Étudions enfin l'équation

que Ton rencontre dans la théorie mécanique de la chaleur. On a ici

Le système (8) devient le suivant

d;: ^ p dx ~r~ q dy, dp -r-ady ^0^ dq — adx := 0.

Il admet deux combinaisons intégrables évidentes p -h ay et q — a^5 d'où l'on déduira une intégrale intermédiaire en éci-ivant que p -H ay est une fonction de q — ax. On pourra donc poser, en introduisant une variable auxiliaire a,

( p -h ay = aa,

( q — ax = 2cp(a).

La système (9) conduirait de même aux deux équations

( q-^ax =z 2^Kp),

qui, jointes aux pi^écédentes, nous donnent

aa? = t};(P)~cp(a), /?=:a-+-P, ay^oL — p, ^ == ?(2c)-i- «^(P).

Ces valeux^s permettent de former la différentielle de ;;; on a

adz = ap dx -^ aq dy =^ {cl -^ P)(û?tj; — û?cp) + (cp -h t}')(c?a — â?P). D. — IIL 18

On déduit de là, en intégrant,

La solution est ainsi complètement déterminée 5 on peut la débarrasser de tout signe de quadrature en i^emplaçant les symboles o et i par des dérivées cp' et A^ On trouve ainsi

( a^=:(aH-p)[^'(p)-cp'(a)]-^2cp(a)~24.(p), (22) j!? = a-^p, •^ = cp'(a)-H4^'(P).

Il suffira d'éliminer a et ^ entre les trois premières équations pour obtenir l'expression de z en fonction de x et de j.

717. Dans les deux derniers exemples que nous venons d'examiner, on peut obtenir une confirmation des résultats que nous avons signalés relativement aux caractéristiques, en étudiant, à l'aide des formules qui donnent l'intégrale générale, ce que nous pouvons appeler le problème de Cauchy, c'est-à-dire la détermination de la surface qui satisfait à l'équation aux dérivées partielles, passe par une courbe donnée et admet en chaque point de cette courbe un plan tangent donné. Pour plus de simplicité, nous nous contenterons d'examiner à ce point de vue l'équation qui a été intégrée dans le numéro précédent.

Soit (G) la courbe par laquelle doit passer l'intégrale. Comme /?, q sont donnés pour chaque point de cette courbe, il résulte des formules (19) et (20) qu'en chacun de ces points on connaîtra a, P, o(a), <}'(?)• Si, comme il arrive généralement, a et j3 ne conservent pas la même valeur en tous les points de la courbe, on connaîtra, par cela même, les fonctions îp(a), ^{^) pour toutes les valeurs de l'argument; et, par suite, l'intégrale cherchée sera complètement déterminée.

Mais il y a des cas d'exception. Nous laisserons au lecteur le soin de les étudier tous et nous nous contenterons de faire remarquer que, si la courbe (G) est une caractéristique; si l'on a, par exemple, en chacun de ses points,

ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. ajJ

C et C étant deux constantes, la fonction cp(a) ne sera plus déterminée que pour une valeur de l'argument. D'après les formules (19),

il suffira qu'elle ait la valeur -;- pour la valeur - de l'argument.

L'intégrale satisfaisant aux conditions proposées contiendra alor^ dans son expression une fonction cp(a) qui sera presque entièrement arbitraire, puisqu'elle sera assujettie à l'unique condition d'avoir une valeur donnée pour une valeur particulière de l'argument. Quant à la fonction ^((3), elle se déterminera comme dans le cas général.

718. Dans le cas où Tun ou l'autre des systèmes (8), (9) ne présente pas deux combinaisons intégrables, on ne connaissait aucune méthode permettant d'obtenir l'intégration de l'équation aux dérivées partielles proposée. Dans un travail déjà ancien (^), j'en ai proposé une, qui va plus loin que celle de Monge et qui permet d'obtenir l'intégration dans une infinité de cas nouveaux. L'exposition de cette méthode nous entraînerait loin de notre sujet; je me contenterai d'avoir donné une définition précise des caractéristiques, définition que nous allons employer dans l'étude de l'équation aux dérivées partielles des surfaces applicables sur une surface donnée.

