Considérons un faisceau de courbes (z>) représenté par

Téquation

cp( II. v) = const.

et une courbe fermée (A) (Jïg. 65). Calculons, en chaque point de (A), Tangle 6 de la courbe (A) et de la courbe (o) qui passe en ce point, supposées l'une et l'autre parcourues dans le sens indiqué par les flèches. Si l'élément linéaire est donné sous la forme de Gauss, on aura

> E du ou -— F ( du ov -^ dp ou ) -^ G dç oc

( i) cos6 = î^ -~^ ,

ds os

les svmboles û? et o se i^apportant respectivement à la courbe (A) et à la courbe ('^). On aura donc

ou di>

LES CERCLES GEODESIQUES.

eL par conséquent,

ou

Ou

H désignant le radical y^JEG — F- et Acp étant le paramètre différentiel déjà rencontré dans la théorie des lignes géodésiques. Le radical aura son signe déterminé parla condition que les \aleurs

Fi g. 65.

Je Zu^ GP» correspondent au sens marqué par les tlèches sur les courbes (cp). En portant les valeurs de o^^, Z{? dans l'expression de ces 5, on trouvera

as cos = — = — du -= — av.

ou, plus simplement,

H v/Ao

H/Aï

f/6' cosO = H ,\ : du — H ; ;- di\

Par suite, l'intégrale

cos G ds

étendue au contour (A) sera égale, d'après le théorème de Green,

à l'intégrale double

^ /j^ à y/Acp \ , à /^^ ô^\o

Oui

ou

dri

du di\

étendue à toute l'aire limitée par le contour.

I42 LIVRE Vï. — CHAPITRE VU.

D'autre part, d'aprrs la démonstration même que nous avons donnée de ce théorème, la même intégrale curviligne sera égale à la somme des intégrales analogues relatives à chacun des contours infiniment petits dans lesquels on peut résoudre le contour ( A). Prenons pour un de ces contours celui qui est formé (//«. 66*

Fig. 66.

par deux courbes infiniment voisines ('f ), (î? + <^^'f ) et par deux de leurs trajectoires orthogonales infiniment voisines. Soit MJrP'P ce contour, qui sera parcouru dans le sens indiqué par les lettres. On a évidemment

/ ds cosO = MM', / ds cosO = o,

/ rA'cosÔ = — PP', / ^5cos6 = o,

etj par conséquent, l'intégrale étendue à tout le contour aura pour

valeur