ROULEMENT DE DEUX SURFACES I/UNE SUR I/AUTRE. I2Q
Considerons d'abord les developpables pour lesquelles les arltes de rebroussement sont decrites par les points F et F; la caracte'ristique da plan des deux droites sera alors la ligne FF'. Dans Vautre s^rie de ddveloppables ce serait la droite FjF',. Done la surface enveloppee par le plan des deux droites louche ce plan au point P de renconfre de FF et de F< F\ . D'autre part, comme les deux tangentes PFF', PF < F' 1 dcrivent en meme temps des developpables, il est n^cessaire qu'elles soient conjuguees et que, dans la premiere serie, lorsque F, F 7 decrivent des courbes tangentes aux deux droites, le point P decrive une courbe tangente . Ainsi:
Si deux droites paralleled engendrent des congruences dont les developpables se correspondent, le plan de ces droites louche une certaine surface (S) et les points focaux des deux droites sont sur deux tangentes conjuguees de (S); de telle sorte que les congruences formees de ces droites correspondent aux deux families de courbes de (S) admettant les deux tangentes conjuguees.
Lorsque le point P decrira une de ces courbes conjuguees, les deux droites (rf), (d 1 ) seront tangentes aux deux courbes qui sont decrites par les points ou elles sont coupees par la tangente conjugue"e de la direction suivie par le point P.
942. On peut aj outer encore la propriete suivante : Definissons un rayon R par l^galite*
PF R PF' ~ R ~t- A '
ou h designe une constante quelconque. Decrivons, du point P comme centre, des spheres (S), (S') de rayons R etR-j- A. Lapolaire de (d) par rapport a (S)sera la corde de contact de cette sphere avec son enveloppe; et de meme la polaire de (d r ) par rapport a (S').
En effet, menons par la droite (d) unplan (P ) tangent a (S). En
vertu de la relation pr^cedente, le plan parallele (P') mene" par (d f )
sera tangent a (S ; ) et il sera a la distance h du premier. Comme les
deux plans ainsi construits ont leur distance invariable, ils enve-
j,j LIVRE VIII. CHAPITRE VI.
lopperonl evidemment deux surfaces paralleles; et, pour lout deplacement, leurs caracteristiques, necessairement paralleles, seront perpendiculaires a la normale commune des deux enveloppes. En d'autres termes, toute droite rencontrant ces deux caractrisliques rencontrera aussi la normale commune aux deux surfaces paralleles.
Or quand les droites (d) et (d 1 ) decrivent des de~veloppables, celles par exemple pour lesquelles les aretes derebroussementsont decrites par les points F et F', la caracte"ristique du plan (P) passera Evidemment en F et celle du plan (P') en F'. Done la droite FF rencontrera la normale commune aux deux enveloppes. Gomme on peut repeter le me*Hie raisonnement pour la droite F { F\ on voit que la normale commune ira passer en P au point de rencontre de FF et de F, F', . Par suite, les points de contact des plans fP) et (P 7 ) avec leurs enveloppes sont sur la perpendiculaire commune abaissee de P sur ces deux plans; ce sont precise"ment les points de contact des spheres (S), (S') avec ces plans; de sorte que les enveloppes de ces deux spheres sont identiques aux enveloppes des plans. Cela <tablit la proposition annoncee.
Nous avions vu au n 474 que si, des differents points d'une surface comme centre, on decrit une sphere de rayon variable R, les points focaux de la polaire de la corde de contact de la sphere avec son enveloppe sont sur deux tangentes conjuguees de la surface; et il resulte de 1'analyse developpe'e dans ce numero que deux spheres dont les rayons different d'une constante donnent dans le plan tangent deux polaires paralleles appartenant a des congruences dont les developpables se correspondent. Les considerations geometriques que nous venons d'exposer prouvent que Von, obtiendra par cette construction tons les systemes de deux droites paralleles engendrant des congruences dont les developpables se correspondent.
943. Pour completer P6tude de ce sujet, nous e'tablirons la re'ciproque de la proposition demontree au n 474, en prouvant que si une droite (d) (fig* 85), situ6e dans le plan tangent d'une surface (S) et definie pour chaque position de ce plan, engendre, lorsqu'il varie, une congruence telle que ses points focaux F, F { soienl toujours situes sur deux tangentes conjuguees PF, PF< de
ROULEMENT DE DEUX SURFACES l/UNE SCR I/AUTRE. l3l
(S), elle peut toujours tre considere*e comme la polaire de la corde de contact (pour abreger nous dirons polaire} d'une sphere variable ayanl son centre sur la surface (2). Le rayon de cette sphere sera determine a un facteur constant pres.
