LA COURBURE GÉODÉSIQUE. IJI
Eiiectuons les dérivations et remarquons que Ton a ÔA ^ — AG dC AC.
en remplaçant les dérivées de A et de G par ces valeurs et divisant par ACj nous trouverons
ï \9ffuJ \ 9ffv .1 J[ !__
ou encore, en désignant A du, G dç? respectivement par dsu, dSi,,
J \ PffU j \9frJ
La courbure totale de la surface se trouve ainsi exprimée d'une manière entièrement géométrique en fonction des courbures géodésiques de deux courbes coordonnées appartenant à un système orthogonal et de leurs dérivées par rapport à la normale.
M. Bertrand a montré que la formule de M, Liouville résulte immédiatement du théorème de Gauss.
Appliquons, en effet, la formule générale de M. Bonnet au quadrilatère curviligne formé par quatre lignes coordonnées (w), [u -r- Aw), (('), {v -1- Aç») {fig* 63). On aura d'abord
^co = 271 - (tt — MO — (t: - P') ~ (te — P) ~ (tt - M ),
M, ]\r, P, P' désignant les angles intérieurs du quadrilatère MM'P'P. Si a désigne l'angle des lignes coordonnées, on aura évidemment
I do) = àuç^,
A^t, désignant, selon l'usage, la différence seconde de a lorsque u et ç reçoivent respectivement les accroissements A;^ et Ar.
/ds — étendue à tout le contour^
On aura
rds r'^'Adu^ r^'cdv r^'kdu r^Cdv
d 9sr ~ Jm P« Vm' P*' -4 P« ^M P*'
lia c'est-à-dire
et, par conséquent, la formule de M. Bonnet nous donnera
' A G sm y. du ch
RR'
Tintégrale double étant étendue à tout l'intérieur du quadrilatère. Si \u et A(^ deviennent infiniment petits, cette formule se réduit évidemment à celle de M. Liouville.
Fig. 63.
ip».,,. — 'l'+Ati
(w+Aw)
Nous allons indiquer quelques applications. Supposons d'abord que les lignes coordonnées soient toutes des géodésiques; - — ^ -^
PffU pgv
seront nuls et Ton aura, pour l'expression de la courbure, AGsina d^oL
Si l'élément linéaire de la surface a été ramené à la forme { ao ) ds' =z du- -h dv^-^T, du ds? cos a,
on aura
àu
LA COURBURE GÉODÉSIQUE. l33
et, par conséquent,
sina __ d-'-jL
La forme (20) de Félément linéaire, sur laquelle nous aurons l'occasion de revenir, offre quelque intérêt au point de vue géométrique; si l'on fait croître les variables u et t? par degrés égaux, on obtient une division de la surface en losanges infiniment petits dont les côtés sont tous égaux, mais dont les angles sont variables. Considérons, avec M. Tchebjchef (*), une étoffe formée par deux systèmes de fils croisés à angle droit. Si Ton admet, avec Féminent géomètre russe, que, dans toute déformation de Fétoffe, le point d'intersection de deux fils rectangulaires quelconques n'est pas changé, mais que Fangle seul de ces deux fils a pu varier, il est clair que Félément linéaire de la surface formée par Fétoffe, primitivement défini par la formule
prendra;, par la déformation de Fétoffe, la forme ds' = du- -^ dv' -f- 2 cosa du dç>,
où a sera une fonction quelconque de u et de v. Ainsi, d'après les idées que nous venons d'exposer, il faudrait, pour habiller une surface, résoudre le problème de Géométrie suivant :
Ramener y par un choix convenable des courbes coordonnées, Vêlement linéaire de la surf ace proposée à la forme (20).
