CHAPITRE VJ

Élément linéaire des surfaces gauches. — Surfaces dont les génératrices vont rencontrer le cercle de l'infini. — Surfaces qui admettent un plan directeur tangent au cercle de l'infini. — Détermination complète de toutes les surfaces gauches admettant un élément linéaire donné. — Différents problèmes relatifs à ces surfaces. — Autre méthode fondée sur l'emploi des formules de M. Codazzi. — Questions diverses relatives aux lignes asymptotiques et aux lignes de courbure. — Propriétés de la ligne de striction. — Surfaces réglées applicables sur les surfaces de révolution. — Il y a, dans ce cas, une relation linéaire entre les deux courbures de la ligne de striction.

727. Dans le Chapitre précédent, nous avons été conduits, par la discussion de différentes propositions, à considérer d'une manière spéciale le cas où une surface réglée se déforme sans que ses génératrices cessent d'être rectilignes. Cette déformation particulière des surfaces réglées, dont l'étude vient se présenter ici, mérite que nous nous y arrêtions assez longuement et que nous signalions les résultats intéressants obtenus sur ce sujet par différents géomètres.

Étant donnée une surface réglée (R), traçons sur cette surface une courbe (C) assujettie à l'unique condition de rencontrer toutes les génératrices rectilignes. Par un point M de la surface, on peut mener la génératrice rectiligne; elle ira couper la courbe (C) en un point M'. Soient p une variable propre à déterminer la position de M' sur la courbe (C) et u une quantité égale ou proportionnelle à la longueur de M'M ou de sa projection sur un plan quelconque. Les variables u et 9 définiront la position de M sur la surface et, si x^y^ z désignent les coordonnées rectangulaires de ce point, on pourra écrire

cCiy CI2, a^; 6<, 62, 63 désignant des fonctions quelconques de (^.

Posons

On trouvera

(3) ^52= E f/zi24- (E'-h 2D)<^w«:^p + (Aii2 i- aB^^ -f- G) ^^2.

Cette formule va nous permettre d'indiquer la classification des surfaces réglées, tant imaginaires que réelles. Si Ton a d'abord

E = af -^ a| -f- «5 = 0,

toutes les génératrices rectilignes vont rencontrer le cercle de l'infini; elles forment une des familles de longueur nulle de la surface. Cette première classe de surfaces réglées, toutes imaginaires si Ton excepte la sphère, comprend comme un genre spécial les développables définies au n° H6 [I, p. i48, note].

Si nous écartons ces surfaces exceptionnelles, nous pourrons supposer que u est la longueur MM', prise avec son signe, et que Ton a

(4) a\^al-^al = i.

La formule (3) se simplifie alors et devient

Nous avons déjà remarqué au n^ 67 que Ton peut, par une simple quadrature et en remplaçant u par ;^'— Td d^^, faire disparaître le terme en du'dç et déterminer ainsi les trajectoires orthogonales des génératrices. Nous pourrons donc, dans la suite, supposer D égal à zéro; mais, pour rendre les applications plus commodes, nous n'introduirons pas cette hypothèse d'une manière générale.

Si la surface est réelle ainsi que ses génératrices, la fonction A, somme de trois carrés, n'est pas nulle; mais on reconnaît aisément qu elle le devient pour les surfaces qui ont un plan directeur tangent au cercle de l'infini, et pour celles-là seulement. Dans ce

DÉFORMATION DES SURFACES GAUCHES. agS

cas, rélément linéaire est réductible à la forme

ds^ = ^"^H- a D ^w c?ç; H- (2Bm+ G) d9^.

Une seule des surfaces correspondantes est réelle : c'est le paraboloïde de révolution. Si l'on prend l'équation de cette surface sous la forme

et si l'on pose

a?— iy — 2/>6!-^>+i,

uD calcul facile donne, pour l'élément linéaire, l'expression

déjà signalée au iV G92.

728. Si l'on ccarle les deux séries de surfaces exceptionnelles que nous venons do signaler et pour lesquelles il ny a ni ligne de striction ni point ci*ntral sur chaque génératrice, l'élément linéaire pourra toujours tUrc x*édint algébriquement à la forme (5), dans laquelle A sera difierenl de zéro. Nous bornant à cette hypothèse spéciale, qui convient d'ailleurs à toutes les surfaces dont les génératrices sont réelles , nous allons montrer en premier lieu qu'il existe une itulinité <l(ï surfaces gauches admettant cet élément linéaire que l'on supposera donné a priori. Au reste, la méthode très élémentaire qu(i nous allons suivre s'appliquerait presque sans modification aux deux cas spéciaux que nous laissons de côté(^).

Joignons l'équation (4) aux quatre premières équations (2) : nous formerons ainsi un sj'stème de cinq équations où les fonctions

(*) Le premier autour iiui uii Otudié la question dont nous nous occupons ici est MiNDiNO. Voir, on particulier, le Mémoire Ueber die BUgung gewisser Flàchen, inséré en iH38 au tonio XVIII du Jourruxl de Crelle. Depuis, MM. Bonnet, Bour, BeUrami et <rautres i;éomôtrcs ont repris cette étude dans des Mémoires que nous citerons plus loi».

296 LIVRE Vil. — CHAPITRE VI.

A, B, C, D seront connues, mais où figureront six fonctions inconnues a^, <22, a^i\ bi, 62, 63. On peut prendre arbitrairement une de ces fonctions ; et Ton reconnaît ainsi immédiatement qu'il y a une infinité de surfaces gauches admettant Vêlement linéaire donné {5)^

Les fonctions «4, a^j ^3, prises isolément, doivent satisfaire aux deux équations

dont la résolution n'offre aucune difficulté. On prendra, par exemple, a2=f{ai); la première équation donnera a^ en fonction de ai et la seconde déterminera ai en fonction de ç> par une quadrature.

aij «2, ^3 sont les cosinus directeurs de la génératrice rectiligne; on peut les regarder comme les coordonnées rectangulaires dW point situé sur la sphère de rayon i. La résolution des équations précédentes équivaut donc au problème suivant :

Déterminer une courbe sphérique dont Varc soit une fonction donnée de v.

Il est clair que cette courbe peut être tracée arbitrairement sur la sphère. En d'autres termes, le cône directeur de la surface riest jusquHci assujetti à aucune condition.

Considérons donc a^, a^^ a^ comme connus. Alors les trois équations non employées

( «1 b\ -^ az ^2 -T- «3 63 — D, ( 7 ) \ a\ b\ -T- a'^ b\ -i- a'^ b'^ r:-z B,

feront connaître 6<, 60, 63. On les résoudra comme il suit.

Prenons comme inconnue auxiliaire le déterminant fonctionnel

Cl^ Ct^ €t.^

si nous relevons au carré, nous trouverons, en tenant compte

des équations (6) et (7),

A B DBG