DÉTERMINATION DES GÉODÉSIQUES. I
combiner linéairement et en déduire l'équation nouvelle
XU^(i^X),Ui XVh-(i — X)Vi
qui sera de même forme qu'elles, pourvu quel soit une constante, d'ailleurs quelconque. Ainsi nous pouvons déjà énoncer le théorème suivant :
Lorsqa\in système orthogonal peut être considéré de deux manières distinctes comme formé de coniques géodésiques, il y a une infinité de manières différentes de lui conserver cette propriété.
Si l'on calcule maintenant les valeurs de A et de G pour les porter dans l'élément linéaire, on obtient un résultat que Ton peut écrire comme il suit
^^''= (ttAVi "'" v7%') t^^ "■" Ui) ^^^^-H rvi ^ V) d^^i
C'est bien Jà la forme générale étudiée par M, Liouville.
Réciproquement, reprenons cette forme générale (47)- Si nous prenons les deux solutions déjà déterminées
( = Tui \/W^~~a du -H fVi v/^T^ d^>,
Π=r Tu 1 >/D ~ a du - TVi s/a^-Vdi^
de l'équation aux dérivées partielles (55), les coux'bes coordonnées seront définies par les équations
-h cr r=i2 const., Ô — a = const.;
et, par suite, elles pourront ôtre regardées d'une infinité de manières comme des coniques géodésiques.
589. La proposition que nous venons d'établir oftre le plus grand intérêt : clic fait connaître la véritable oi^gine des théorèmes de Graves et de M. Ghasles sur les arcs de coniques à différence rectifîable et elle permet d'étendre ces théorèmes à toutes les surfaces dont l'élément linéaire est donné par la formule de M. Liouville.
Pour mettre cette analogie en évidence, remarquons que, si Ton attribue à la constante a une valeur déterminée dans les formules (Sg), les géodésiques normales aux courbes parallèles
6 = const. ou c7 =^ const.
sont définies par l'équation
obtenue en différentiant par rapport à a la valeur de Q ou de c- (n° 832). Il passe deux de ces lignes par chaque point de la surface et elles y font des angles égaux avec les deux courbes coordonnées. On peut définir géométriquement cette famille de géodésiques de la manière suivante :
Supposons d'abord que la constante a ait été choisie de Iclle manière que Tune des deux équations (6i) U — a==o, V — a~o,
la première par exemple, admeiLe une ou plusieurs racines réelles.
Soit Uçi une de ces racines; pour a = u^^ l'équation dillérentielle
donne
et, par suite, les géodésiques qui correspondent à la valeur considérée de a sont toutes tangentes à la courbe coordonnée de paramètre Uq, Cette propriété géométrique suffira évidemment à définir l'ensemble de toutes ces géodésiques.
Pour certaines surfaces, telles que Fellipsoïdc ou lo plan, l'une' des équations (6i) admettra toujours une solution réelle; <it toutes les familles i^éelles définies par l'équation (6o) seront alors composées de géodésiques tangentes à une des courbes coordonnées. Mais il existe d'autres sux^faces pour lesquelles les valeurs de la constante a peuvent être choisies de telle manière qu'aucune des équations (6i) n'admette de solution réelle. Envisageons, par exemple, la formule particulière suivante
(62) ds'^^{u^'^V'9'^-\-h^){du>-vdv^)\
l'équation des lignes géodésiques sex*a ici du , dv
DETERMINATION DES GEODESIQUES. 21
et, pour toutes les valeurs de a positives et inférieures à A-, il n'y aura aucune valeur réelle de u oa de p annulant un des dénominateurs. Les lignes géodésiques correspondantes seront réelles, mais elles ne seront tangentes à aucune courbe coordonnée. Nous ramènerons ce cas au précédent en convenant de regarder les géodésiques comme tangentes à une courbe coordonnée imaginaire. En adoptant cette convention, on peut énoncer le résultat suivant.
Les courbes parallèles définies par les équations
l {} := I l]i\/\J --adu-h I Yi /a — V dç> — const. ,
I Œ = / Ui /U — a du— I Yi\/a — V ^tj = const.
sont les d(H'eloppantes de celle des courbes coordonnées dont le paramètre satisfait à la relation
et la proposition que nous avons établie plus haut peut s'énoncer comme il suit :
Les courbes coordonnées peu9ent être regardées comme des coniques géodésiques lorsqu'on prend pour courbes de bases deux dé{^eloppantes (C), (CI) de Tune quelconque d^ entre elles.
Pour faire dériver de cette remarque le théorème de Graves et de M. Chasles, il suffit de la combiner avec les propriétés des dér veloppées. Considérons, par exemple, les géodésiques tangentes à une des courbes coordonnées {uq) {fig- 38) et soient (G), (G) deux développantes de cette courbe, la coupant à angle droit en R et en R'. Soient PQ, P'Q' deux géodésiques se coupant en M. D'après la proposition précédente, la somme
MQ -^ MQ'
demeurera constante lorsqu'on se déplacera sur une des deux courbes coordonnées qui passent en M. Or on a, d'après les propriétés des développées,
PH == MF -H MQ, P'R'= MP'-+- MQ'
