CYLINDRE

LES PROJECTIONS d'UN CYLINDRE DROIT ÉTANT DONNEES, DÉ- TERMINEZ :

1*» LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PERPENDICULAIRE AU PLAN VERTICAL ET INCLINÉ A l'HORIZON ;

2° LA MÊME SECTION, ADMETTANT QUE LE CYLINDRE, AYANT TOURNÉ SUR SON AXE, AIT DÉCRIT UN QUART DE REVOLU- TION;

3** LA MEME SECTION, EN SUPPOSANT QUE LE CYLINDRE, AYANT DE NOUVEAU TOURNÉ SUR SON AXE, AIT DECRIT UN HUI- TIEME DE RÉVOLUTION.

Données. — Soient 90 millimètres le diamètre de la base du cylindre, 120 millimètres sa hauteur, 63 millimètres la distance de l'axe au plan vertical, 60 degrés l'angle d'inclinaison du plan sécant avec l'axe du cylindre, et 60 millimètres la distance de la base inférieure au point le plus rapproché du plan de section.

Gomme on le voit, il s'agit, comme à la pi. 6, de représenter un même solide qui a pris trois positions différentes en tournant sur son axe.

DîtpoBîtion du dessin. — Portez 10 mill. au-dessous de la directrice horizontale, et tracez la ligne de terre; —portez encore dans le plan horizontal une distance de 63 mill., et menez une seconde parallèle à la directrice horizontale; cette dernière parallèle contiendra les centres des projections fig. 1, 3, 5.— Tracez les axes verticaux parallèlement à la directrice perpendiculaire, en portant une distance de 75 mill. à partir des côtés latéraux du cadre.

Tracé. — Suivez la construction indiquée au problème 85. Observez seulement qu'il est nécessaire de diviser les circonférences des bases en un plus grand nombre de parties, afin d'obtenir, dans les projections verticales, des points assez rapprochés pour déterminer rigoureusement la courbe de section.

Xiavîs. — Pour le lavis de ce dessin, voyez l'explication (181).

PLANCHE iO.

CONE ET SPHÈRE.

LES PROJECTIONS D'UN CONE DROIT ÉTANT DONNÉES, TRACEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARALLÈLE AU PLAN HORI- ZONTAL , c'eST-A-DIRE PERPENDICULAIRE A l'AXE (Fig. 1

et 2).

Données. — Soient 90 millimètres le diamètre de la base, 63 millimètres la distance de l'axe au plan vertical, 120 millimètres la hauteur du cône, et 40 millimètres la distance du plan sécant au sommet.

Dî^Mtîtîon du detiia. — Elle est la même qu'au dessin précédent ; déterminez donc de la même manière la ligne de terre, l'axe des projections horizontales, ainsi que les axes verticaux.

Tracé. — Voyez le problème 86.

LES PROJECTIONS DU MEME CÔNE ÉTANT DONNEES, TRACEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARALLELE AU PLAN VERTICAL ET PASSANT PAR l'AXE DU CONE (Fig. 5 et 6).

Tracé. — Le diamètre de la base et la hauteur du cône étant les mômes, répétez donc la construction des fig. 1, %. Relativement à la section, voyez le problème 87.

LES PROJECTIONS d'UNE SPHERE ÉTANT DONNEES, TRACEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARALLELE AU PLAN HORI- ZONTAL ( Fig. 3 et 4) .

Données. — Soient 90 millimètres le diamètre de la sphère, 63 millimètres et 75 millimètres les distances de son centre au plan vertical et au plan horizontal , et 8 millimètres la distance du plan de section au contour du solide.

Tracé. — Voyez le problème 88.

LaTÎt. — Tracez l'ombre propre du cône en projection horizontale (fig. 1 et 5). — Pour cela, formez avec le diamètre vertical un angle de 30*; faites le même angle avec le diamètre horizontal (*) : les deux génératrices tracées seront les lignes de séparation d'ombre et de lumière , et formeront ainsi , dans la circonférence, deux secteurs dont l'un (le plus grand) sera la partie éclairée du cône, et l'autre (le plus petit) sera celle dans l'ombre. — • L'une de ces génératrices sera visible dans la fig. 2, projetez-la; l'ombre propre, dans cette projection, sera comprise entre cette génératrice et le contour apparent du cône.

