LIVRE VI
LIGNIÏS GÉOUliSIQUES ET C(JUR1JURE GÉODESIQUE
CllÂPlTllIil I.
DlVn^llMlN VTiOiV DKS (1 IÎ01)l':S[0 UKS mil L\ Ml riJODE \)E JAC(Jl)l.
Surlaccs de rcvoUuion; liijncs ;i;éotlc-,ujii(js -- Kqualiou Je ClaivauL. — iJéLeviinnatioii lIcs surfaces pour lesquelles les tjéodéMques sont i;éiicfalcuicnt Icrinecti; celles fie ces Mirlaces qui ont un étiu.deur sont applicables sur la bpUère. — GéodésKjues des suiT.\oes dont l'élénicnt linéaire est réductible à la forme étudiée par Al. Liouvdlc
Konne géométrique que l'on peut donner à rintéj:;rale première — Première application au plan et à la sphère. — Géodébiques de l'ellipsoidc , leur diïjcu^sion sommaire et leur divisiion en trois espèces. Propositions i;éoinétriques se rapportant à rélémcnt linéaire de Liouvillc, coni([ues. géodésiquc» isothermes; familles de courbes qui peuvent être rcjj^ardées de deux manières dill'érentcs comme formées de coniques j^éodésique». — Extension de divers théorèmes de Graves et de M. Chasle&.
o78. Nous avons vu [II, [). 4^8] que si réléuienl linéaire d'une surface csL doané sous sa forme la plus générale
( I ) fZs2 ^ E du- -r ^ F du dç -r~ G <:/p^
la déLcrminallon des lii^nes j^éodésiques de la surface se ramène à
celle d'une solution, contenant une constante arbitraire C, de l'équation
OÙ/? et y désignent, selon l'usage, les dérivées partielles — . — • Alors l'équation générale d'une ligne géodésique sera
C désignant une nouvelle constante; et, en chaque point de (U'Ue
ligne, on aura
r^du ^dv -, du ^ d^
les différentielles du^ d^^ ds se rapportant à un déplacement sur la ligne géodésique.
579. Une solution 8 satisfaisant à la condition que nous venons d'indiquer s'obtient presque immédiatement dans quel<|ncs <'as simples, que nous allons étudier en premier lien.
Supposons d'abord que E, F, G dépendent de la senl<* variable // : auquel cas, on le reconnaît aisémenl, l'éJément linéainî (i) e(Hivient à une surface applicable sur une surface de. révolution. On pourra prendre alors
G désignant une constante; et l'équation (î>.) fera connaître zU // ), d'où l'on déduira par une quadrature la fonction 'f(//) 4ït^ par suite, la fonction 6. On trouve ainsi
(5) e = G P 4- / ^- '^ — "^ -^ (Ut,
et il suffira de porter cette valeur do 6 dans rc<juation (3) pour obtenir l'équation générale des lignes géodésiques»
580. Considérons, par exemple, une stiriacc d(î révoltiUon dont l'élément linéaire soit donné sous la forme
DliTERMINATION DKS GK OD ES ÏQ U Ï2S, 3
OÙ /' est une fonclion de u] u désignera l'arc du méridien compté
à partir d'une origine fixe et /• le rayon du parallèle passant par le
point de coordonnées u. r. On aura ici, en mettant a au lieu
de C,
r ,-™ r du
(G) = ar -h / vr-— ^ï^ — ?
et l'équation générale des géodésî([ucs sera
du
r du ,
avec les deux constantes arbitraires a et a^. L'équation difféi^enti(^llc du prenncr ordn;
a du
(8) rA^- ...
des lignes géodési([ues (jui correspondent à la même valeur <le a peut se mcltre sous la forme rléiianUi
(9) /'sînw — a^
(0 désignant l'angle que fait (mi (duupic point la ligne géodésiqucî avec le méridien d<î la surface. <^ctte (hirnière relalion, {jui osl due à Clairaut et (|ui est très utile pour la discussion, n'est d'aill<»urs qu'une consé([uenc(i du théorème des nminenls l()rs(iu'on regarde la ligue géodésiquc comme la trajectoire (fun j)0Înt (jui n'est soumis i\ aucun<î force.
