MM'-PP

Si Ton emploie l'expression de la courbure géodésique donnée au n*^ 63o, on trouvera

MM' SÎP (4i MM'~-PP'= ^'^ ,

ûo. désignant le rayon de courbure de la courbe (o) au point M, rayon qui sera considéré comme positif seulement s'il est porté dans le sens MP. D'ailleurs, comme MMMMP représente l'aire d^s comprise à l'intérieur du contour MlVrPT, on peut écrire la relation

(3) r ^^coso= rr~

LES CERCLES GEODESIQUES. l43

qui donne une nouvelle expression de l'intégrale curviligne étendue au contour (A).

Si nous l'égalons à l'expression déjà trouvée, nous obtiendrons la relation

du di\

m-fmtr^(:m

où les deux intégrales doubles sont étendues l'une et l'autre à la même aire. Comme cette aire est d'ailleurs limitée par un contour quelconque, il faut nécessairement que les éléments des deux intégrales soient égaux. On aura donc, en remplaçant c/t par H du d{\ Féquation

l C) — = — — / H -î-T^ \ / II —i-r-^

ou J \ dv

qui fera connaître la courbure géodésique des courbes ('^). Cette formule élégante est due à M. O. Bonnet, qui Fa démontrée par d'autres considérations (^).

La formule (5), qui résulte delà méthode précédente, peut être considérée comme une généralisation du théorème des projections. Supposons, en effet, que les courbes (ç) deviennent des droites parallèles dans le plan. On aura, pour tous les points de l'aire, p^= X et, par suite,

/ <f5COs6 = 0,

ce qui constitue l'expression analytique du théorème des projections.

649. On peut faire reposer sur l'équation (6) la théorie des courbes dont la courbure géodésique est une fonction quelconque donnée à l'avance, F(2/, (^), des coordonnées u et v du point de la courbe. Ces courbes sont définies par l'équation différentielle

(') 0. Bonnet, Mémoire sur V emploi d'un nouveau système de variables dans l'étude des propriétés des surfaces courbes {Journal de LiouvîUe, 'j^ série, t. V, p. i64; i86o).

j44 livre VI. — chapitre VII.

du second ordre

^ -») F ( 2i, p ) û?s = ^ct) -i- r clic -T- ri dç,

que Ton déduit immédiatement de l'expression connue du ravon de courbure géodésique. Elles comprennent comme cas particulier les courbes dont la courbure géodésique est constante, et elles donnent la solution d'un intéressant problème de Calcul des variations. Il nous suffira, pour le montrer, de suivre la méthode que nous avons déjà employée (Livre V, Cliap. IV) dans Tétude des lignes géodésiques. Pour abréger, nous désignerons sous le nom de courbes (F) toutes celles que nous venons de définir et qui satisfont à Péquation précédente ou, si l'on veut, à la suivante

Soit

'^( M. (?) = const.

l'équation d'une famille quelconque de courbes (F). En adoptant l'expression (6) de la courbure géodésique, nous voyons que '^ devra satisfaire identiquement à l'équation aux dérivées partielles suivante

HF(,..,^,îi/H^J^'^

du

Or on peut toujours, et d'une infinité de manières, mettre le produit HF sous la forme (* )