ), (F', ), il en resulte que ces deux nappes se correspondent par parallelisme des plans tangents. En consider ant Fautre serie de developpables on demontrera de m^me que les plans tangents aux points correspondants de (F) et de (F) sont paralleles. D'apr&s les propositions enoncees au n 319, les developpables engendrees par (cf) et par (d f ) correspondent a un sjsteme conjugu trace sur les quatre nappes, et, d'apres d'autres propositions donnees au n426, on sait que, lorsque deux surfaces se correspondent par plans tangents paralleles, les courbes du systeme conjugu^ commun ont, sur les deux surfaces, leurs tangentes paralleles. De plus, lorsqu'on se d^place suivant 1'une des courbes du systeme conjugu commun, la droite qui joint les points correspondants des deux surfaces engendre aussi une developpable. Nous voyons done qu'ici les droites FF', F< F\ engendreront des developpables en mgme temps que les droites (d) et