CHAPITRE XIV
DERNIERES B.ECHERCHES.
Nouveau developpement donne par M. Weingarten aux recherches precedentes.
Probleme propose*. Etant donne un element lineaire, pour resoudre le probleme de la deformation, on mene par chaque point de la surface cherchee (6) une tangente faisant un angle determine, mais d'ailleurs variable, avec les courbes coordonnees; puis on prend comme variables independantes deux parametres quelconques propres a definir la direction de cette droite dans Tespace. Formation des equations aux derivees partielles auxquelles satisfont les coordonnees curvilignes u et v conside"re*es comme fonctions de ces parametres. A ce propos, Ton rappelle et Ton complete quelques proprie'tes de la ligne de striction des surfaces reglees. feant donnee une congruence rectiligne, assembler les droites en surfaces regimes dont les lignes de striction soient sur une des nappes focales de la congruence. Les proprie'tes ge"ome~triques e"tablies permettent de simplifier les equations qui de"terminent u et v et de les require a une seule equation aux derivees partielles du second ordre.
Renvoi au Memoire de M. Weingarten couronne par TAcademie des Sciences.
1082. Si Ton analyse la methode suivie par M. Weing-arten et exposes dans le Chapitre precedent, on remarquera qu'elle pent ^tre interprete*e comme il suit. Par chaque point de la surface () admettant Foment lineaire donne par la formule (4) [p. 809] on me'ne une tangente (rf) dont les cosinus directeurs C, C/, C 7 s'expriment par les formules (i3) [p. 3 12]. On exprime ces cosinus directeurs en fonction de deux parametres u 1 et v f et Ton essaye de determiner les coordonnees curvilignes u et 9 en fonction de ces parametres. Dans le cas particulier le plus important, celui ou 1'e'le'ment lineaire de () revt la forme (48), Tune des coordonnees 9 est determine*e par une Equation aux de'rive'es partielles du second ordre, Pequation (S^) [p. 824]. L'autre u s'exprime ralionnellement en fonction de p, supposee connue, et de ses de'rivees premieres par rapport aux variables a et (3, en fonction desquelles les cosinus C, C', (7 ont etc* exprime's par les formules (5a).
DERNIERES RECHERCHES. 33g
Pour rechercher si des simplifications analogues se produisent loujours, proposons-nous done le probleme general suivant :
fitant donne un element line*aire quelconque, defini par la formule
(i) ds* = E du* + aF du. dv -+- G dv*,
supposons qu'il s'agisse de determiner toutes les surfaces (9) admettant cet element lineaire. Sil'onmene, par chaque point d'une de ces surfaces, une tangente (d) determine'e exclusivement au moyen de 1'element lineaire, c'est-a-dire une tangente faisant avec Tune des courbes coordonnees un angle qui sera une fonction determinee de u et de P, la direction des droites telles que (d) dependra de deux parametres que Ton pourra choisir d'une infinite de manieres differentes. Par exemple, on menera par le centre d'une sphere (S) de rayon i des paralleles aux droites (d). Si Ton prend sur la sphere (S) un systeme de coordonnees curvilignes quelconques u\ v', la direction de chaque droite (d) sera definie par les coordonnees curvilignes du point ou la parallele a cette droite rencontre la sphere (S). Proposons-nous, avec M. Weingarten, de determiner les coordonnees curvilignes u et 9 du point de la surface (9) en fonction des variables independantes u 1 et 9'.
Employons ici encore le triedre (T). II est clair qu'on peut le determiner par la condition que son axe des x coincide avec la droite (d). D'apres les notations que nous avons adoptees, a, a', a" sont les cosinas directeurs de cette droite et Ton doit avoir
( 2 ) ds'* = da* -f- da'* + rfa' = e du'* 4- 2/ du' dv' -f- g dv'*,
e, f : g 6tant des fonctions connues de u f et de v f . Liquation pr^ce"dente donne Felement Iin6aire de la sphere (S), exprime" en fonction des variables u' et tf . Si Ton emploie les formules
da = b(rdu-}~ /^ dv) c(q du
da'= b'(rdu-{-ridv)
da"= b"(r du -+- r t dv) c n (q du -+- qi
on peut lui donner la forme suivante
(4) (q du -+- q dv)* + (rdu -h J\ dv)* = e du't+ifdu' dv'+gdv'*, qui. jointc aux six equations fondamentales (A) [II, p. 3Sa] cnlre
les rotations etles translations, permettra d'eliminer les rotations etconduira aux equations aux derivees partielles propres a determiner u et 9 en fonction de z^ / et de v r . Le premier point a e'tablir estle suivant : parmi les Equations du systeme (A), Fune d'elles, la premiere, peut tre laisse*e de c6te et sera toujours, dans le cas actuel, une consequence des cinq autres.
