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de sorte que 6|, Z^o, bz s'obtiendront par de simples quadratures. Les formules précédentes appellent plusieurs remarques.

729. D'abord il résulte des propositions établies au Chapitre précédent qu'en laissant de côté le cas spécial, dont Fexamen n'offre d'ailleurs aucune difficulté, où l'élément linéaire conviendrait à une surface du second degré, les formules (10) donnent bien toutes les surfaces réglées admettant Vêlement linéaire donné.

En second lieu, le cône directeur de la surface pourra être choisi arbitrairement. En effet, soient donnés a^y a^^ a^i en fonction d'une variable t^ satisfaisant à la première équation (6). La seconde nous donnera une, équation de la forme

U{t) dt — A dç,

qui fera connaître t par une quadrature. Il y aura une infinité de solutions distinctes, à moins que le cône directeur ne soit de révolution ou ne se i-éduise à un plan.

Quelques considérations géométriques expliqueront assez bien le résultat précédent. Traçons sur une surface réglée (R) des génératrices rectilignes infiniment voisines (di), (^2)1 (^^s)^ --m considérons comme rigides les parties de la surface comprises entre les génératrices consécutives (û?/-i), {di)^ mais en admettant

que, des deux parties séparées par une génératrice (rf/), l'une puisse tourner, tout d'une pièce, autour de {dj) comme charnière sans entraîner l'autre. Soit, d'autre part, (C) un cône donné et soit (o^) une de ses génératrices, choisie arbitrairement. Par un mouvement d'ensemble de la surface gauche, amenons {di ), à être parallèle à {l^). Faisons ensuite tourner toute la partie de la surface située du même côté que (rfo) par rapport à {d^)^ jusqu'à ce que (rfo) devienne parallèle à une des génératrices du cône (C), et soit (02) cette génératrice. Recommençant de même pour {d^), on pourra, en faisant tourner toute la partie de la surface qui est du côté de («^3), amener cette droite {dz) h devenir parallèle à une génératrice (og) de (C); et ainsi de suite. La nouvelle forme ainsi obtenue de la surface gauche dépendra, en général, du choix de la génératrice initiale (S^) qui n'est assujetti à aucune condition.

730. Les formules (lo) prêtent encore à une remarque très intéressante, qui a été signalée rapidement par M. Beltrami (*), mais sur laquelle il convient d'insister. Elles contiennent une quantité H dont le carré seul est défini par l'équation (9) et qui, par suite, peut être prise avec un double signe.

Il existe donc toujours deux surfaces i^églées applicables V une sur Vautre et dans lesquelles les génératrices correspondantes sont parallèles et de même sens.

Considérons, par exemple, l'hjperboloide de révolution défini par l'équation

On peut prendre ici

(il) <^ - = -sinp — cosp, (a = v/a2-f-c2)