Pour la sphère : — tracez (fig. 4) deux diamètres qui fessent tous deux des angles de 45** avec la ligne de terre; — portez, à partir du contour de la sphère, sur celui qui est dans le sens du rayon de lumière, une distance égale au sixième du diamètre (soit, i5 mill.) :— cela fait, tracez une demi-dlipse (pi. 2, fig. 3) dont le grand axe sera le diamètre opposé à la lumière, et la moi-

(1) Nous l'avons déjà dit, le tracé exact des ombres propres et des ombres portées sera le sujet d'une étnde complète dans la troisième partie de ee cours ; nous ne donnons donc, en attendant, qu'un moyen d'y gappléer.

tié du petit axe sera la distance du centre au point qu'on vient de marquer. — L'espace compris entre cette demi-ellipse et la partie supérieure de la figure sera la partie éclairée de la sphère; tandis que la partie dans l'ombre sera la portion comprise entre cette ellipse et le contour inférieur. ~ Le même tracé doit être appliqué pour la projection horizontale (fig. 3), en observant toutefois que la direction du rayon de lumière (1i6J n'est pas la même qu'en projection verticale.

Ces contours d'ombres tracés, appliquez la teinte d'ébauche sur toutes les surfaces comprises entre chacune des lignes de séparation d'ombre et de lumière et les contours apparents des corps, absolument comme vous l'avez fait pour le cylindre, pi. 9.

Il s'agit ensuite de représenter le modelé de ces corps; nous ne nous occuperons d'abord que du cône. — Comme au cylindre, il faut, par une même série de teintes augmenter graduellement l'intensité des demi-teintes en allant de la surface lumineuse à la ligne de séparation d'ombre et de lumière, et ensuite, diminuer graduellement depuis cette ligne jusqu'à la partie la plus reflétée de l'ombre. Dans la projection verticale du cône et dans celle de la sphère, cette partie reflétée a peu d'étendue ; le contour apparent vient presque immédiatement la limiter. Il n'en est pas de môme dans la projection horizontale du cône (fig. 1), où les deux lignes de séparation d'ombre et de lumière sont visibles; l'espace d'ombre, assez étendu, qu'elles limitent est éclairé par les rayons réfléchis, et présenre une partie de sa surface directement à ces rayons ; cette partie est donc beaucoup plus reflétée ( 1 47 ) .

En résumé, l'ombre propre du cône, dans les fig. 1 et 5, ainsi que dans celle ci-contre, est le secteur a s a'r'a; la génératrice la plus éclairée est rs qui se présente le plus normalement aux rayons de la lumière directe ; la génératrice la plus reflétée est r's qui se présente dans la même condition aux rayons réfléchis. La dégradation doit se produire suivant les génératrices du cône.

Voyons maintenant comment, par le lavis, on peut exprimer ces eff'ets. — Faites une teinte excessivement faible que vous appliquerez de b en b' en passant en a r' a' par -dessus la teinte d'ébauche, en réservant ainsi le secteur bsb', qui doit rester complètement blanc; — répétez cette même teinte, de la même manière, de c en & ; — de même que vous avez fait lors du cylindre (pi. 9), continuez ainsi une série de teintes en les fonçant de plus en plus, et en diminuant aussi de plus en plus leur étendue. — Arrivé aux points d et d', cessez de couvrir totalement Tombre pour commencer à former la partie reflétée ; — à cet effet, posez la teinte de d' en d"' en formant le secteur d'sd'",

et, avec la même teinte, formez le secteur dsd" ; — foncez la teinte, et continuez de la même manière pour former les secteurs e'se'" et ese" ; — foncez encore, et faites ceux a'sa"\ asa'\ qui sont les teintes de plus forte intensité.