Repi'cnons, pour cela, la méthode développée au n*^ 706; a^ 6, c étant les cosinus des angles que font les axes du trièdre mobile avec l'axe des x du trièdre fixe, c'est-à-dire avec une droite fixe quelconque de l'espace, on a

dx ^ j

db

db

, da

j da

et l'équation aux dérivées partielles s'obtient en portant ces valeurs

de/?, ç^Pi, g\ dans la relation

(*) Sur les équations aux dérwées partielles {Annales de l'École Normale, l'o série, t. VII, p. i63; 1870).

Supposons, pour la commodité du langage, que Ton connaisse déjà une surface (S) admettant Félément linéaire donné. Le problème de Cauchy peut s'énoncer ici de la manière suivante :

Étant donnée une courbe (T), tjxœée sur (S), déterminer

une fonction X , qui prenne, ainsi que ses deux dérivées pre-

mièreSy desvcdeurs données à Vacance en chaque point de (r),

ces fonctions devant évidemment satisfaire, quand on se déplacera

sur (F), à la relation

àx ^ dx j (.,6) dx^^^du-^y^ch,

qui détermine, par exemple, — lorsqu'on se donne x et ^•

Il résulte des formules (aS) que a et b auront des valeurs connues en chaque point de la courbe (F). 11 sera donc possible de calculer les différentielles rfa, db relatives à un déplacement s'effectuant sur celte courbe. Or on a

l da , / du d{>\ ( du d^\

/ du dv\ I du d^\

ds

Comme la rotation '' ;t^ -H 'N -y dépend exclusivement de Félément linéaire, on voit qu'il sera possible de calculer, en chaque point de (F), les rotations

. du di> ^ du di?

relatives à un déplacement sur cette courbe.

Or, si Ton se reporte auxformules du Tableau II [II, p. 383], on reconnaît immédiatement que la connaissance des quantités précédentes permet de calculer, en chaque point de (F), la courbure normale, la courbure géodésique et la torsion de cette courbe. On pourra évidemment exprimer la courbure et la torsion en fonction de Farc de (F); et l'on sait que ces expressions déterminent d'une manière complète la forme de la courbe.

Réciproquement, supposons que Fon se donne la transformée (D) de (F). Ajoutons, pour préciser, que Fon a marqué sur (D) le

point B qui correspond à un point A de (F); alors le point JVF de (D) qui correspond à un point quelconque M de (F) sera déterminé par la condition que Tare BM' de (D ) soit égal à Parc AM de (F). Comme on connaît, en tous les points de (D), la courbure et la torsion, les formules des Tableaux I et II nous permettront de calculer, pour chaque point de cette courbe, l'angle to que fait sa tangente avec l'axe des x du trièdre (T), ainsi que l'angle zn que fait la normale à la surface avec le plan osculateur (^) de la courbe. La détermination de ces deux angles permet évidemment de calculer sans ambiguïté les neuf cosinus directeurs qui feront connaître la position du trièdre (ï) par rapport aux axes fixes lorsque (F) sera venue coïncider avec (D), et, en particulier, les cosinus a et 6. On pourra donc déduire des formules (28) les valeurs de

^,, T-? en cliaque point de (D),*ce qui nous ramènera à l'énoncé

primitif.

Le problème cjue nous nous sommes proposé peut donc, dans tous les cas, êti^e énoncé sous la forme suivante :

Étant donnée une surf ace (S), la déformer de telle manière qu'une courbe (F) tracée sur cette surface vienne coïncider avec une courbe (D), donnée dans V espace (-).

