OR" W, R
( C0Sî+ ôiv ) l W
; o » R 4 . , ~ o it' .
i J fl4-K) — 4- — sin 4 ® — 2 — sin « sin x 1 t- O I Q 2 t~ ? OR' f
Que l'on pose dans ce but ,
R' ke
lang « «= y, lang ? = s, — = m,— = s ;
DE LA TllRBINE.
que l’on fasse attention d’ailleurs à l’égalité
O' n'k'a'e' k'c'n'V sin y 1 R' sin ç>
O n k a e k c n I sin a * R' si n a ’
et l’expression dont il s’agit prendra la forme
m* (I — m*) (sy + s) *
On reconnaîtra maintenant, avec Poncelet, et d’après la limitation des valeurs que peuvent recevoir ici les nombres m, s et K : 1° que cette fraction demeurera toujours au-dessous de l’unité, de sorte que la valeur du rapport x, ou celle de la vitesse angulaire de la roue, ne saurait, non plus, devenir infinie par la condition du maximum d’effet , ainsi qu’il arrive pour les roues à réaction, à la classe desquelles, par conséquent, la turbine ne saurait appartenir ; 2° que cette même fraction approchera d’autant plus de son maximum, que le
ke
rapport s ou r/ sera plus voisin de l’unité, et que
K, y et z, ou * et ? seront eux-mémes plus près de zéro ; 5° qu’enfin , si cette condition de K, a et ® nuis ou très-petits, était satisfaite, le rapport
de - = tan ^ ~ devenant -4 , la fraction ci-dessus s tang <f sm *
se réduirait sensiblement à la quantité 1 — m 4 . On aurait alors
Pt' RS n *». 1 RS
Mf/Il R'* — R"* ( m ’ * 2m 2 2R
<a R' ou t>* = j/jH = 0,7071 J/ %H.
Le maximum d’effet absolu serait atteint pour une vitesse de la circonférence intérieure de la roue, égale aux 0,7 environ de celle qui répond à la hauteur de la chute disponible H.
Dans la réalité , il est impossible de faire les angles a et ? nuis ou même très-petits. La première de ces conditions tient d’ailleurs uniquement à ce que nous avons supposé ici les aubes de la roue perpendiculaires à la circonférence. Mais on conçoit, dit encore Poncelet , d’après la nature de la fonc-
PlJ
tion ci-dessus, que sa valeur et celle de— — -devront
Mf/H
éprouver des variationsassezfaibles pourdes valeurs de a et de f qui s’écarteraient notablement de zéro. Un exemple, où nous étudierons spécialement la marche suivie par les résultats numériques du calcul , dans le but de la comparer à celle qui est indiquée par les données immédiates de l’expé-
DE LA TURBINE. 60
rience, fera voir suffisamment que ces prévisions ne s’écartaient pas trop de la vérité.
Poncelet choisit, à cet effet, l’un des cas dont M. Arthur Morin s’est occupé avec le plus de soin. II est très-fàcheux cependant que ce dernier auteur n’ait point fait connaître les éléments constitutifs de la roue sur laquelle il a opéré , et que Poncelet ait été obligé , pour établir plusieurs des données du problème, de les conclure des proportions relatives des parties , telles que M. Fourneyron les avait indiquées dans ses Mémoires. Cette comparaison perd ainsi , en grande partie , le degré de certitude et d’intérêt scientifique qu’elle eût pu comporter. Mais il n’est pas probable que M. Fourneyron ait, depuis l’époque où il a publié ses descriptions, modifié sensiblement le système général de construction de son appareil.
Pour la turbine de Mülbach , dont nous avons déjà parlé, et sur laquelle M. Arthur Morin a multiplié beaucoup les expériences , on a les éléments suivants :
Hauteur de la turbine = 0 m ,33; diamètre = environ 2™.
On est par là conduit à prendre :
K = 1”, R" = 0,7R = 0 m ,7, sin *= 0,3, cos « = 0,806, sin j> = 0,4, eos? = 0,9165.
Pour plus de simplicité , Poncelet suppose cn-
core les quantités k et k ’ , — coeflicients de contraction relatifs aux orifices d’injection du réservoir, et d’évacuation de la roue, — sensiblement égaux entre eux et à l’unité. Parmi les séries d’expériences exécutées par M. Arthur Morin, l’auteur choisit celles des pages 56 et 46 de son Mémoire ,
pour lesquelles la valeur du rapport— des hauteurs
de ces orifices ne devait pas elle-même différer beaucoup de l’unité, car il est très-probable que la roue dont il s’agit portait une couronne intermédiaire; et l’on peut négliger l’influence qui peut être due à la présence de la division supérieure où l’eau ne devait pas être admise directement.