L'effet cherché est produit pour la partie éclairée comme pour celle dans l'ombre, mais la forme conique ne serait pas complètement représentée si l'on ne faisait pas sentir la distance qui sépare le sommet de la base.

Cette fuite, de la base au sommet, a lieu suivant des cercles dont les rayons décroissent et dont le dernier, le sommet, n'est plus qu'un point. — Pour rendre cet effet, appliquez sur l'ombre une série de teintes en forme de secteurs do rayons de plus en plus petits , que vous foncerez de plus en plus en vous rapprochant du centre. Ces teintes devront, chacune, être fondues sur les deux lignes de séparation d'ombre et de lumière, ainsi qu'à leur contour circulaire. La partie éclairée doit subir un effet semblable mais inverse, qui n'a pas été rendu sur les modèles.

Quant à la sphère : — les différentes zones d'intensité peuvent être considérées comme limitées par des cercles dont les plans sont perpendiculaires à la direction de la lumière (la ligne de séparation d'ombre et de lumière est elle-même un grand cercle); et comme ces cercles se projettent obliquement, il s'ensuit que la limite de la surface lumineuse , ainsi que les autres contours des teintes, seront des ellipses.

Dans cette condition de forme imposée aux teintes, l'augmentation graduelle d'intensité devra être exécutée absolumeirt comme au cylindre (pi. 9). Dans les deux projections, les mêmes teintes devront être exactement appliquées aux mêmes places, sauf le changement résultant de la différence de direction des rayons lumineux.

CONE.

LES PROJECTIONS d'UN CONE DROIT ETANT DONNEES, TRACEZ LA SECTION FAITE DANS CE CÔNE PAR UN PLAN PERPENDI- CULAIRE AU PLAN VERTICAL ET INCLINÉ A l'HORIZON

(Fig. J et 2).

Données. — Soient 90 millimètres le diamètre de la base, 420 millimètres la hauteur du cône, 63 millimètres la distance de Taxe au plan vertical, 43 degrés l'angle d'inclinaison, et 27 millimètres la distance de la base au point de rencontre du plan sécant avec une génératrice.

Disposition du dessin. — La position de la ligne de terre, celle de l'axe horizontal contenant les centres des bases, ainsi que celles des axes verticaux des projections sont absolument les mêmes qu'aux dessins précédents ; — tracez donc ces différentes lignes comme vous l'avez déjà fait (pi. 9 et 10). — Remarquez que les trois cônes représentés ayant les mêmes dimensions, doivent , pour abréger le travail , être construits simultanément.

Tracé. — Déterminez la section (fig. 1 et 2), en suivant le problème 89, et en appliquant la seconde solution.

LES PROJECTIONS d'UN CÔNE DROIT ÉTANT DONNEES , DÉTER- MINEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARALLELE A UNE GÉNÉRATRICE DU CÔNE EN MÊME TEMPS QU'iL EST PERPEN- DICULAIRE AU PLAN VERTICAL (Fig. 3 et 4).

Données. —Le cône a les mêmes dimensions qu'aux ûg. 4, 2; il est à la môme distance du plan vertical, et la distance du plan sécant à la génératrice extrême est de 32 millimètres,

Traoé. — Les projections (G g. 3 et 4) étant déjà construites, cherchez la section comme il est indiqué au problème 90.

LES PROJECTIONS D'UN CÔNE DROIT ÉTANT DONNÉES, TRACEZ LA SECTION FAITE PAR UN PLAN PARALLÈLE A SON AXE ET AU PLAN VERTICAL (fig. 6 et 6).

Données. — Le cône a toujours les mêmes dimensions qu'aux fig. 1 , 2, la distance de l'axe au plan coupant est de 27 millimètres.

Tracé. — Vous avez les projections, construisez la section comme au problème 94 .

Lavis. — Les cônes ayant même base et même hauteur qu'au dessin qui précède, l'ombre aura même étendue et sera tracée de la même manière. Le lavis devra,, en tout, être exécuté comme à la pi. 10. La teinte plate des rabattements des fig. 2 et 4 aura même intensité que celle de la première teinte employée pour le modelé des projections.

PLANCHE t«,