Il sera susceptible d'une solution déterminée tant que la courbe (F) ne satisfera pas, en vertu des conditions posées, à la première des équations différentielles (5) des caractéristiques; et, par suite, l'étude de ses cas d'impossibilité et d'indétermi-

(*) L'angle w toutefois ne sera réel que si la courbure - en chaque point M'

de (D) est supérieure à la courbure géodésique — de (T) au point correbpondant M. Cela résulte immédiatement de l'équation évidente

Ajoutons que Tangle cr, étant déterminé par son sinus, pourra prendre deux valeurs supplémentaires Tune de l'autre; ce qui conduira à deux solutions distinctes du pi'oblème que nous avons en vue.

(») Le cas particulier où (D) est une droite ne présente pas de difficulté particulière et ne met pas en défaut nos conclusions; mais, pour plus de netteté, nous l'écartei^ons en laissant au lecteur le soin de le traiter.

natîon nous fera connaître ces caractéristiques. Nous allons le traiter directement, en choisissant les vai4ables les plus simples.

719. Rapportons les points de la surface à un système de coordonnées rectangulaires tel que la courbe (T) devienne une des courbes coordonnées et soit représentée par l'équation

ce qui est évidemment toujours possible.

On aura, en adoptant les notations du Tableau IV" [IT, p. 385],

^ ^ on Ov

Une fois connus a et 6, les relations da , dh

relatives à un déplacement sur la courbe (F), fei^ont connaître p et q, La relation, empruntée au Tableau IV,

(3o) kqi-^Q.p —

fera ensuite connaître g'^ ; et enfin Téquation (aS) donnera p^ pourvu que q ne soit pas nulle. Une fois connues les rotations p, q^Pii qK pour chaque point de la courbe (F), les formules (24), donnant les dérivées premières des cosinus a et 6, feront connaître par cela même les dérivées secondes de x pour chaque point de la courbe (F). Il résulte en effet des formules (28) que les dérivées secondes de x s'expriment en fonction de a, b et de leurs dérivées premières.

Le problème proposé, qui équivaut, nous l'avons vu, à la détermination des dérivées secondes de x en chaque point de (F), ne peut donc devenir impossible ou indéterminé que dans le cas où les conditions proposées donneraient pour q une valeur ntiUe. Or il suffit de se reporter à la formule (4) du Tableau IV pour reconnaître qu'alors la courbe (F) deviendrait une ligne asymplotique. Il est donc établi de nouveau que les caractéristiques de V équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait x sont les lignes asjmptotiqueSj et nous pouvons énoncer le théorème suivant :

On peut toujours déformer une surface (S) de telle manière qu'une courbe (F), tracée sur elle et donnée à Vacance, vienne coïncider avec une courbe (D)rfe V espace, à moins cjue la condition ainsi proposée n entraîne cette conséquence que (D) serait^ après la déformation, une ligne asymptotique de la surface.

On donnera plus de précision à la dernière partie de Fénoncé en la transformant de la manière suivante. Soit M le point de (F) qui devra coïncider avec un point quelconque M' de (D). Si la courbure de la courbe (D) en M' est constamment égale à la courbure géodésique de (F) au point correspondant M, le mouvement de déformation qui amènerait (F) à coïncider avec (D) ferait de cette courbe (D) une ligne asymptotique de la surface déformée, puisque la courbui'e géodésique de cette ligne serait, en chaque point, égale à sa courbure absolue. Nous obtenons donc la proposition suivante :

On peut toujours déformer la surface (S) de telle manière qu'une de ses courbes (F) vienne coïncider avec une courbe quelconque de V espace (D)^ pourvu que la courbure en chaque point de (D) ne soit pas égale à la courbuj^e géodésique de (F) au point correspondant.

720. Il ne nous reste plus qu'à distinguer les cas où le problème sera impossible de ceux où il sera indéterminé. C'est ce que Ton peut faire de la manière 'suivante.