Supposons, en effet, que la droite FF { se deplace de maniere a engendrer la developpable pour laquelle le point focal est F; la caracteristique du plan tangent sera evidemment PF et, par suite, le point P se deplacera suivant PF< ; les droites PF, PF, engendreront des elements de surfaces developpables. En repetant ce raisonnement pour le second point F i on etablira que les developpables de la congruence engendree par FF, correspondent sur (S) aux courbes du reseau conjugue* admettant en P les tangentes PFj PFj ; et, par consequent, que la surface de*crite par le point F sera couple suivant deux families de courbes conjugue'es par les developpables de la congruence engendree par PF. Si done x, y, z designent les coordonne'es cartesiennes du point P : si p, p^ sont les parametres des deux families conjugu^es tracees sur (S) (p restant constant sur les courbes qui admettent la tangente PF { ) ? les coordonne'es cartesiennes du point F seront (n 418)
6 dx dy 8 ds
^""W^"' y~~Wdj' S ~"~rtdt' dp dp dp
6 e*tant une certaine solution de Tequation lineaire du second ordre a laquelle satisfont x, y, z conside*rees comme fonctions dep, p f .
En faisant varier p 4 et diffe*rentiant les expressions pr^cedentes des coordonnees de F, on aura les parametres directeurs de FF^ qu'on pourra mettre sous la forme
dx dx dy dy dz dz
dp dpi dp dpi dp dpi
et la symetrie parfaite de ces expressions conduit a adopter pour les coordonnees du point F< les valeurs suivantes
6 dx __ 6___ dy __ 6 dz
^"~7T^' y <ft d ?i ' Z d^ dpi' dpi dpi dpi
qui sont les seules satisfaisant a la question.
j3'2 LIVRE VIII. CHAPITRE VI.
Or il suffit de comparer ces expressions des coordonnees des points focaux F, F 4 a celles que nous avons donnees au n 474 pour reconnaitre que la droite (d} sera la polaire de toutes les spheres dont le rayon R satisfait a la condition
"RT^ T el de celles-la seulement. On tire de la
a d^signant une constante quelconque, et notre proposition se trouve ainsi entierement etablie.
944. Cette proposition nous montre que les differentes droites ( d) situes dans les plans tangents d'une surface (S) peuvent engendrer deux especes bien distinctes de congruences : les unes pourlesquelles les points focaux de la droite ne sont pas sur deux tangentes conjuguees de (S); les autres, au contraire, pourlesquelles les tangentes contenant ces points focaux sont conjuguees. Pour ces demises seulement, la droite de la congruence peut etre definie comme la polaire d'une sphere variable ayant son centre sur la surface donne. Ces congruences sont anssi les seules pour lesquelles il existe dans le plan tangent de (S) des droites (d 1 ) parall&les a ( d} et qui engendrent des congruences dont les developpables correspondent a leurs developpables. Si Ton d^signe par d et d'les distances des droites (d) et (d f ) au point P, on doit avoir, d'apres une propriety etablie plus haut,
d~~PF~~ R "" aO^"^ 1 ^!"'
On voit done que la droite (d!) d^pendra de la seule conslante ~; par suite, dans chaque plan tangent de (2), il y aura un seul
iaisceau de droites (df) paralleles a (rf); et les distances mutuelles de ces droites conserveront un rapport invariable lorsque le plan tangent variera.
Si des droites (d) sont les polaires d'une famille de spheres ayant leur centre sur (S), cette proprit< se conserve, d'apr&s le ^tabli au n 738 et d^ja rappele au n 938, lorsque la sur-
ROULEMENT DE DEUX SURFACES l/NE STIR l/AUTRE. l33
face se deform e en entrainanL les spheres, les plans tangents et les droites (d). Par consequent, la distinction que nous avons &ablie entre les congruences engendrees par les droites situees dans les plans tangents de (S) subsiste apr&s une deformation quelconque de cette surface : si les droites (d) etaient les polaires d'une famille de spheres, elle conserveront cette proprite apres la deformation; elles ne pourront Tacqu^rir si elles ne la possdaient pas. Nous pouvons conclure de la qne :
Si deux droites paralleles situees dans les plans tangents de (S) engendrent des congruences pour lesquelles les developpables se correspondent, elles conserveront cette propriete lorsque (S) se deformera en les entratnant.
Nous ferons usage plus loin de cette proposition.
945. Revenons aux syst&mes cycliques et aux deux congruences engendrees par les perpendiculaires abaissees de deux points M, M, surleplan tangent commun a (6) eta^). Le plan de ces deux perpendiculaires est le plan projetant de la droite MM^ . Done (n936) iltouchera son enveloppe au point m ou cette droite prolongee va rencontrer le plan de contact (fig- 86).
Done, d* apres la proposition du n 941, les points focaux F, F ; et F M F\ (fig. 86) des droites MP et MiPi sont situes deux a deux sur des droites concourantes en m\ et ces deux droites mF, mF f sont meme des tangentes conjuguees de la surface lieu du point m. Soit (C) le cercle relatif an point M, (C< ) le cercle relatif au point M 4 . Les spheres qui contiennent ces deux cercles et qui ont pour centre, la premiere le point F, la seconde le point F coupent le plan de contact sous des angles cp, <? { determines par les formules