64i. Revenons maintenant au théorème de Green et supposons que plusieurs courbes soient nécessaires pour limiter la portion de surface que l'on considère. Ce cas peut se présenter pour les surfaces les plus simples, comme le plan, la sphère, etc. Par exemple, on peut considérer [fig* 64) la portion d'une surface comprise entre la courbe (A) et les courbes (B) et (C). On suivra, dans ce cas, la méthode bien connue et l'on fera des sections qui nous ramèneront à l'hypothèse examinée en premier lieu. Ici, par
(0 TcHEBYCHEF, Sur la coupe des vêtements {Association française pour l'avancement des Sciences. Congrès de Paris, p. iS^, 1878).
exemple, nous joindrons par des traits afi et os les courbes (A) et (Bi,(B)et (Cl, transformant ainsi la portion de surface considérée en une aire à connexion simple; puis nous suivrons le contour total %^-^'oz'Çr^zoH^yj.yA%^ dans un sens ou dans Tautre, par exemple de manière à laisser toujours Faire à notre gauche. Les chemins a3, 0£ étant parcourus deux fois en sens contraire, ies valeurs de Tintégrale
^I du -h A ch )
relati\es à ces portions du contour se détruiront si, conformément à rh\pothèse, les fonctions M et N sont uniformes; et il restera
Fi g. 64.
seulement à étendre l'intégrale précédente aux trois courbes (A) (B), (C), parcourues chacune dans un sens tel que Taire considérée soit toujours à la gauche du mobile. On aura donc, en répétant la démonstration que nous avons donnée plus haut,
le signe ^ indiquant que l'intégrale du premier membre doit être
étendue à toutes les courbes limites. Et, s'il existe, à l'intérieur de l'aire, des points pour lesquels les conditions de continuité ne soient pas satisfaites, on les isolera par une courbe que l'on joindra à celles qui limitent la région considérée.
Faisons l'application à la formule qui donne le rayon de cour-
L\ COURBURE GÉODÉSIQUE. l35
bure géodésjqiie; nous aurons
les signes 7 et / ayant la même signification que précédemment.
645. Dans le cas où la surface n'a pas de limites et où les conditions que nous avons énoncées sont remplies en chaque point de la surface, on aura
ff
ch
C'est ce qui a lieu, par exemple, pour le tore engendré par un cercle tournant autour d'un axe situé dans son plan mais ne le rencontrant pas. Si l'on rapporte cette surface au système formé par les méridiens et les parallèles, toute région infiniment petite de la surface sera traversée parle réseau de ces lignes comme une région du plan l'est par des droites parallèles à deux axes coordonnés. La courbure totale du tore sera donc nulle. On peut confirmer ce résultat en considérant successivement la portion convexe et la portion à courbures opposées de la surface. La portion convexe, par exemple, est limitée par les deux parallèles extrêmes de la surface. Pour chacun d'eux, on a évidemment
co = 0,
rds
et, par conséquent, cette portion convexe a pour courbure 4'^* Quant à la courbure de l'autre portion, elle est exprimée par des intégrales étendues aux mêmes contours, mais dont tous les éléments sont égaux et de signe contraire à ceux des intégrales précédantes. Elle est donc égale à — 4*^^ ^t la courbure totale est nulle.
Une sphère, un ellipsoïde ont évidemment une courbure totale égale à 4"^^. Les remarques précédentes nous conduisent par suite à cette conclusion qu'il est impossible de rapporter ces surfaces à des s\stèmes de coordonnées permettant de découper chaque région de la surface en mailles rectangulaires. Et en effet, quel que soit le système de coordonnées employé sur une sphère, il y aura toujours, dans l'application de la formule générale, des points ou des
l'JG LIVRE VI. — CHAPITRE VI.
lignes à isoler. Si Ton rapporte, par exemple, la sphère au svstènie forme des méridiens et des parallèles, il faudra isoler les deux pôles; si Ton emploie les coordonnées elliptiques, il faudra isoler les quatre foyers, etc. Mais on peut appliquer la formule générale u la zone comprise entre deux parallèles de colatitudes Oq ei ^j. On aura, pour le premier parallèle,
/ doj = o, — / — 1 r=a7:cosOo
el, pour le second,
I dt^=:o, — / — = — a7:cosf)i.
La formule générale deviendra
ce qui est bien d'accord avec les résultats connus.