11 résulte immédiateni(înt de la formule (7) que toutes I(îs géodesiques cpii correspondent à la mAnui valeur de // <;l à des Vîil<;urs diiférentes de ((! sont 1(îs (lilïerent<îs positions (jue prend Tune d'ell(is en tournant autour de l'axe. Iwcs trajectoires orthogonales de ces dllférentes positions s'obtiennent en égalant a tuie constante la fonction délînie par l'écpiatioti (<)),
Sous l'une ou l'autre de ses formes (8) ou (<)), l'intégrale [>remîère admet une solution singulière <[u'îl faudra évidemment rejeter. En faisant, pur exemple,
du -o^ r-' a,
on obtiendrait un parallèle quelcontiue de la surface. Or îl est
4 LIVaE VI. ~~ CHAPITRE I.
éyident a priori qu'un parallèle ne peut devenir une ligne géodésique que dans le cas où son plan coupe la surface à angle droit, le rayon du parallèle passant alors, en général, par un muxinuim ou un minimum.
581. Sans nous arrêter à expliquer comment s'est introduite cette solution étrangère, nous remarquerons que les équations (8) et (9) rendent possible une discussion générale de la ligne géodosique. On verra aisément que, si le méridien a des branches infinies, il y a des lignes géodésiques qui s'étendent ellcs-mum(\s à l'infini. Elles deviennent généralement asymptotes à une section plane parallèle à Taxe; mais elles peuvent aussi tourner indéfiniment autour de cet axe, comme il arrive dans le cylindre et dans le paraboloïde de révolution. S'il y a sur la surface un paralUMo minimum, il y aura généralement des lignes géodoKsiques se rapprochant indéfiniment de ce parallèle, sans jamais se confondre avec lui. C'est ce qui a lieu pour l'hyperboloïde de révolution ( ' ). 1 >ans ce qui va suivre, nous nous contentex'ons d'examiner Je cas particulièrement intéressant où la surface admet un parallèle maxinHun, et nous allons montrer qu'il existe une infinité de lignes géodésiques dont le cours se déroule tout entier dans la zone qui contient ce parallèle.
582. Soit MM' (Jig. 87) le parallèle maximum do rayon ()M -^ H et soientPP', QQ' deux parallèles de rayon égal à (6 qui limiteront une zone, divisée en deux parties généralement inégales par le parallèle MM'. Il est évident que les lignes géodésiques, toutes égales, définies par l'équation
/a du ; - -i- const.
(0 Oa pourra consulter, dans le bol Ouvrage de M. G.-H. IUlpukn, une t*lu<I« développée des lignes géodésiques des surfaces de révolution du .sw.onU df'grts Voir Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, t. U, Chajt, VI. Dans le cas de l'hyperboloïde de révolution à une nappe, il y u trois csptM'fh <Ufférentes de lignes géodésiques. Les unes sont tangentes à un parall«il« <io la Hurface, les autres rencontrent sous un angle fini tous les paralItîlcH et U* iUitrW de gorgej enfin, la troisième espèce est formée de géodésiques asymptotes au <'t*rcle de gorge.
DETERMINATION DES GEODÉSIQUES. 5
sont comprises dans la zone que nous venons de définir eL tangentes aux deux parallèles PP', QQ'. Imaginons, par exemple, qu'on
Fig. 37.
parte d'un point/? situé sur le parallèle PP', en attribuant le signe H- au radical. Dans la zone limitée par PP' et MM', /• ira en croissant et, si l'on désigne par v^^ la valeur initiale de p, on aura
Po
r'\ a du
duy étant la différentielle de l'arc du méridien, sera défini par une équation de la forme
du rr: (i^{r) dv^
et (' s'obtiendra par la quadrature précédente. Cette formule (lo) sera valable tant ({uc r ne dépassera pas 11. Pour /•:=:= II, on aura ime valeur ç^ de r définie par l'équation
(ri)
Lorsque la ligne géodésique pénétx^cra dans lu zone MM^QQ^ r ira en diminuant. On aura ici
du r-. -'^(r)d/%
à(r) étant une fonction qui sera distincte de <p(/*) tant que MM' ne sera pas un plan de symétrie, un éqiiateuv de la surface; et
