AQ

et, par suite, les formules (a) nous donnent

{b) tangcp= ^J±rZ^^, ]VlQ«=puZt;M"(î«-a)=>rfc».

Or MQ peut être regardé comme étant égal à l'arc, compris entre AA' et BB', de la trajectoire des génératrices passant en M. On aura donc pour l'élément linéaire la formule

cls' = du^ -h rp'H- (z^ - olY ^n ^(;2

et, si l'on a choisi ^? de telle manière que dts soit égal à dç,

D'autre part, 9 est évidemment l'angle que fait le plan tangent en M avec le plan tangent en B au point central; et, par suite, la première des équations {b) nous donne le théorème de M. Ghasles, exprimé par la formule

u ' oi , ^ d{)

{d) tangç^--^-, ou ^^-^'

Ce sont les résultats que nous rappelons dans le texte. Nous emploierons plus loin la formule (c), oîi Ton connaît la signification géométrique de tous les termes.

3oîi LIVRE VU. — CHAPITRE VI.

équations auxquelles on peut joindre la suivante

obtenue en différentiant la relation identique entre les trois cosinus. D'après cela, l'équation du plan tangent deviendra

et le paramètre de distribution sera

En comparant à la valeur générale de m, on voit qu'il faut

prendre

Ui cc^ ctz

cil a^ a^ ^1 ^2 ^3

11 suit de cette détermination précise du signe de w (^) que les deux surfaces gauches signalées plus haut, qui sont applicables l'une sur l'autre avec parallélisme des génératrices homologues, par cela seul qu'elles correspondent à des valeurs de H égales et de signes contraires, ont leurs paramètres de distribution égaux et de signes contraires pour deux génératrices homologues. Or il est clair que, si l'on déforme, dUtne manière continue^ une surface réglée, on ne change pas le signe du paramètre de distribution. Ainsi, quoique les deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre, on ne peut, en général, passer de l'une à l'autre par une déformation continue. C'est là le fait que nous voulions mettre hors de doute.

Ajoutons cette propriété : Quand deux points correspondants décrivent sur les deux surfaces des génératrices parallèles, les plans tangents tournent toujours du même angle, mais dans des sens

(») Il est très facile de comprendre pourquoi le paramètre de distribution a un signe. Fixons un sens sur une génératrice rectiligne; quand le point se déplacera dans ce sens, le plan tangent tournera autour de la droite dans le sens des rotations positives ou dans le sens opposé. Dans le premier cas, le paramètre de distribution est positif, il est négatif dans le second. Le signe ainsi établi ne dépend pas du sens que l'on a fixé sur la génératrice.

DÉFORMATION DES SURFACES GAUCHES. 3o3

opposés. Ils sont parallèles pour les points centraux et pour les points à l'infini.

732. Les formules que nous avons données permettent de résoudre ou d'aborder quelques questions intéressantes que nous allons indiquer rapidement.

Peut-on déformer une surface réglée de telle manière que Vune de ses courbes deçienne plane?

Nous pouvons évidemment supposer que cette courbe corresponde à l'hypothèse u=.o. Admettons, d'autre part, que le plan dans lequel elle sera située ait été choisi pour plan des yz. On

devra avoir

b\ = o, c'est-à-dire

AD «1 -{-Bai -H H(û52«3 — a^a'<^) — o.

Mais, d'après les équations (6), on peut écrire

L'équation du problème devient donc

(i 8) A D ai -H B a'i = H /A ( I — a î ) — aV^

et ne contient plus que l'inconnue a< ; a^ et «g se détermineront ensuite par la première équation (6) jointe à la suivante

a^ — «3^2 s/A.0 — gf ) — a\^

al-\-al i-a\

qui donnera — par une quadrature. Tout se ramène donc (*) à

CCz

l'intégration de l'équation différentielle.

On peut intégrer dans le cas où la courbe donnée est une trajectoire orthogonale des génératrices; car alors on a D = o, et

(*) Beltrami (E.)j Mémoire cité plus haut, p. 119.

3o4 LIVRE VII. — CHAPITRE VI.

réquation peut s'écrire

V^i — af v'Bâ-i-Hs Une simple quadrature fera connaître «i (^).

733. Peut-on défojiner une surface réglée de telle manière qu'une de ses lignes de^'ienne droite?

Cette ligne devra, évidemment, être géodésique; il faut donc trouver une condition correspondante.

Admettons toujours que la ligne donnée corresponde à l'hypothèse ï^ = et prenons pour axe des :; la droite dans laquelle elle se transformera. On devra avoir cette fois

et, par suite, les équations (7) nous donneront

On en déduit

b,.^VC, «3=^, «3=.-^^,

et de là résulte la condition annoncée

y/G Wc) Connaissant a^. on aura ^^ et «o par les deux équations

a] ~\~al^i — a], d} -f- a'o- = A -- a'32, qui se résolvent, on le reconnaît aisément, par une quadrature; car

(') Dans le cas général, l'équation appartient au type suivant

My -i- 2N77'-h Py* = I,

où M, N, P sont des fonctions de x. On peut la ramener à Tune des formes suivantes

y' ^a-\'hy -V' cy -1- dy, ttj b, c, d étant des fonctions de x.