• Lorsque les équations (29) nous donneront pour q une valeur nulle, Féqualion (aS), qui faisait connaître /?<, se réduira, en chaque point de (F), à celle-ci

dr dr^ qui devient, si Fon tient compte de l'équation (3o), ' py T{^^ 'au

AC

Si celte relation est vérifiée en chaque point de la courbe (D), le problème sera indéterminé; sinon il sera impossible. Or, si l'on

emploie les formules des Tableaux II et IV, on peut remplacer l'équation précédente par la suivante

(3l) ^2=^RR',

où T désigne le rayon de torsion de la courbe (D) et où R et K' sont les ravons de courbure principaux de la surface. Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :

Le pj'oblème proposé sera indéterminé si la torsion en chaque point de (D) est égale à l/^^? -^ désignant la courbure de

(S) au point correspondant de (F). // sera impossible dans le cas contraire (^).

Nous retrouvons ici une propriété des lignes asymptotiques que nous devons à M. Enneper et qui a été déjà démontrée au n°512. Elle se relie, on le voit, de la manière la plus étroite à la proposition fondamentale que nous étudions maintenant, et d'après laquelle les lignes asymptotiques sont les caractéristiques de Téquation aux dérivées partielles dont dépend le problème de la déformation d'une surface.

721. Pour éclaircir les considérations précédentes, nous allons étudier quelques applications particulières.

Étant donnée une surface (S) et une courbe (F), tracée sur cette surface, peut-on déformer la surface sans déformer la courbe?

La réponse est très simple : la déformation est impossible si la courbe (F) n'est pas une asymptotique; elle est possible d'une infinité de manières dans le cas contraire. C'est là une remarquable propriété des lignes asymptotiques.

Peut-on déformer la surface (S) de telle manière qu'aune de ses courbes (F) devienne une asymptotique de la surface déformée?

(') Quand nous disons que le problème est indéterminé, nous entendons par ià que les coefficients des séries par lesquelles la surface serait définie demeurent, en partie, arbitraires, sans que la convergence de ces séries soit établie.

Au reste, dans tous les cas où l'on peut efîectuer l'intégration, on reconnaît que l'indétermination existe réellement.

La courbe (D) dans laquelle doit se transformer (r) sera pleinement déterminée par les propositions précédentes, puisqu'on connaîtra, en chaque point de (D), la courbure absolue, qui sera égale à la courbure géodésique de (F) au point correspondant, et la torsion, qui sera égale à la courbure totale de la surface en ce même point de (F). Ces deux quantités seront, par suite, des fonctions données de Parc 5, et leur détermination permettra de construire la courbe (D). IVIais, bien que Ton connaisse cette courbe, le problème proposé sera indéterminé : il y aura une infinité de déformations de (S) pour lesquelles (F) coïncidera avec (D).

Étant donnée une courbe (D) et une développable (A) circonscrite à (D); est-il possible de déformer une sur/ace {&) de telle manière gabelle vienne passer par (D) et soit tangente à (A) en tous les points de (D)?

Ce problème est tout à fait différent des précédents; car on n'indique nullement la courbe de (S) qui doit venir coïncider avec (D). On peut le résoudre de la manière suivante.

Supposons d'abord que la développable (A) ne soit pas l'enveloppe des plans osculateurs de (D). Si le problème est possible, (D) ne sera pas une asymptotique de la surface déformée. Cherchons la courbe (F) de (S) qui viendi^a coïncider avec (D). Soit M' le point de (F) qui viendra en un point quelconque M de (D). Comme on connaît, au point M, la courbure de (D) et l'angle que fait le plan osculateur de cette courbe avec le plan tangent de la développable (A), qui doit devenir le plan tangent de la surface déformée, on connaîtra, par cela même, la courbure géodésique qu'aura (D) en M et par suite (F) en IVF. Ainsi la courbure

géodésique — pourra être exprimée en fonction de l'arc. Soit

la relation ainsi obtenue. On en déduit aisément une équation du troisième ordre à laquelle devra satisfaire la courbe cherchée (F). Réciproquement, d'après ce que nous avons vu plus haut, toute courbe intégrale de cette équation fournira une solution du problème proposé.

