ELLIPSES ET PARABOLES

CONNAISSANT LES PEUX AXES I)*UNE ELLIPSE, TRACEZ CETTE COURBE AU MOYEN DES FOYERS. (Fig. 4).

Nous rappellerons que X ellipse est une courbe fermée qui est telle que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes intérieurs est constante. Ces points fixes sont les foyers (I" 50).

Données. — Soient 85 millimètres la moitié du grand axe, et 46 millimètres la moitié du petit axe.

Disposition du dessin. — Construisez d'abord les directrices et le cadre. — Portez ensuite, à partir du côté supérieur et du côté inférieur du cadre, des distances de 70 mil), et menez deux parallèles à la directrice horizontale; — portez également, à partir des côtés latéraux du cadre, des distances de 106 mill. et tracez deux parallèles à la directrice perpendiculaire.

Tracé. — Sur les lignes que vous venez de tracer, établissez les données. — Du point d'intersection e (fig. 4), portez une longueur de 85 mill. de e en a, et de e en h : ah sera le grand axe ; — portez une distance de 46 mill. de e en c^ et de e en rf ; la droite cd sera le petit axe. — Pour obtenir les foyers, prenez une ouverture de compas ae égale à la moitié du grand axe, et de l'extrémité c du petit axe, comme centre, décrivez l'arc fg qui coupe le grand axe : les intersections f et g sont les foyers de l'ellipse à tracer.

Ces données établies, il faut déterminer des points de la courbe. — Prenez avec le compas une portion quelconque bh du grand axe, et des foyers f et g, comme centres, avec le rayon bhj décrivez deux arcs ; — prenez également ave<; le compas l'autre partie ah du grand axe, et, avec ce rayon, et toujours des foyers fj g, comme centres, décrivez deux autres arcs : — Les points k, l, et k'j V, intersections de ces arcs, seront quatre points de la courbe.

Déterminez d'autres points en vous servant, comme rayons, d'autres portions de ah, toiles que hm et am; — puis, après avoir

obtenu an ncmibre suffisant de points, faites passer une courbe •que vous tracerez à la main au crayon, mais qui, pour être convenablement pure, doit être passée à l'encre à l'aide du tracecourbe nommé aussi pistolet. (I'*' partie, 240, 211).

Afln d'empêcher que les points de centre f et g ne s'agrandissent en décrivant les arcs qui servent à déterminer les points de l'ellipse, on fait usage d'un petit morceau de corne transparente (de 2 mill. carrés), que l'on interpose entre le point marqué sur le papier et la pointe du compas, en le fixant avec de la colle à bouche. Cette précaution contribue beaucoup à l'exactitude du tracé, la pointe du compas ne pouvant pas se déplacer.

Connaissant les deux axes d'une ellipse, tracez cette

COURBE AU moyen DE DEUX CIRCONFÉRENCES fFig. 2).

Données. — Soient 77 millimètres la moitié du grand axe, et 46 millimètres la moitié du petit axe.

Tracé. — Du point d'intersection e (fig. 2) comme centre, avec une ouverture de compas ca de 77 mill., décrivez une circonférence, vous aurez le grand axe ab , 46 mill. pour rayon, décrivez une se aurez le petit axe cd. — Pour obtenii tracez un rayon quelconque ef à la menez par l'intersection g de la petite lèle gh au grand axe ; — par le point petit axe : le point h où ces lignes se l'ellipse. — Répétez cette opération points en nombre suffisant pour tracer la courbe.

Esquissez la courbe au crayon et passez - la à l'encre avec le trace-courbe.

CONNAISSANT LES DEUX AXES D UNE ELLIPSE , TRACEZ CETTE COURBE AU MOYEN d'uNE BANDE DE PAPIER (Fig. 3).

Donnée». — Soient 85 millimètres la moitié du grand axe, 46 millimètres la moitié du petit axe.

Tracé. — Comme précédemment, du point d'intersection e, portez, à droite et à gauche sur l'horizontale, une longueur de 85 mill. pour avoir le grand axe ab ; — du même point e portez, au-dessus et au-dessous de ab, une longueur de 46 mill. qui déterminera le petit axe cd. — Cela fait, prenez une bande de papier de peu d'épaisseur, coupée en ligne droite, et marquez

un petit trait e' perpendiculaire à son bord ; —- portez la longueur ea du demi grand axe de e' en a', et marquez un second trait f — portez aussi celle ec du demi petit axe de e' en c'; vous aurez alors c'a' qui exprimera la différence des demi-axes. — La bande de papier étant ainsi préparée, placez le point a' sur le petit axe, et le point c' sur le grand axe : la position de e' donnera un point de l'ellipse, que vous accuserez par un petit trait.

Vous aurez autant de points que vous voudrez, en ayant soin que le point a' soit constamment sur cd et le point & sur ab. — Les points obtenus, faites passer une courbe que vous tracerez à la main au crayon, mais que vous passerez à l'encre en employant le trace-courbe.

Nous recommandons tout particulièrement cette construction de l'ellipse dont l'avantage pratique est évident, puisque après le résultat obtenu, il ne reste sur le dessin aucune trace quelconque d'opération.

TRACEZ UNE PARABOLE CONNAISSANT SON FOYER ET SA DIRECTRICE ( Fig. 4 ).

Nous rappellerons que la parabole est une courbe ouverte à une seule branche, qui est telle que chacun de ses points est également éloigné d'un point fixe et d'une droite fixe. Le point fixe est le foyer, et la droite fixe est la directrice. L'axe de la parabole est la perpendiculaire menée du foyer à la directrice.

Donnéei. — Soit 24 millimètres la distance du foyer à la directrice.

Tracé. — Sur l'horizontale indéfinie ab (fig. 4), qui sera l'axe de la courbe à tracer, portez de a en 6 une longueur de 24 mill. égale de la distance du foyer à la directrice ; — au point b élevez une perpendiculaire cd qui sera la directrice. — Ces données établies, divisez ab en deux parties égales : le point e sera le sommet de la parabole; — pour obtenir d'autres points, menez par le foyer a des droites ac, ad, af, ag; — sur le milieu de chacune d'elles élevez des perpendiculaires; — par les intersections c, g, f, d, menez parallèlement à l'axe ah des droites qui couperont les perpendiculaires en k, i. h, l, qui appartiennent à la courbe. — Répétez cette opération pour avoir d'autres points plus éloignés de la directrice, et, le nombre de points obtenus étant suffisant, tracez d'abord la courbe au crayon, pour la mettre ensuite à l'encre à l'aide du trace-courbe.

On peut obtenir la parabole par une seconde construction.

Les données étant les mêmes que précédemment, déterminez l'axe ab (fig. 5), la directrice cd, et le sommet e de la courbe. — Menez ensuite une série de droites ik^ Im^ no parallèles à la directrice cd, et à des distances plus grandes que be; — ces droites coupent Taxe ab aux points f, g, h, etc. ; — prenez avec le compas la distance bf^ et, du foyer a avec cette ouverture de compas, décrivez un arc : les points % et k, où cet arc coupe la parallèle, appartiennent à la parabole. — Prenez successivement des ouvertures de compas égales aux distances bg, bh, qui séparent les parallèles de la directrice, et, du foyer a^ avec ces ouvertures, décrivez des arcs; les intersections l, m, et n, o^ appartiendront à la parabole.

On comprendra facilement qu'il est nécessaire d'étendre ces opérations en s' éloignant de plus en plus de la directrice, afin d'obtenir un nombre suffisant de points pour tracer la courbe.