Considérons encore l'équation

{l-r'q'^)s—pqt=:^o,

qui définit les surfaces pour lesquelles les sections faites par des

( * ) Voir, en particulier, notre Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre ( Mémoires présentés par divers savants à V Académie des Sciences^ t. XXVII). Dans ce travail, nous donnons, après M. Lie, le moyen de former toutes les équations de la forme (i) pour lesquelles l'un des systèmes (8) et (9) admet trois combinaisons intégrables et qui peuvent être regardées, par suite, comme ayant deux intégrales intermédiaires du premier ordre.

ti^a LIVRE VII. — CHAPITRE V.

plans parallèles au plan des j^-^ sont des lignes de courbure. On a

A = B = D==o, C = ^^-^^? ^' = — pq, Xi = o, Xo — — I — cf^.

Les deux systèmes de caractéristiques sont définis par les équations

dz —p dx--q dy— o, dz — p dx — q dy ~ o^

dx ~ o, pq dx H- (I -T- q^)dy — o,

{\'^q-)dp—pqdq = O, {J i- q^ ) dq = o,

qui conduisent respectivement aux deux intégrales intermédiaires suivantes

(i6) -p — ^=cp'2('^), y-^q^ = ^{q)-

Tirons-en les valeurs de p et de y, pour les porter dans l'équation

dz^ p dx -~ q dy.

Nous trouverons

dz =: ^i-r-q'^'^'ix)dx~- q ^'{q) dq — q- dz — qz dq,

ce qui peut s'écrire

^(.yi— ^ ) __ m)ljl ^ <p'(^^ dx = 0.

En intégrant, on aura donc

uy) zs/T:^^=.f^mM^.(^x),

L'équation précédente, jointe à celles du système (i6), donnera l'intégrale complète de la proposée. Mais on peut obtenir une forme plus élégante. Effectuons la substitution définie par les formules

d'où l'on déduit

L'équation (17) et la seconde des équations (16) nous condui-

ront au système des deux suivantes

entre lesquelles il faudra éliminer a. La seconde s'obtient en prenant la dérivée de la première par rapport à a.

La première intégrale intermédiaire (16) exprime que les plans des lignes de courbure coupent la surface sous un angle constant.