Z II
(*) Beltrami (E.), Sulla Jlessione délie superficie j^igate {Annali di Matematica pura ed applicata, pubblicati da B. Tortolinî, t. VII, p. io5; i865).
~ = T sinp a A
5 % COSP.
On trouvera
ds"' = du^-Jr 1 ~ du dç 4- %-{u^~^r- A2^« <^p2. A A2 ^ '
On a donc ici
etj par suite, la surface qui est applicable sur l'hyperboloïde avec parallélisme des génératrices sera définie par les formules
C'est une surface hélicoïde dans laquelle une hélice correspond au cercle de gorge de l'hyperboloïde.
Après cette application particulière, revenons à la proposition générale et proposons-nons de rechercher si les deux surfaces dans lesquelles les génératrices correspondantes sont parallèles peuvent se déduire l'une de l'autre par une déformation continue. Pour répondre à cette question, il est nécessaire de rappeler quelques propriétés élémentaires des surfaces gauches.
Remarquons d'abord que, d'après la seconde des formules (6), \Jh.dç sera l'angle des deux génératrices infiniment voisines de paramètres (^ et (^ + dç.
D'après cela, supposons que, dans l'expression (5) de <f5-, on laisse ^ et dç constants, mais que l'on fasse varier u et du\ on aura la distance de deux points infiniment voisins, pris respectivement sur les génératrices de paramètres <; et p -|- rfp. Or cette distance devient Japlus petite possible lorsqu'on a
du^ — Yi dv^ w = — j ;
TT
et elle est égale alors à —dv. Donc, si l'on désigne par P dv la plus courte distance des deux génératrices {v) et (p-f-^fp), on a
De plus, le pied de cette plus courte distance, ou le point cen^ tral, correspond à la valeur de u définie par l'équation
Et enfin, d'après une propriété connue des surfaces gauches (^), le paramètre de distribution, qui est égal k ^ dç divisé par Tangle des génératrices infiniment voisines, aura pour valeur
Il y a lieu ici de faire une remarque essentielle.
731. Si l'élément linéaire seul est donné, l'expression de tut contient un radical et, par suite, le signe de th ne peut être déterminé. Mais il n'en est plus de même lorsque la surface est définie par des équations de la forme (i). Alors, en remplaçant H et A par
(') Pour plus de clarté, nous allons rapporter ici la démonstration bien connue
qui donne Téiément linéaire et les propriétés élémentaires des surfaces gauches.
Soient {/ig. 78) AA', BB' deux génératrices infiniment voisines dont les para-
Fig. 73.
mètres seront p et t» -h di>. Si AB est la plus courte distance de ces deux génératrices, la valeur principale de AB sera
AB = p dv,
P étant une certaine fonction de v. Menons par A une parallèle AC à BB' et, par le point M de BB', menons MP, perpendiculaire à AC, et MQ, perpendiculaire à AA'. Le triangle MPQ étant rectangle, nous avons
(«) PQ = MPtang9, MQ»= MP«-i- PQ»,
9 désignant l'angle QMP. D'autre part, le triangle APQ rectangle en Q nous donne, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur
PQ == AQ dcr,
DEFORMATION DES SURFACES GAUCHES. 3oi
leurs valeurs dans réquation (i6), on trouve
ai a% «3 I a\ a\ a\ \
de sorte que le signe du second membre reste à déterminer. Pour cela, conformément à une méthode bien connue, plaçons-nous dans une hypothèse particulière et supposons que la génératrice considérée vienne coïncider avec l'axe des z. On aura alors
Le plan tangent à la surface gauche, en un point de Taxe des ^, aura pour équation
Y ^ aU-f-6; ^
Si Ton veut que l'origine soit \e point central et le plan des xz le plan central^ il faudra que l'on ait
62 = O, a\ rr. 0,
de étant l'angle des deux génératrices AA.' et BB'. Si l'on désigne par a et a les distances de Q et de A au point où une ti'ajectoire orthogonale fixe coupe AA', on a
