A^? 2 + A'/2 j A^SH- lEyz -4- 2B
de cette Equation. Les Jignes de courbure seront a Tintersection de la surface et des suivantes, ou X d^signe un param^tre arbi-
() J. WEINGARTBN, JSine neue Classe auf einander abwickelbarer Fldchen (Nachrichten de Goettingue, Janvier 1887, p. 28).
traire
{ ).xF 2 2 js^^stf^L ^L s+ ^5 ^L (9 8) ^ 6C d ^
( -foif+J!-
Si Ton pose
(99) X'=Hw, X ff =Ht>,
X A et A ;/ etant les deuz racines de liquation en \ (98), on aura, pour IMlement lineaire de la surface, Pexpression
ou 1'on a d^sign^ ? pour abreger, par A(S) le determinant suivant
ff S
Appliquons d'abord ce resultat au paraboloide defini par 1'equation (92)
2jK 2 + 2 iyz -4- 2 2* = o.
On aura ici
et il viendra
/ x j ** / x f M <* Mi ^ ^
(102) ds*= - (a P) 7 - - 7
v ; 4 LC^- 1 ) 2 (^ i
Pour le second paraboloide, ayant pour equation
ixy + 2 #3 on trouvera
de sorte qu'il viendra
Ces r^sultats sont conformes a ceux qui ont ^t^ indiqu^s par M. Weingarten.
1081. Bien queles paraboloides considered dans les num^ros precedents soient imaginaires, il nous a para mile de les introduire pour preciser le degre de gen^ralite des r&ultals nouveaux qui ont ete obtenus dans la theorie de la deformation et pour bien montrer combien on est encore eloigne d'une solution quelque peu etendue du probleme. Si Pon se place a ce point de vue, il ne sera pas inutile d'indiquer quelques surfaces regimes, aussi simples que possible, admettant les elements lineaires, indiques par M. Baroni et M. Goursat, pour lesquels la solution du probleme de la deformation peut tre obtenue d'une maniere complete.
A cet eflfet, nous remarquerons que si, dans les foramles gene*rales (91), on remplace ]a fonction arbitraire a par 2P, on obtient une surface regime admettant I'&ement Iin6aire(63) et dfinie par
liquation \.
(104) y iz ix(y H- 13)+ | (y + i*Y H- 2 ty(y + is).
Si done on pose
fy'(v) = i(i m) H-Ap,
la surface coiTespondante aura pour Equation
(io5) y iz = 2o?(jK-h us)
En laissant de cdte le cas ou m est egal a 2, on voit que, pour les cas signaled par MM. Baroni et Goursat, I'l6ment lineaire convient a une surface rdgl^e du troisieme degre a plan directeur isotrope.