Si, en efiet, Ton mene, par le point m de (S) qui sert de representation spherique a la droite (d) tangente en M a (), un triedre (T\) ajant ses axes paralleles a ceux de (T), ce triedre aura son axe des x normal en m a la sphere (S); et, comme il a les memes rotations que le triedre (T), il suffit de faire une permutation circulaire pour reconnaitre que la premiere Equation (A) expritne le fait suivant : la courbure totale de (S) est egale a 1'unite". Comme la formule (2) nous donne Tenement lineaire de cette sphere, il n'est done pas douteux que la premiere Equation (A) sera une consequence de toutes les autres et que nous pourrons la ne"gliger.
1083. Celapose", revenons a liquation (4). Si nous y remplaons du, dv par leurs expressions
7 du 7 , du , . j 69 , . dv , .
du = -v-> a u -h -T-? av , dv = , du -H T -. do ,
du dv ' du dv
et si nous ^galons les coefficients de dic'-^ du! dv* , dv 1 - dans les deux membres, elle se d^composera en trois Equations. Comme r et r\ sent des fonctiojis connues de u et de v, ces trois equations, non seulement nous fourniront les valeurs de q et de q^ mais elles nous donneront de plus une relation entre n! , v' } les fonctions u, v et leurs derivees premieres par rapport a u 1 et a v 1 . Voici comment on peut obtenir cette relation. Donnons a 1'equation (4) la forme suivante :
/ (q du -h (ft dp)* = e du' z -h 2/ du' dv'-k- g dv'* ( 5 ) ]
En ^crivant que le second membre est un carr^ parfait, nous aurons la relation
le symbole A9 6tant le param&tre difierentiel du premier ordre
relatif a V element lineaire de la sphere (S).
Quand la relation (6) sera vrifi<e, le second membre de liquation (5) sera un carr par fait
ou Q et Q< seront des fonctions connues de u f , p', de w, p et de leurs derives premieres. Les rotations q et g^ seront d6termin^es par Tidentite
q du -h #i ^P = Q rftt r qui donnera
du dv
On deduit de la les valeurs de q et de g^. Ces valeurs donnent lieu a Tidentite suivante
^2 ^Q 1 /f?2 ^JL^ /^ ^L ^ ^\ <9) 57' ~~"dz7 "" V5F ~du)\du' dv' 69' du')'
dont la verification n'offre aucune difficult^.
Les valeurs de q et de g, une fois obtenues, il n'y a plus qu'a les porter dans les Equations (A), qui se rduisent aux suivantes, si 1'on tient compte de la renaarque faite plus haut,
dr
Les deux premieres de droite servent de definition a r et a r,; les trois autres contiennent les deux rotations /?, p { que Ton peut
eliminer; et il reste Tunique equation
69 du dr dri dv du
Si Ton remplace q, g^ ~ -j^ par leurs valeurs de*duites des
equations (8) et (9) on sera conduit a une nouvelle relation entre it, 9 et leurs derivees par rapport a u' et a 9* '. Cette Equation, jointe a celle (6) que nous avons obtenue, donnera toutes les relations necessaires entre les variables &, p, u' : v r . Mais elle sera cette fois du second ordre par rapport aux. derivees de u et de p.
1084. D'ailleurs, lorsqu'on aura les expressions de u, 9 en fonction de a', p', la surface (0) s'obtiendra par de simples quadratures, pourvu que le systeme de coordonnees u r , v* soit choisi, sur la sphere (S), de telle maniere que Ton connaisse les expressions de <2, a', a f/ en fonction de u r et */. Dans cette hypothese, en effet, les formules (3) nous feront connaitre &, b 1 , b n , en fonction des derivees premieres de , a r , a ff , et la surface (0) sera definie par les formules
dv),
Les deux equations qui d^terminent u et 9 en fonction de u 1 et de J sont, en general, assez compliquees. On les ramene a la forme la plus simple qu'elles puissent recevoir a I'aide de Tartifice suivant.
1085. Supposons d'abord que les droites (d) aient 6te donnees a priori, c'est-a-dire que 1'on ait indique* d'une maniere precise comment le triedre (T) est rattach^ a la surface (0). Cherchons sur cette surface les courbes (K*) denies par 1'equation differen-
tielle
rdu-+-
c'est-a-dire les conrbes telles que, lorsqu'on se d^place suivant Tune d'elles, la composante de la rotation du triedre autour de la normale soil nulie. On pent interpreter geometriquement cette condition.
