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LES FORMULES DE GVUSS. o'-

Ainsi se trouve établi le résultat important que nous avions annoncé; le second membre ne contient absolument que les coefficients qui figurent dans l'élément linéaire et leurs dérivées.

700. Les relations précédentes constituent tout ce que l'on doit à Gauss dans cette partie de la théorie. Celles que nous allons ajouter et qui s'en déduisent immédiatement tiennent lieu des formules de M. Godazzi.

Différcntions la première des équations (8) par rapport à p, la première des équations (9) par rapport à u et égalons les deux

valeurs de ^^^ que l'on obtient de cette manière. Nous aurons

^ ^ Ou 0^> Ov^ Ou^

i ^^(^^^\ àœ /on __dn'\

\ Ou \ dç du J lî) \0v '~ ~&u ) ~~ '

Cette équation est encore vérifiée quand on y i^emplace x par j et par:;. AjouLonsles trois équations ainsi obtenues après les avoir

multipliées respectivement d'abord par j^? -—, -r^j ensuite par— ,

■^j y'} ^<^^^s aurons, en tenant compte des formules (2), (i4),

(i5)ct(iG),

- ai^ Ji ^i? . z'!^ i ^^\^ ^ ^

vi t)p \0v 1 du ) 2 du

' * w --/i' OG 71 OG Jd¥ I ^E 2 Ou 2 Ov

,^/Om ùm'\ r^/àn dri'\ \0u 2 Oi>J

( On On' ^ Oi^ Ou

Si l'on rapproche ces deux formules des équations (12) et (i3) et si l'on remarque que DD'' — D'^ dépend seulement des coefficients de l'élément linéaire et de leurs dérivées, on aura constitué un système de quatre équations qui serviront à déterminer les inconnues m, /?, m', /?/ quand l'élément linéaire sera seul connu.

Ce système peut être remplacé par le suivant. Substituons au:s quantités m, /?, m\ n^ leurs expressions en fonction de D, D', W

données par les formules (ii). Après un calcul facile, qui peu même être beaucoup abrégé si l'on Lient compte des relations (lo) on obtient, à la place des deux équations (a3), les suivantes :

du di> J \ 2 di' à{? à^> IL du j

'du) \ 2 £?(^ du 'i du I

\ \dv du I \2 du dç a Jp /

(.5,! +D'(-Fg+.F^-E^-^

di> di>

\ 1 du du Ou o. dv J

Ces deux équations aux dérivées partielles, jointes à la relation (ai), serviront à la détermination de D, D^, D" quand on connaîtra les coefficients E, F, G de Télément linéaire.

Si nous nous reportons au n^ 503 [IF, p. 878], nous reconnaîtrons aisément que le système précédent, formé par les équations (21), (24) et (aS), est tout à fait réquivalent des formules données par M. Godazzi. U résulte, en effet, des formules (44) [II, p. 879] que les rotations du trièdre (T) peuvent s'exprimer linéairement en fonction des trois déterminants D, D', D^ Une transformation très simple rattache donc le système précédent à celui que nous avons développé dans les premiers Chapitres du Livre V.

701 . La remarque précédente permet de prévoir que l'on pourra obtenir tous les éléments relatifs à la courbure en introduisant seulement les quantités D, D^ D". Cherchons d'abord les lignes asymptotiques. L'identité

de dx -H de' dy 4- dd' dz = — cd^x — d d^y — d'd^z nous donnera, à Taide des formules (8) et (9),