6 LIVRE YI. — CHAPITRE I.
Téquation de la ligne géodésique dans cette zone sera
r a^ir)dr p — f^l =r ~ / — 7 •
Pour r = a, la ligne géodésique deviendi^a tangente en un ccr- • tain point q au parallèle inférieur et la valeur (^2 de p correspondante à ce point sera définie par l'équation
Par suite, l'angle û compris entre les méridiens passant par \i\ point final q et le point initial/? de la ligne géodésique aura pour valeur
Pour obtenir le cours ultérieur de la ligne géodosi(|ne, il suffira évidemment de prendre la symétrique de la portion trouvée par rapport au plan méridien passant par q^ puis de faire lourncr Tonsemble des deux portions ainsi obtenues autour de Taxe do la surface successivement des angles %ù, 4Q, 6^2, . . . , do sorte que la ligne géodésique se composera d'une suite do scguicnts i^^xixw disposés symétriquement autour de Taxe. Ces segments seront <îu nombre illimité tant que le rapport de au nombre tt ne sera pas un nombre commensurable.
On sait que, sur la sphère, les lignes géodésiquos sont toutes fermées. Proposons-nous de trouver toutes les surf<ie<'s jouissant de la même propriété. Elles devront avoir, on le reconnaîtra aist'*ment, au moins un parallèle maximum; et, pour que len lignes géodésiques demeurant dans le voisinage de ce parallèle soient toutes fermées, il faudra que l'angle i\ défini par la formule (1;,) soit dans un rapport commensurable à tc pour toutes les valeurs de a. Cette condition exige évidemment que l'angle U mit inde^ pendant de a. On devra donc avoir
(16) r^ct\^ir)-^^{r)\dr
DETERMINATION DES GEODESIQUES. 7
m désignant un nombre commensurable constant. Nous sommes ainsi conduits au problème d'Analyse suivant : Déterminer la fonction «p(/*) "-h ^(/*) de telle manière que l'équation précédente ait lieu, au moins pour toutes les valeurs de a suffisamment voisines de R.
Par un changement de notations on ramène le problème précédent à celui qui est résolu dans la théorie des courbes Lautochrones.
Posons
(17) ^, ==''="^"-Hi' 7t^"^''^^W '*[?('')-^'-+(OJ = aO(^). L'intégrale précédente prend la forme
et, pour qu'elle soit indépcndanle de a, il faut que l'on ait, comme
on sait,
\/z En revenant aux notations primitives, on trouvoi^a ici
On aura d'ailleurs
iX- I - ^ — G-ïr.
Il suffira donc de })rcndrc C ==:m, m étant un nombre commensurable, et l'on aura l'équation de condition
Cette équation admet une interprétation géométrique* Remarquons que les intégrales
désignent les arcs du méridien comptés à partir du parallèle MM',
le premier dans la zone supérieure, le second dans la zone infrrienre. En désig^nant par s, s^ ces deux arcs, la formule (ï8) nous donne
(19) 5-i-5'= amRarccosTT •
Ainsi, pour que les lignes géodésiques soient fermetés, il faur, que l'arc du méridien compris entre deux parallèles égaux soit égal à m fois V expression que Von obtiendrait si Von remplaçait la surface par une sphère de rayon R.
Dans le cas où le parallèle maximum est un plan de symétrie, on a
s' = s ; l'équation (19) nous donne*
5 = mR arc coSt; ?
r = RCOS :r;
et l'élément linéaire de la surface de révolution ))rcnd la form
ds"^^ du^-\- R2 cos2 Ji d^^, /?iR Posons
(20) w=/?iRw', pr=mt/,
l'élément linéaire deviendra
(^i) df^— ;>i2R2(c^ïi'ïiH- cosîw'^p'2).
Sous cette forme, on reconnaît immédiatement qu'il convient à une surface de révolution applicable sur la sphère de rajon m\\. La condition que m soit un nombre commensnrable s*irUerprôto géométriquement de la manière suivante.
Considérons une surface de révolution comme composée d'un nombre illimité de feuillets superposés, engendrés par la rotation mdéfinie du méridien. Alors un point de cette surface aura une infinité de systèmes de coordonnées w, p; u, P + air; .,., Us p + 2 Att; . , . , suivant qu'on le considérera comme appartenant au premier, au second feuillet ou au feuillet de rang h -\-i. D^tprôs cela, les formules (ao) feront correspondre à un point {u, r) de la surface de révolution un point {lé , p') de la sphère défini par
DÉTERMINATION DES GÉODÉSIQUKS. g
les équations
(9.2) u'= ~rK5 p'= — — — ,
fn SX m
h étant un entier quelconque. Or, si tn est incommensurable, les valeurs obtenues de (^' correspondent toutes à des points distincts de la sphère; au contraire, si m est commensurable, ces valeurs de ç^' ne conviennent qu'à un nombre limité de points. Gomme le même résultat se retrouve dans la transformation inverse, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Les seules surfaces de révolution^ ayant un êquateury pour lesquelles les lignes geodésiques soient toujours fermées, sont la sphère et les surfaces qui sont applicables sur la sphère de telle manière qu'à chaque point de Vune des surfaces correspondent des points en nombre limité de V autre {^).