En effet, les formules (3), qui donnent les differentielles de a, a' 5 a r> r , nous montrent que, si Fequation (i3) est verifiee, la surface reglee engendree par Faxe des x du triedre (T) a son plan tangent a Finfini perpendicuJaire a Faxe des y de ce triedre, c'esta-dire normal au plan tangent de (8). Done les courbes definies par Fequation diffe>en tielle (i3) sont les lignes de striction des surfaces reglees engendrees par Faxe des x du triedre (T), et nous pouvons enoncer la proposition suivante :
Etant donnee ane congruence formee de droites (d) tangentes a line surface (0), si I 7 on vent assembler ces droites en surfaces reglees dont les lignes de striction soient sur la surface (0), il faudra Integrer une equation differentielle du premier ordre, qui f era connaitre ces lignes de striction. Cette equation ne changera pas de forme quand la surface (0) se deformera en entrainant les droites de la congruence.
II r^sulte de la methode suivie que ces lignes de striction subsisteront si, a chaque droite (d) de la congruence, on substitue, dans le meme plan tangent de (), une autre droite (d 1 ) faisant avec (d] un angle qui demeure constant sur chaque ligne de striction, car alors les tridres relatifs aux droites (rf) et (d r ) auront les memes rotations.
Au lieu de donner la congruence formee par les droites ( d\ supposons que Ton donne les lignes de striction (K). Nous allons voir que, pour determiner la congruence, il ne sera pas ne"cessaire cette fois d'int^grer une Equation differentielle : il suffira d'effectuer une quadrature.
Employons, en effet, un triedre (T) rattache a () d'une manire arbitraire, mais connue; et d^terminons la droite (d) de la congruence qui passe en un point M de () par I'angle a qu'elle fait avec Faxe des x du triedre, Lorsqu'on se displace sur une des
lignes (K) donnees, la droile (d) engendre une surface reglee. Determinons le plan tangent a 1'infini de cette surface. Pour cela, menons par un point fixe une droite Qm de longueur i, parallele a (rf); et rapportons cette droite a un tridre (T ; ), de sommet 0, parallele au triedre (T). Le point m ayant pour coordonn^es relatives a ce triedre
cosa, sin a, o,
les projections de son d^placement seront
sina ( da. -h r du -+- r z dv ), cosa(d f a-+- r du-+- 7*1 dv), dv)sina (q du H- qi dv) cosa.
Pour que la courbe (K) d^crite par le point M de (0) soit ligne de striction de la surface reglee engendr^e par la droite (rf), il faut que le d^placement precedent soit normal an plan des xy^ c'est-a-dire que Ton ait
(i4) daL-t-rdu-*- ride = 0.
Cette Equation met immediatement en Evidence le resultat On aura
1'int^grale e tan t prise suivant Tune queleonque des courbes (K). La constante qu'il faudra lui aj outer pourra varier quand on passera de Tune de ces courbes a une autre. Si, par exemple, on a choisi le systme de coordonnees curvilignes de telle maniere que les courbes (K) soient dfinies par Tequation
u = const., on aura
6tantune fonction arbitraire de u.
1086. Les remarques pr^cedentes ^tablissent implicitement certainespropri^tes int^ressantes de la ligne de striction d'une surface . On savaitd^ja que cette ligne conserve sa definition quand
la surface se deforme de telle maniere que ses generatrices demeurent rectilignes. Nous voyons maintenant que, si Ton inscrit suivant la ligne de striclion une surface quelconque(0) tangentea la surface reglee, on pourra deformer cette surface de telle mani^re qu'elle entraine dans ses plans tangents les generatrices de la surface regime sans que la ligne de contact cesse d'etre la ligne de striction. Cette nouvelle proposition comprend la precedente, car la surface (0) pent se reduire a la surface reglee elle-m^me^ il serait d'ailleurs aise de la demontrer par une voie entierement geometrique. Elle conduit a la consequence suivante :
Soit (K) une courbe quelconque trac^e sur (0); proposons-nous de determiner les surfaces reglees, tangentes a (0), dont elle est la ligne de striction. Nous substituerons a la surface (0) la d<Sveloppable (A) circonscrite a (0) suivant la courbe (K), et nous effectuerons le developpement de (A) sur un plan. La courbe (K) se transformer ainsi en une courbe plane (K'). Les generatrices (d] de la surface reglee deviendront des droites (rf'), situees dans le plan de (K/) et passant par ses difterents points. Pour que la courbe (K') puisse tre regardee comme une ligne de striction pour la surface reglee engendree par ces droites (<aP), il faudra qu'elles soient toutes paralleles. Car, si elles se coupaient a distance finie, le plan tangent a 1'infini de la surface reglee comcideraitavec le plan de (K'); tandis que, dans le cas oules droites sont toutes parall&les, ce plan tangent est indetermine et pent etre considere comme perpendiculaire au plan de (K'). Nous sommes done conduits a la construction suivante :
Etant donnee une courbe (K) situee sur une surface (0), pour obtenir les surfaces reglees, tangentes a (0) suivant cette courbe, dont elle est la ligne de striction, on circonscrira une developpable A la surface (0) suivant la courbe (K); puis on deformera cette developpable de telle mani&re que, ses generatrices demeurant rectilignes, elle vienne s'appliquer sur un plan. La courbe (K) sera ainsi transformee en une courbe (K ; ), Si, par les differents points de cette courbe plane, on mene des parall&les (d 1 ) a une direction quelconque, ces parall&les seront les iransformees des generatrices rectilignes (d] de la surface cherchde.