646. Nous donnerons, en terminant, une transformation de la formule générale qui permet d'éliminer la courbure géodésique. Nous avons vu (n° 631) qu'étant donné un arc de courbe MM', si l'on porte sur les normales géodésiques des longueurs infiniment petites À, la variation de cet arc a pour expression
Si nous appliquons cette formule à un contour fermé et si nous supposons A constant et égal à on, elle nous donnera
on J pg-
S désignant Parc de la courbe et l'intégrale étant étendue àtoutle contour. L'emploi de cette relation permet d'écrire la formule (24) sous la forme
dG RR'
Mais il importe de remarquer que, d'après la convention relative au signe de Oo-, la longueur constante Bn doit être portée sur
LV COURBURE GEODESIQUE. 13;
la portion des normales géodésiques du contour dirigée vers V intérieur de Vaire, si le contour est supposé parcouru dans le sens direct. Pour définir d'une manière tout à fait précise le sens direct, il suffit d'imaginer un observateur placé sur la surface du même côté que la partie positive 0^ de Taxe des z du trièdre (T). Le sens direct sera celui dans lequel cet observateur sui\rait les diverses parties du contour en laissant toujours à sa gauche l'aire considérée.
Les intégrales / d^^i qui figurent dans la formule (27; sont
étendues aux différentes courbes qui forment le contour. Soit (C) l'une de ces courbes: si elle n'a aucun point saillant, Tintégrale correspondante sera évidemment un multiple de 27:, puisque, après un tour complet, les lignes trigonométriques de w reprennent la même valeur; si, au contraire, la courbe est brisée, on aura
^oj = 2A'7r — se.
h étant entier et S6 désignant la somme des angles 8 dont la langente tourne brusquement à chaque point saillant.
647. Les propriétés que nous venons de faire connaître successivement se ramènent en dernière analyse au beau théorème de Gauss sur la courbure du triangle géodésique. Il est naturel de se demander si ce théorème constitue une propriété caractéristique des lignes géodésiques. Laréponse à cette question n'offre aucune difficulté.
Reprenons la formule (9) qui donne le rayon de courbure géodésique et qui conduit à l'équation
où les intégrales simples et double ont la signification plusieurs fois rappelée. Le théorème de Gauss et la formule plus générale de M. O. Bonnet reposent sur l'équation
RR''
que Ton déduit de la précédente en supposant que le contour est
l38 LIVRE VI, — CII VPITRE VI.
exclusi\emenL formé de lignes géodésiques. La question que nous avons maintenant à nous proposer est donc la suivante : Est4l nécessaire, pour que V équation (29) ait lieu, que le contour soit formé de lignes géodésiques? Or, si nous comparons cette équation (29) qui doit avoir lieu à la relation (28), qui est absolument générale, nous reconnaissons qu'elle équivaut à la suivante
rds
où rintégrale est étendue à tout le contour. Cette condition est
évidemment vérifiée si — est nul en chaque point du contour,
?ff cVst-à-dire si le contour est formé de lignes géodésiques; mais elle aura lieu encore dans le cas bien plus général où toutes les courbes qui composent le contour satisferaient à l'équation du second ordre » ^ ds j .
'o étant une fonction arbitraire assujettie à l'unique condition d'avoir une valeur bien déterminée en chaque point de la surface. Nous sommes donc conduits à la conclusion suivante.
Le théorème de Gauss ne constitue nullement une propriété caractéristique des lignes géodésiques; il est encore vrai pour toutes les courbes qui satisfont à l'équation (3i), c'est-à-dire pour lesquelles l'angle de contingence géodésique est la différentielle exacte d'une fonction de point.
C'est ainsi que, si l'on considère dans le plan les courbes qui satisfont à l'équation différentielle
ds , ,
X et j^ désignant les coordonnées cartésiennes, la somme des angles d'un triangle curviligne quelconque formé avec trois de ces courbes sera égale à deux droits.
Plus généralement, si l'on considérait une intégrale double quelconque
LA COUKBURE GÉODÉSIQUE. l3q
et les courbes satisfaisant à l'équation différentielle
l'intégrale double, étendue à tout polygone formé de ces courbes, s'exprimerait en fonction de la somme des accroissements que prend la fonction z> quand on passe d'un côté du polygone au suivant. Ces remarques n'ont peut-être pas d'importance pratique; mais elles font mieux comprendre les méthodes précédentes (^).
(J) Daiiboux, Sur une série de lignes analogues aux lignes géodésiques {Annales de l'École Normale, t. VII, i" série; 1S70).
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