58;î. Considérons maintenant l'élément linéaire défini par la formule générale
(a3) ds^-^ (U ^ V)(Uî da^-^ VJ ^p^),
où U, U< désignent des fonctions de u et V, Ni des fonctions de v. On pourrait, sans restreindre la généralité, supposer U^ --^ V"^ rr::i; mais nous garderons la forme précédente, parce qu'elle est la plus commode pour les applications. Remarquons d'ailleurs (ju'elle comprend comme cas particulier celle qui convient aux surfaces de révolution; il suffira d'y remplacer V par une constante. En choisissant convenablement les différentes fonctions, on retrouvera aussi, nous l'avons déjà remar({ué [I, p. 157], l'élément linéaire de l'ellipsoïd<ï à trois axes inégaux rapporté à ses lignes de courbure. C'est à Jacobi que l'on doit, nous l'avons déjù dit, la détermination des lignes géodésîqucs de cette dernière surface. M, Liouville, qui a, le premier, considéré l'élément linéaire (i>.3) sous sa forme la plus générale, a pu lui appliquer, sans avoir besoin do la modifier, la méthode si simple de Jacobi.
(*) Au n" 77 nous avons étudié {Vnnd manière générale les surfaces de i^évolution applicables sur la sphère.
L'équation qu'il s'agit d'intégrer est ici
Ecrivons-la comme il suit
nous reconnaîtrons immédiatement qu'elle admet une infinité de solutions qui sont la somme d'une fonction de u et d'une loiictiou de p. Pour de telles solutions, en effet, la valeur conununo des deux membres de l'équation précédente ne peut dépendre ni de v ni de u et doit, par suite, se réduire à une constante, que nous désignerons par a. On trouve ainsi
"« (£)"- "!("-<•). (5)'-vî(»-n
ce qui donne
( a6 ) = Tui ^\r^~â du -H. r Vi /ô^ V dv,
les radicaux \/l] — a, y a — V étant pris avec dos signes quelconques.
Il suffira maintenant de prendre la dérivée de par rapport à a et l'on sera conduit à l'équation générale des lignes géodésiques
r Vi du r Vi di> ,
Si l'on dîfférentie cette équation, on obtient la relation
(a8) J i'A'' Xi/^ ^o,
qui peut être regardée comme une intégrale première de l'équation différentielle des lignes géodésiques.
M. Liouville a montré qu'on peut la transformer d'une manière élégante en introduisant l'angle co que fait, en chaque point, lu ligne géodésique avec la eourbe coordonnée de paramètre ^k On a, en effet (n" 499),
ds coso) =:= Ui v^U — V du, ds sîno) =:= Vi v/TT^ V d^f-,
DETERMINATION DES GEODESIQUES. 11
ce qui permet de remplacer Téquation ('28) parla suivante
costo sinto
En résolvant par rapport à la constante, on trouvera
(3o) <:» t:= U siii2a)H- Vcos^o).
Cette forme de l'intégrale première correspond àTéquation (<)) de Glairaut; elle est très souvent employée.
SH4;. On aurait pu obtenir les i^ésultats précédents par Femploi d'un élégant artifice de calcul. Reprenons l'oxprcssîon de l'élément linéaire
qu'on peut mettre soxis la forme
ds'^^ [(Vcr=^)*M^(ya^V)'][{lJi duy--\'(y,d^>)^.
On a ainsi le produit de deux sommes de carrés. En appliquant une formule bien connue, on peut iransfoi^mer ce produit en une somme de caxTés, ce qui donne
^52r. (U, s/if'-^ du ^v Vi \/a ^"V d^O^n^ (V, v/ÎT^ « dv -« Uj y/^T:^' du)\
l^osons
( CI, s/XT-^lidu -i- Vi \/a^y dv - dO,
: il viendra
-z di)i:
( 3o.) ds^r- ^/02-H ( U — a){ a -^ V ) ^0?.
