LES FORMULES DE GAUSS

et, par conséquent, l'équation cherchée sera (27 ) D dii^'\- aD' du dv ~h D'' dv'^ = o.

Considérons maintenant les lignes de courbure et employons les équations d'OHnde Rodrigues

d.v -; - R de — o, dy '\- hd&~Oy dz-^K de" == 0.

Si on les ajoute, après les avoir multipliées successivement par

dx dy àz , dx ùv ùz i • i

T-> ^ ' 1" <2^ ^^^^ "T~' S""' T' Oïl obtient le système suivant :

da du au ' Ov 6/1' ôv ^

[ Mdu'^-VdV-- g(D^MH-DVp)=:0,

L'élimination de ^ nous conduit à l'équation aux rayons de courbure principaux, (29) (DD"-~ D'2)Ra- RII(GD -> 9.FD'-h ED''; -^ H*=:= o.

Cette équation contient le théorème de Gauss; car on en déduil, pour la courbure totale, l'expression

^ ï DD'^~D'2

l3o) KiV^"— HT""'

qui ne dépend, nous l'avons vu, que de Télément linéaire.

Si Ton élimine R, entre les équations (28), on obtiendra l'équation difTérentiellc des lignes de courbure sous la forme

(3 () (FD -^ ED') du'^^^ (GD ~- VA)") du dv -4- ( GD'~ FD") ^p^ = 0.

Enfin la représentation sphériquc de la surface sera donnée par la formule

702. Il nous reste maintenant à indiquer comment on résoudra la question suivante : Étant données les valeurs de D, D', D'' en

•25o LIVRE VU. — CHAPITRE III.

fonction de u et de r, déterminer la surface, c'est-à-dire trouver les valeurs de cc^y^ ^. La solution se présente ici sous une forme moins simple et moins symétrique que lorsqu'on emploie les formules de M. Codazzi. Cependant, on trouve encore dans le Mémoire de Gauss un système de formules qui peut conduire au résultat que nous avons en vue.

Il est aisé de reconnaître que les équations déjà obtenues permettent, lorsqu'on connaît D, D^, D'^, d'exprimer les dérivées secondes de ^, J', s en fonction des dérivées premières. Si l'on reprend, en effet, l'expression de c, on aura évidemment

Ou dv /

\ôu dç dç du]

c'est-à-dire

(33) c2^-i — Aa?,

A^ désignant L'invariant du premier ordre de x. En portant cette valeur de c dans les deux premières équations des systèmes (8) et (9), on aura deux équations qui contiendront les dérivées secondes de X. On les adjoindra à la relation (22) pour tirer de ces trois équations les trois dérivées secondes de^. Au reste, on peut obtenir le même résultat d'une manière plus élégante.

Remarquons, en effet, qu'on peut toujours trouver trois quantités A, B, G permettant d'écrire les relations

car ces équations, considérées comme devant déterminer A, B, C, ont leur déterminant dififérent de zéro.

Si on les ajoute, après les avoir multipliées respectivement par c, c', c", puis par g, |, '£, et enfin par ^^, |, g, on obtiendra