Aii lieu d'employer la Geometric, on pent aussi, pour retrouver ces resultats, remarquer que, si Ton introduit Ic rayon de courbure geodesique p^ de (K), Fequation fondamentale (i4) peui s'e*crire
les notations du Livre V, Chap. IV, etant conservees. a to est Tangle que fait la droite cherehee avec la courbe (K); si nous le designons par I, on a
de sorte que la theorie actuelle nous donne une interpretation geometrique elegante de Tangle de contingence geodesique. En particulier, les propositions demontre'es au n 737 et dues a M. Bonnet sont ramene"es a leur veritable origine ; la formule (44) de ce numero est d'ailleurs identique, aux notations pres, a cellc que nous venons d'indiquer.
1087. Revenons maintenant a la question que nous avons a trailer, et supposons que 1'on aitpris sur la surface (8) une famille quelconque de courbes (K). Associons-leur une seconde famille de courbes (L), qui determineront avec les premieres un systeme de coordonne"es curvilignes u et p, le parametre u etant celui qui convient aux courbes (K). Je dis d'abord que Ton pent toujours determiner les courbes (L) de telle maniere que, si Ton fait correspondre au point de (0) un point d'un plan (P) de coordonnees rectilignes u et ^', la courbure d'une portion quelconque de () soit e"gale a Taire de la portion correspondante du plan (P).
Comme la courbure est representee (n os 496 a 499) par rinte"gra)e double
il faudra que 1'on ait
^HL - ( d dr p //
dv "~ 'O -- 7 -f( u > <>)
Or, si Ton a choisi arbitrairementles courbes (L), on aura
dr dr i ft <, 35~ to ^-rt"'")'
Changeons les courbes de parametre v\ c'est-a-dire posons
P=0(H,P); r, rj designant les nouvelles rotations, on devra avoir
r du -4- r\ dv<> = r du -f- r^ dv, ce qni donnera
et, par suite,
du
On doit avoir, avec le nouveau systeme de coordonnees
Done ['equation precedente nous donnera
ou
Vi designant une constante; de sorte que, par nne simple quadrature, la question proposee sera r^solue.
Ainsi, en laissant enticement arbitrages les courbes de paramfetre u, on pent tou jours r^aliser la condition
dir dri __
dv du ~~
II existera alors done une fonction a, dlermine a une constante pr^s ct satisfaisant aux deux Equations
Or, si Ton substitue au triedre (T) choisi primitivement un autre triedre dont 1'axe des x fasse avec le premier Tangle a de*fini par les deux relations pre'ce'dentes, les premiers membres de ces relations seront les rotations nouvelles de ce triedre autour de i'axe des &. On peut done, par de simples quadratures, et en laissant enticement arbitraires les courbes de parametre u, realiser les deux conditions
(ao) r = c, ri = o.
Alors les lignes de parametre u seront lignes de s friction pour les surfaces re glees qui so fit engendrees par V axe des x (ou par Vaxe des y) du triedre (T) lorsque le sommet du triedre se deplace suivant une de ces courbes.
1088. Avec ce systeme de coordonnees, la premiere des deux equations (6) et (i i), qui determinent u et 9 en fonction de u r et de P', se ramene a la forme simple
de sorte qu'elle permet d'exprimer 9 en fonction de &. La valeur de c>, portee dans Fequation (n), donnera une Equation, n^~ cessaire et suffisante, qui determinera u. II est facile de reconnaitre que cette equation est du second ordre et de la former, en employant les parainelres diffe'rentiels pour abr^ger les calculs.