Dans ces hypothèses , on aurait sensiblement :
0' n'k'a'e R' sin y ( (
0 n k a e H' sin a
(1+0 , v4 = 1 +K + — - sin* « = 1,5434 ;
Ces premières valeurs connues, nous aurons:
pour l’expression générale du rapport variable des effets de la turbine, dans ce cas particulier,
Pu
= — 2jH-2,3567 |/.t 0,51 x i ;
DF, LA TURBINK.
pour la valeur maximum de ce rapport, et pour la valeur correspondante du nombre x ,
0,089; d’où
Dans les expériences dont nous parlons , de M. Arthur Morin, on avait moyennement H=5 m ,2. D’après les formules, on obtiendrait pour le nombre N des révolutions par minute de la roue, correspondant au maximum d'effet,
N «= 9,55 « = 9,95 \ZigHx = 02‘,8.
Comparons ces premiers résultats à ceux des expériences. En consultant la deuxième partie du tableau de la page 36 du Mémoire cité de M. Arthur Morin , on verra d’abord que la valeur 0,83 surpasse de th environ celle déduite de mesures directes. Les expériences donnent aussi , au lieu de 62‘, 8 par minute , le nombre de 59* environ. Quoique une semblable différence n’ait point lieu ici de nous surprendre, dit Poncelet, nous ferons cependant remarquer qu’elle doit être principalement attribuée aux résistances passives dont on n’a tenu aucun compte.
Poncelet calcule ensuite le nombre de tours et le rapport des effets pour des valeurs variables de la quantité x. Ces résultats , mis en regard de ceux des expériences obtenus par interpolation pour chaque cas particulier, fournissent quelques indications utiles. Il en résulte le tableau suivant :
Valeurs attribuée* Nomb. de tours de Rapport de* effets Moyennes fournies
au nombre x.
roue par minute.
d'après le calcul.
par l'expérience.
Le calcul et l’expérience sont donc d’accord pour nous prouver que l’effet utile ne saurait atteindre le maximum absolu, mais qu’il peut s’en approcher de très-près, n’éprouvant d’ailleurs que des variations fort faibles pour des vitesses qui s’écartent notablement de celle du maximum relatif. — La dernière colonne de ce tableau montre que le rapport
DK LA TURBINK.
des effets décroît, dans l’expérience, beaucoup plus rapidement que ne l’indique le calcul. Cette différence tient, sans aucun doute, à l’influence que les résistances passives et les autres causes de déperdition inhérentes au mouvement de la turbine, acquièrent alors. Celle action devait, dans le cas dont il s’agit, se manifester d'autant mieux, que la turbine se trouvait noyée dans l’eau du bief inférieur.
Pour des ouvertures de vanne de 0 m ,09 de hauteur seulement, le rapport maximum des effets demeure au-dessous de 0,55, d’après le tableau de la page 34 du Mémoire de M. Arthur Morin. 11 est encore évident que les formules marchent dans le même sens, quoiqu’elles fournissent toujours, en raison des causes signalées, des nombres sensiblement supérieurs à ceux de l'expérience.
En supposant le rapport dos orifices réduit à
la moitié de la valeur que nous lui avons attribuée
Pd
précédemment, le maximum de rrrr devient 0,59
MÿH
environ, et le nombre correspondant de tours, 48. Ce sont, à peu près, les indications de l’expérience.
M. Arthur Morin a fait également, sur la turbine de Mülbach, une suite d’expériences fort intéressantes, dans la vue de constater l’influence de la force centrifuge sur la dépense qui se fait par les
orifices du réservoir, et de découvrir la loi qui lie cette dépense à celle O j/ %1I qui aurait lieu si la roue était enlevée. Poncelet a cru utile d’en comparer également les résultats à ceux de ses formules. Nous allons le suivre dans cette comparaison.
Les formules donnent pour l’expression du rapport dont il s’agit,
°'“ = 91 . /%ll + u 2 (IV 4 — K"*)
Cette expression devient, dans le cas particulier qui nous occupe.
Contentons-nous de substituer pour x les trois valeurs 0,2, 0,7, 1,8; nous obtiendrons respectivement, pour
OV
N= 33,84 révolutions par minute. — — =0,845