Si, au contraire, la développable (A) est l'enveloppe des plans

osculateurs de (D), le problème ne sera possible que sous certaines conditions. En eflfet, au point M de (D), la torsion est connue, c'est une certaine fonction de l'arc. On a

D'autre part, si le problème est possible, (D) sera évidemment une asymptotique de la surface déformée, et l'on aura nécessairement

^îjr-, étant la courbure totale de la surface au point M de (D) ou,

ce qui est la même chose, au point M de (F). On devra donc avoir

(33) RR' = -t{;2(0,

et cette relation, qui conduit à une équation du premier ordre pour la courbe (F), devra avoir au moins une intégrale particulière commune avec l'équation (S^). On va voir qu'il résulte de là une condition pour la courbe (D).

Différentîons, en prenant p comme variable indépendante, trois fois l'équation (33) et une fois l'équation (32), après y avoir remplacé la courbure géodésique par son expression en fonction des coordonnées w, ç. Nous obtiendrons ainsi un système de six équations dont les premiers membres seront des fonctions connues de

du d'^U d^U r:f^' ' • i • • ^ i •

M, ^, -TT-, -j-^, -j-^' L élimination de ces cinq quantités conduira, en général, à une seule relation de la forme

ou encore

^^'^ *iP^i'">5ï'55^'5?j==^^

p, T, S désignant le rayon de courbure, le rayon de torsion et l'arc de la courbe (D). On forme ainsi une équation différentielle à laquelle cette courbe devra satisfaire. En d'autres termes, la relation précédente devra être vérifiée par toutes les asymptotiques des surfaces résultant de la déformation de (S).

Cette équation se simplifie d'ailleurs dans certains cas spéciaux. Sila courbure totale de la surface donnée est constante et égale à

î^î on devra avoir simplement

Ainsi la courbe (D) devra avoir sa torsion constante.

Supposons, par exemple, que l'on prenne pour (D) une hélice tracée sur un cylindre de révolution. Les courbes de la surface qui pourront s'appliquer sur cette hélice, tout en devenant des lignes asympto tiques, sont, évidemment, les cercles géodésiques dont la courbure géodésique est égale à la courbure de l'hélice (^).

722. Puisque les asymptotiques sont les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles que nous étudions, il est naturel d'introduire la considération de ces lignes et de chercher quelles senties équations aux dérivées partielles qui les déterminent, lorsqu'on connaît seulement l'élément linéaire de la surface. Nous allons commencer par résoudre le problème suivant :

U élément linéaire d^ une surface étant donné sous la forme

ds^= E du'^-\-2F du <^p -+- G di^^,

quelles relations doit-il y açoir entre E, F, Q pour que les lignes coordonnées soient les asymptotiques de Vune des surfaces résultant de la déformation de la proposée?

Reportons-nous à l'équation (5) du Tableau I [IT, p. SSa]. En exprimant que les coefficients de du'^ et de dç- sont nuls dans l'équation différentielle des asymptotiques, nous aurons

ces deux conditions nous permettent de poser

p-=\\, q = ^, pi=i^li, ^i=î^>îi-

(') En terminant ce sujet, nous nous empressons de signaler le Mémoire suivant :

Weingarten (J.)j Ueber die Befor'jnationen einer biegsamen wiausdehnbaren Flàche {Journal de Crelle, t. C, p. 296; 1886),

où se trouvent étudiées, par des méthodes toutes différentes, les questions analogues à celles que nous venons d'examiner.

La proposition fondamentale d'après laquelle les asymptotiques sont les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles en a; a été déjà donnée dans notre Cours de 1882; les autres développements donnés dans le texte remontent à nos Leçons de i885.

Portant ces valeurs dans les deux relations de la troisième ligne du système (A) (même Tableau), nous trouverons

Si donc on désigne, pour abréger, par A- la quantité

Idri dr

l ^ri

on aura

(36) X= — |jL=/c,

et les équations (A) entre les rotations nous donneront

On déduit de là, après quelques réductions et en remplaçant r et r, par leurs valeurs tirées des équations (A),