Reprenons a cet effet l^l^ment line*aire de la sphere (S), defini par 1'equation
ds'* = e du'*+ zfdu' rfp'-H g rfp's,
et formons les parametres differentiels de u, relatifs a cet element. Par suite des proprie'te's d'invariance de ces parametres, on pourra ecrire IMlement lineaire avec les variables u et p, ce qui donnera, en tenant compte des relations (4) et (20),
ds r * = ^ du*+ (q du -h qi dv)*, puis former les parametres differentiels avec ces variables u et 9.
On aura, 0, cr designant des fonctions quelconques,
ds
"~ p^i du \ v du P dv] vqi dv \ vq^ dv v du)
Etl'on deduit de la immediatement 1'equation (21) donnee plus haul. Appli quant aussi la seconde formule aux deux fonctions a et U) on trouvera
da da
ou, en remplagant -.- parleurs expressions connues, deduites des formules (3),
da , da ,
et tenant compte des equations (20)
Ainsi, quand M sera connue, les coordonnees du point de la surface cherchee (6) seront denies par les quadratures
= ra(5
Tout esl done ramene a la determination de H. Or on a
et enfin
G-(ZJ) etant Tiavariant defini au n 707 et exprimd en fonction des precedents par la formule
A AM 2 A(w, Aw) kou
II n'y a plus qu'a adjoindre la derni&re des relations (10), ecrite sous la forme
ct a remplacer, dans cette nouvelle Equation, les rapports > ? -2- par leurs valeurs, que Ton d^duira des Equations (26) et (27), pour obtenir liquation finale
- A(a, Aw) = o,
a laquelle devra satisfaire u. II faudray remplacer partout, et en particulier dans les expressions des translations , YI, \\^t\\ 9 la va-
riable 9 par sa valeur-==i- Ces translations satisfont a deux des r /Aw
equations (10) qui deviennent ici
1089. Pour faire des applications de sa mthode, M. Weingarten a choisi sur la sphere (S) le systeme de coordonnes symdtriques pour lequel on a
i-l- ay \-\-wy
1'^lement lin^aire ayant pour expression
On a ici, en adoptant les notations de Monge pour les de-
DERNIERES RECIIERCHES. 35l
rivees,
r< et ti d^signant, pour abreger, les combinaisons suivantes
(34) ri = r + -**, , 1= ,-H-lZfL.
i + sry i-^-scy
La substitution de ces valeurs conduit a une equation de la forme
ou A, C, B, B< sont des fonctions de x, y, u, /? 3 q* M. Weingarten, apr&s avoir form6 cette Equation, a clierchd dans quel cas elle pent etre compleLement integree par la meihode de Monge, ce qui 1'a conduit aux surfaces applicables sur le parabolo'ide de revolution. Mais son Memoire, couronn par PAcademie des Sciences ( H ), n'etant pas encore publi^, nous nous contenterons des indications prdcdentes,. Nous ferons seulement remarquer que si, pour simplifier autant que possible liquation, on fait les deux hypotheses
on retrouve les propositions ^tablies dans le Chapitre precedent. Le rt'jsultat des recherches contenues dans ce Chapitre peut s'enoncer comme il suit .*
Etant donnee une famille quelconque de courbes (K) tracees siw une surface (), on peut toujours, par de simples quadratures, determiner toutes les congruences (G) formees de tangentes a (0) et telles que les surfaces r&glees engendrees par toutes les droites de la congruence ayant leur origine sur une des courbes (K) admettent cette courbe comme
(*) Voir les Comptes rendus, t. CXIX, p. 1060, io5j:, d^cembre 1894. Pour la partie analytique et pour le fond, notre exposition coincide avec cclle de M. Weingarten; les propridtcs ge"ometriques sont nouvelles.
35'2 LIVRE Till. CIIAPITRE XIV. DERNIERES RECIIERCIIES.
ligne de striction. La relation entre la congruence et la surface subsiste qitand La surface se de forme en entratnani les droites. Si Von prend deux variables independantes pour deflnir La direction de chaque droite de la congruence, le parametre de la famille de courbes (k) doit satis faire a une equation aux derivees pariielles du second ordre qui dependra exclusiv erne nt de I' element lineaire de (6) et dont V integration permet, par suite, de determiner par de simples quadratures toutes les surfaces applicable.^ sur la surface (0).