Cette formule met immédiatement on évidence les lignes géodesiques (Q^ = const.) et leurs trajectoires orthogonales (Q :=== const.). On retrouve ainsi dans toute leur généralité les résultats précédents : l'équation do la ligne géodésique est
(3'U l^ du ^ Vxdv
la différentielle de son arc est définie par la formule
(33)' ds - ^0 r.. Ut s/xj:::'^ du ^^ V, s/i^Ydç ^ ^}h£!t - ^IlÊr,
12 LIVRE VI. — CHAPITRE ï.
qui ramène le calcul de cet arc à celui de deux quadratures. Les deux équations précédentes nous donnent encore les relations
XJidu __ Vidi' ds
qui feront connaître les valeurs de -^ , ^z
585. Parmi les surfaces dont Télément lincairc est réductible à la forme (o.3), nous avons précédemment signalé le plan, la sphère [II, p. 4a2] et les surfaces du second degré [1, p. 107, ou II, p. 379]. Appliquons à ces surfaces la proposition générale que nous venons d'établir.
Soit d'abord
(35) ^,.^^^.v.)[-i^|fi5 4--^li,]
Félément linéaire du plan, rapporté à des coordonnées elliptiques. En appliquant la formule (33), on voit que Téquation
(36 j r „ -r.rrrr-:rr --rr-~rr -z : ::=: O,
OÙ a désigne une constante arbitraire, représentera une géodesique du plan, c'est-à-dire une ligne droite.
Cette droite ne sera réelle que si la constante a est positive et l'on reconnaîtra aisément qu'elle est tangente à la conique hoinofocale de paramètre \/a. Ainsi l'équation différentiel /a /)récfidente, qui n'est autre que V équation d'Euler, admet pour in-tégrale générale Véquation en coordonnées elliptiques d'une .droite tangente à la conique homo/ocale de paramètre ^^a.
Ce résultat est dû à Lagrange, qui l'a donné dans son étude sur le problème des deux centres fixes (<). 11 avait alors un grand
(*) Voir Mécanique analytique, seconde Partie, Section VIT, Ghnp. lit, n^'H, Pour être tout à fait exact, nous devons dire que Lagrange obtient un résultat un peu plus général et retrouve l'équation d'Euler dans le cas où les trois forces qu'il considère se réduisent à une seule émanant d'un centre fixe et proportionnelle à la distance.
DÉTERMINATION DES GÉODÉSIQUES. l3
intérêt; car il constituait la première intégration de Péquation
d'Euler obtenue en dehors des méthodes purement analj'tiques.
Remarquons d'ailleurs que l'équation (33)' nous donnera ici
^37) ds = ^^^ '' ^'^
et cette relation, qui fait connaître par des quadratures la longueur d'un segment de ligne droite, équivaut au théorème d'addition pour les intégrales elliptiques de seconde espèce.
Le lecteur établira aisément des résultats analogues en détei^minant les lignes géodésiques de la sphère au moyen de la forme que nous avons donnée [II, p. 4'^â]
ds^^ (C0S2U. — cosav) f '- 1
' \C0S2{JL — C0S2C C0S2C — C0S2V/
pour l'élément linéaire de cette surface rapportée à des coordonnées elliptiques.
Une seule difféi^ence mérite d'être signalée entre ce cas et le précédent : la formule relative à l'arc d'une ligne géodésique donnera, pour la sphère, le théorème d'addition des intégrales elliptiques de troisième espèce.
586. Considérons maintenant une surface du second degré et choisissons, pour fixer les idées, un ellipsoïde à trois axes inégaux. Si l'on conserve toutes les notations déjà employées au n° 459 [II, p. 296] et si (3 désigne le paramètre de cet ellipsoïde, l'équation de l'ellipsoïde sera
,^2 yS ;52
et rélément linéaire de cette surface sera donné par la formule
(39) ^^^^-t?-Pi)[^^P=-7^^Pî]'
/(p) ayant pour valeur
On déduit de là, par l'application des formules précédentes, que
l4 LIVRE Vï. — CHAPITRE I.
l'équation générale d'une ligne géodésique sera
a désignant une constante arbitraire, et que l'arc de cette ligne aura pour différentielle
Ces résultats sont bien d'accord avec ceux que nous avons obtenus au n"* 462. p, paramètre des hyperboloxdes à deux nappes, est compris entre a et 6. On a donc
De même, le paramètre p< des Ixjperboloïdcs it deux nappes, compris entre b et c, nous donne les inégalités
/(pi)<o, Pi — p:^-o.
