LV COURBURE GÉODÉSIQUE. I

Ea raisonnant comme dans le cas du triangle géodésique, on

trouve

B-i-G-T: = -BGH,

et, par conséquent, la formule (lo) nous donne ici

Fig. Gi.

SI nous supposons l'arc AB infiniment petit, l'intégrale double du second membre est du troisième ordre, comme l'aire du triangle ABC. On a d'ailleui's, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

p^^ désignant le rayon de courbure géodésique en A. Il vient donc

le rayon de courbure étant, d'après nos conventions, considéré comme positif lorsqu'il sera dirigé du côté de C.

L'angle BCH de deux géodésiques tangentes infiniment voisines a reçu de M. Liouville le nom d^angle de contingence géodésique (*). On voit que son expression, tout à fait semblable à celle que l'on emploie dans la théorie des courbes planes, nous fournit une définition nouvelle de la courbure géodésique. Cette

(*) Liouville (J.), Sur la théorie générale des surfaces {Journal de Liouville, t. XVI, p. i3o; i85i).

l3o LIVRE M.— CHAPITRE VI.

définition, que Ton peut d'ailleurs établir directement, permet de rattacher la formule générale de M. Bonnet à celle de Gauss : il suffira de remplacer chaque courbe par un polygone circonscrit formé d'un nombre illimité de lignes géodésiques.

Comme on a, en négligeant seulement les termes du troisième ordre,

on pourra substituer à la relation (i3) la suivante

dans laquelle les erreurs commises sont seulement de l'ordre de ds'K

643. Il ne nous reste plus, pour achever l'étude de la courbure géodésîque, qu'à faire connaître une formule élégante, due à M. Liou\illej qui permet d'exprimer la courbure totale de la surface au moyen des rayons de courbure géodésique des courbes coordonnées.

Supposons l'élément linéaire donné par la formule

{i5} ds- = A.' du- -^ 2 AG cos o^dudv -^ C- <f p-.

Nous avons obtenu, pour les courbures géodésiques des lignes coordonnées, les expressions suivantes [II, p. Sgi]

^ C dn A dm

VIO ) = -- -H 7-1, = h 7\

p^f <^P p^u àu

Si Ton porte les valeurs de r, r^ déduites de ces équations dans l'expression (i5) delà courbure [II, p. 364], on aura

HK' dv\p^u/ du\pffi,) ' dudç'

C'est la formule de M* Liouville (*). Dans le cas des coordonnées rectangulaires, elle est susceptible d'une transformation élégante.

(*} On la trouvera dans l'article que nous venons de citer.