t sin<pO

O^ sin ^/lO'

mais, en remarquant que Ton a

yO/î = (y et î>/lO = /lO^;; = NOv — NOIN'=U — (^,

cette relation devient

•^ sin S

ou

f sin(U~(y)

-fi

(i) sin(y = ^sin(U --(?); •

et sous cette forme elle exprime les conditions d'équilibre de Taiguille aimantée dans le plan horizontal , constituant ainsi Y équation d'équilibre du compas.

Remarque,

3. Il sera souvent utile, dans les calculs d'approximation que nous aurons à effectuer, de pouvoir apprécier, au moyen de l'amplitude des déviations du compas, la valeur numérique approchée

du rapport - qui convient à l'équation (i). Pour cela, représentons

par A la déviation maxima«

Si le bâtiment ne renferme que du magnétisme permanent, la force déviatrice ^ restant constante à tous les caps, la déviation J

atteint son maximum, d'après l'équation (i), lorsque U — 5 = -• On a donc, dans ce cas, la relation

- = sm A,

qui permet d'exprimer exactement le rapport - au moyen de la

déviation maxima A.

Mais, lorsque le système déviateur est composé à la fois de magnétisme permanent et de magnétisme induit, la force déviatrice ^ varie avec le cap du bâtiment, et la fonction sin A ne représente alors qu'une valeur moyenne plus ou moins approchée, suivant le

cap, du rapport -> c'est-à-dire la valeur de ce rapport qui conviendrait à une force déviatrice fictive, d'intensité constante, produisant des déviations équiv.alentes en amplitude aux déviations réelles.

Sous cette réserve on pourra admettre encore la relation

- zzz sm A,

chaque fois qu'il suffira, pour calculer une valeur approchée d'une petite déviation J au moyen de l'équation (i), de substituer à ce rapport sa valeur numérique moyenne.

Expression générale de la déy^iation en fonction du cap

magnétique.

4. La déviation peut s'exprimer explicitement en fonction du cap magnétique Z. On sait, en effet, qu'à une époque et dans un lieu déterminés, la déviation d'un compas ne peut varier qu'en raison des changements d'orientation du bâtiment; î est donc une fonction du cap magnétique Z, choisi naturellement comme variable indépendante, puisqu'il mesure les déplacements arbitraires du navire par rapport à l'orientation fixe du méridien magnétique du lieu.

Or cette fonction conserve des valeurs finies, lorsqu'on fait varier Z de zéro à 2 7r, et elle reprend périodiquement les mêmes valeurs à chaque révolution du bâtiment ; elle peut donc se développer en série indéfinie de la forme

(2) ^=A4-B sinZ-hC cosZ-hD sin2Z-f-E cos2Z + . . . 4-H sin/iZ-hK cos/îZh-

. en vertu du théorème connu qui démontre qu'une fonction /i/zie? el périodique F(Z), dont la période est 27r, peut toujours se développer suivant une série dont le teVme général est de la forme H sin^îZ -hKcos/iZ.

Dans cette expression, où le nombre des termes est illimité, A, B, C, ... représentent des paramètres constants, c'est-à-dire indépendants des seuls éléments J et Z qui varient pendant l'évolution du bâtiment.

Or il est incontestable, d'après tous les faits connus jusqu'à pré-

' sent, que l'on peut toujours réduire cette série à ses cinq premiers

termes. Depuis une quinzaine d'années, en effet, on applique une

expression de cette forme, ainsi limitée, donnant la déviation en, fonction du cap, pour les compas étalons placés suivant les prescriptions réglementaires. Cette formule pratique, que M. A. Smith a déduite des relations analytiques de Poisson, entre les composantes rectangulaires des forces déviatrices développées par le magnétisme d'induction et l'orientation magnétique du bâtiment, a donné, sur tous les navires en fer ou blindés, des résultats suffisamment approchés pour qu'on puisse la considérer comme l'expression empirique de la loi des déviations apparentes.

Cet accord entre la formule de M. A. Smith et l'ensemble des faits observés pendant cette longue période d'essais indique évidemment d'une façon générale l'inutilité des termes en sin3Z, cos3Z et des suivants, dans la série illimitée (2), lorsque le compas est convenablement placé dans le navire.

On est donc en droit d'exprimer la déviation par la formule

(3) ^rrr A + BsinZ -f-CcosZ H-DsinaZ-f-EcosaZ,

que l'on peut, malgré le changement de variable, assimiler entièrement à celle de M. A. Smifh, pour la valeur et la signification de ses paramètres et l'approximation de ses résultats, lorsque les déviations sont petites, c'est-à-dire limitées à 12°, comme nous le supposerons dans tout le cours de cette analyse.