Il faudra donc, pour que d$ soit réel, que l'on ait
p~-a>o, f>j— .cz<o;
et, par suite, la constante a devra être comprise entre a et 6\ Cette condition pouvait être prévue; ot, nous l'avons vu aux n^* 461 ot 462, est le paramètre de la surface homolbcale à laquelle est circonscrite la développable formée par les tangentes de la ligne géodésique. Comme une droite ne peut être tangente u deux ellipsoïdes homofocaux, il faut que a soit le paramètre d'un hyperboloïde et, par suite, compris entre a et c. De 1î\ résulte une classification naturelle des lignes géodésiqucs de rdlipsoïde, suivant que a sera inférieur, égal, ou supérieur à b. Si a est inférieur à è, la développable formée par les tangentes de la géodésique sera circonscrite à un hyperboloïde à une nappe. Si a est supérieur à &, elle le sera à un hyperboloïde à deux nappes. Enfin, dans le cas intermédiaire où a est égal à b, les tangentes de la géodésique iront toutes rencontrer la focale hyperbolique. On suit alors aisément le cours de la ligne géodésique, qui va . passer par deux des quatre ombilics où cette focale rencontre Fellipsoïde; et ces deux ombilics sont diamétralement opposés.
DÉTERMINATION DJSS GÉODÉSIQUES. l5
Ainsi toutes les lignes géodésiques qui passent par un ombilic vont passer par V ombilic diamétralement opposé.
Si a est différent de è, on peut encore se rendre compte, soit par les équations, soit par la Géométrie, de la forme générale de la ligne géodésique. Supposons, pour fixer les idées,
Alors on aura les limites suivantes pour p et pour pi
b<ç><a, c<pi<a.
Lorsque pi devient égal à a, l'équation différentielle (40 nous
donne
par suite, la géodésique doit être tangente à la ligne de courbure de paramètre a. Cette ligne se compose de deux traits fermés diamétralement opposés, décrits autour de deux ombilics comme une ellipse autour de ses foy-ers; et la ligne géodésique, placée dans la zone annulaire compinse entre ces deux courbes fermées, se dirigera de l'une à l'autre en leur devenant successivement tangente. Si on la prolonge indéfiniment, elle ne se fermera pas, en général, et fera un nombre illimité de fois le tour de cette zone ellipsoïdale, dans laquelle elle est assujettie à demeurer. On peut établir ces résultats de la manièx^elaplus nette au moyen de l'artifice suivant. Écrivons les équations
qui se déduisent des formules (4i) et (42) et où l'on prendra les radicaux avec un signe déterminé : elles feront connaître le signe des différentielles d^ et dç^ lorsqu'on suppose ds positive, par exemple. Il est vrai que les signes des radicaux peuvent changer lorsque p ou pi atteignent les limites entre lesquelles ces paramètres doivent varier. Pour éviter ces difficultés, posons
(44) p = ^cos^cp H- asin^çp,
(45) pi= ccos*4^-H asin^t};,
ce qui permettra bien d'obtenir, pour des valeurs réelles de <p ou de ^j toutes les valeurs de p et de p< comprises dans les limites
assignées plus haut. Les équations (43) prendront la forme
(46) ds:=-^^~4^.
^ ^ v/F(cp) /Fi(4^)
y/F(cp), \jF~i\Ç) élSLtit des radicaux gui ne poiirronlp[us s'annuler et conserveront toujours le signe initial. Il suit de là que rfcp et di^ ne changeront jamais de signe; et, par suite, <f, ij^ considérées comme fonctions de 5, oscilleront d'une manièx^e régulière entre les limites que nous leur avons assignées. Lorsque <y variera, la ligne de courbure du paramètre p défini par l'équation (/(i) se déplacera en se déformant et tournera, toujours dans le même sens, autour de Taxe des z de l'ellipsoïde. Le point décrivant de la géodésique, qui oscille sur la portion de cette ligne comprise entre les deux points où elle coupe la ligne de courbure p^ rr:= a, décrira un trait dont la foi^me générale sera bien celle que nous avons indiquée.
