CHAPITRE II

Examen critique de la méthode du cylindre

Calcul du couple. — Comme je l’ai dit, la méthode que j'ai choisie est celle du cylindre. Rappelons le calcul du couple qui s'exerce sur le cylindre mobile ({).

On a deux cylindres concentriques À, B (fig. 6); le cylindre B tourne avec une vitesse angulaire Q, tandis que le cylindre A est fixe. Le coefficient de viscosité du fluide placé entre À et Best n. Si on considère une couche cylindrique PQ

() Poyxrixé and Tnomson, Text Book of Physic. Properties of Matter, p. 213; Couerre, Annales de Chimie et Physique, 1890,

Ge série, 21, p. 436 ; Brizcouin, Leçons sur la viscosité, 1re partie, p. 89

infiniment mince concentrique à À (OP = r, OQ = r + dr), la vitesse angulaire de P est w et celle de Q, w + do. Au bout du temps T, P est venu en P'etQ en Q'et on a :

QQ"— (r + dr)uT QQ'— (r + dr\w + du)T.

Ce qui donne alors : Q"Q'— QQ' — 00" — (r + dr)Tdw.

En négligeant dr devant r, on a :

QUO Er d0.

Le gradient de vitesse de P est donc : ==

Si on considère un petit déplacement (assimilable à une translation si le déplacement est petit devant le rayon), la force due à la viscosité qui agit par unité de surface

d de P sera : "7° — et le moment de cette force par rapport au

4 du point O : nr?

Le moment du couple qui agit sur un cylindre de hauteur égale à l’unité sera :

c— 2er9 TA dr On en déduit :

do = Ga 2nr°n Ce qui s'intégre par :

OL Le ak Cr Errèn

Soient a et b les rayons des cylindres A et B. Pour le cylindre À, on a w — 0 et pour le cylindre B, w — a, Donc :

ER pen ab?

et pour un cylindre de hauteur h =

& 2b2 C = Ur Pr OA.

On tire de là :

__ C(b? — at) Arab?hQ Le cylindre est suspendu par un fil de torsion; si ® est l'angle dont il tourne, T sa période d’oscillation en l’absence du liquide et I son moment d'inertie, on aura : 4rId G — Dur et par suite :

— rbI(E? — a!) D TarTOR :

Si on pose Q =+, on voit que le coefficient de visco-

sité 1 nous sera donné par une relation de la forme :

K étant une constante de l'appareil :

K==- #02 — ui) |

7 oabh

Résumons une fois pour toutes les notations employées : est le coefficient de viscosité;

t la période de rotation du cylindre extérieur à — <Z :

® l'angle dont tourne le cylindre intérieur (en radians);

T la période d’oscillation du cylindre intérieur, oscillant librement en l’absence de l’eau ;

1 le moment d'inertie du cylindre intérieur;

b le rayon du cylindre extérieur ;

a le rayon du cylindre intérieur.

h la hauteur du cylindre intérieur.

La mesure de l'angle se fait par la méthode du miroir;

si D est la distance de l’échelle divisée au miroir et d la

déviation lue sur l'échelle divisée, on a :

Les RL

Conditions qui influent sur la précision de la méthode du cylindre. -— Dans ce qui précède, on a supposé que le cylindre intérieur considéré était découpé dans un cylindre indéfini et que les deux cylindres intérieur et extérieur étaient parfaitement centrés.

Couette donne dans son travail (t) le calcul approximatif de l’influenced’une excentricité légère. Si on pose e= a — b, épaisseur moyenne de la couche liquide et si on pose l’excentricité me — Oo! avec p << m < {, le calcul conduit à une

. 7 r erreur relative sur n égale a près:

Il y'a donc intérêt à prendre une couche relativement épaisse puisque, à décentrement égal, »m devient plus petit et on diminue l’erreur relative sur la différence des rayons.

Il est vrai que le couple agissant devient plus petit et que la déviation diminue ; c’est ce qui avait conduit Couette à prendre une couche peu épaisse (1/58 du rayon), pour pouvoir mesurer le couple par des poids.

J'ai préféré, au contraire, prendre une couche plus épaisse (1/5 du rayon) et augmenter la sensibilité de l'appareil en employant un fil de torsion.

Dans l'appareil que j'employais, la section minimum du fil de suspension était imposée par le poids du cylindre suspendu ; par contre, je disposais de la longueur de ce fil, que je pouvais choisir de façon à obtenir une déviation mesurable avec une précision relative comparable à celles des autres mesures.

Ce raisonnement, qui n'est qu'approché, s’est trouvé par-

(*) Couerre, Annales de Chimie el Physique, 1890, 6€ série, 21, p. 443.

faitement vérifié par l'expérience, puisque, contrairement à ce quise produit dans les expériences de Couette, je n'ai jamais éprouvé de difficultés du fait du centrage.

D'après ce qui précède, on voit que la précision de la méthode du cylindre dépendra, si on suppose la construction parfaite :

1° D'un bon centrage des deux cylindres extérieur et intérieur ; :

2° De l’ajustage aussi parfait que possible des deux cylindres de garde ;

3° De la mesure très exacte des constantes de l’appareil, c'est-à-dire :

Mesure des longueurs à et b (ou des deux diamètres) et de la hauteur À;

Mesure de la période de rotation {;

Mesure de la période d’oscillation T ;

Mesure du moment d'inertie I ;

Mesure de la distance D de l’échelle divisée au miroir ;

Mesure de la déviation «.

Voyons comment l'appareil a été conçu pour réaliser le mieux possible les conditions que nous venons d'examiner,