S87. Nous terminerons ce Chapitre en faisant connaître quelques propriétés générales qui appartiennent à toutes les stu^faces dont l'élément linéaire est déterminé par la formule de Liouville
(47) ds^^{\J~-\){\5\du'^-\-y\d^^).
les fonctions U, V, XJ^^ V< conservant toute leur généralité. La première de ces propriétés a été signalée par M. J3ini, dans un beau Mémoire sur lequel nous aurons l'occasion de revenir. JNous avons vu (n** 527) que, si Ton rapporte une surface a un système d'ellipses et d'hyperboles géodésiques, l'élément linéaire est déterminé par la formule suivante
(48) ds^= ^"' '^'^
sm2— cos^ —
Ce système coordonné, qui est orthogonal, peut-ÎI être isotherme? Pour qu'il en soit ainsi, il faudra que Ton ait
(49) U?sin2^^Vîcos2^,
Ui et Vi désignant des fonctions qui dépendent respectivement de u et de ç?. Cette équation détermine o> et nous donne pour
DETERMINATION DES GÉODBSIQUES. 17
l'élément linéaire de la surface l'expression
(50) ^,2^(^J + 2.^(Xjf J^.-HV?^P2),
qui rentre bien dans la forme (47)? niais qui paraît, au premier abord, en être un cas ti^ès particulier. En réalité, les deux formules sont aussi générales l'une que l'aulre; nous laisserons au lecteur le soin de l'établir.
, Ainsi on peut caractériser l'élément linéaire (47) en disant que les courbes coordonnées forment un système isothei^me d^ellipses et d'hyperboles géodésiques. C'est là le résultat de M. Dini.
588. La seconde propriété est plus générale que la précédente, qu'elle comprend comme cas limite. On y est conduit en cherchant s'il existe des surfaces pour lesquelles une famille de courbes puisse être considérée de deux manières différentes comme formée d'ellipses ou d'hyperboles gcodésiques, c'est-à-dire définie de deux manières différentes par une équation de la forme
(5i) OH-a = const.,
OÙ 9 et 0- sont les distances géodésiques à deux courbes fixes.
Il est clair que, si cette propriété appartient à une famille de courbes, elle appartiendra aussi à Ja famille orthogonale qui est définie par la relation
(5'i,) ô — a ~ const.,
toutes les fois que la famille proposée l'est par l'équation (5i) [II, p. 417]- La question proposée peut donc se ramener à la suivante : Existe-t-il un système orthogonal qui puisse être regardé de deux manières différentes comme formé d' ellipses et d^ hyperboles géodésiques?
Soit (53) c^^a = A2 ^z^a -h G2 <3?f 2
l'expression de rélémcnt linéaire qui convient à ce système orthogonal. Par hypothèse, les équations des deux familles de courbes coordonnées sont les suivantes
-h Œ = const., — cf =; const., D. — III. %
l8 LIVRE VI. — CHAPITRE ï.
6 et 0" étant les distances géodéslques d'un point de la surface à deux courbes fixes; il faudra donc que l'on ail
On déduit de là, en résolvant par rapport à 9 et cr,
(54) Q = tp(u)^t\>(ç), a==(i^(u) — ^(i^).
Mais 9 et o-, étant des distances géodésiques, doivent satisfaire à l'équation aux dérivées partielles caractéristique
(55) Acp = i.
En exprimant qu'il en est ainsi et que cette équation admet les deux solutions 9, c-, on est conduit à Tunique relation
(56) Âi^-C^^==''
où l'on a
(57) U = cp'2(^,0, V^^'Hv);
et, réciproquement, toutes les fois que A et G sont liés par une équation de la forme (36), les courbes coordonnées sont d<îs coniques géodésiques, lieux des points tels que la somme ou la différence de leurs distances géodésiques aux deux courbes de base
soit constante sur chacune d'elles. Pour que ces courbes coordonnées puissent, de deux manières différentes, titre regardées comme des coniques géodésiques, il sera donc nécessaire et suflii^ant que A et G vérifient deux relations distinctes
U V Ui Vt
de môme forme que l'équation (36).
Ges équations peuvent être résolues par rapport à A et ù G; mais, avant de faire ce calcul, nous remarquerons qu'on peut les
