THÉORIE DES COMPAS CONJUGUÉS
5. Supposons que l'on fixe deux compas sur la même verticale, dans le plan longitudinal, à un intervalle de 2™ au moins l'un de l'autre, afin d'éviter leurs actions réciproques, et à des hauteurs assez considérables au-dessus du pont pour que leurs déviations ne dépassent pas sensiblement 12^ au compas inférieur et &^ au compas supérieur.
En distinguant par les indices i et 2 les éléments algébriques
de l'équation (i) appliquée à ces deux compas, on aura simultanément, pour une même orientation quelconque du bâtiment, les deux équations d'équilibre
( 4 ) sin (^1 = — sin ( ITi — c^i ) , compas inférieur,
( 5 ) sin ^2 = ~ sin ( Uj — ^2 ) , compas supérieur.
Admettons en outre :
1° Que les compas se trouvent tous deux au-dessus du plan horizontal tangent au sommet des porte-manteaux des embarcations, qui limite à sa partie supérieure l'ensemble des masses de fer de la coque ;
2^ Que ces compas ne subissent ni l'un ni l'autre l'action dévia- Irice d'aucun pôle magnétique situé au-dessus de ce plan.
Si l'on suppose ces conditions essentielles satisfaites, les déviations produites par l'attraction générale des masses de fer de la coque sur les deux compas, ne pouvant différer de l'un à l'autre qu'à raison de l'inten^alle qui les sépare et qui modifie leurs distances à chaque pôle dévîateur, on est naturellement conduit à supposer qu'elles doivent suivre des régimes connexes et rester liées, dans leurs variations simultanées avec l'orientation du navire, par certaines relations que nous nous proposons de mettre en lumière, pour en déduire une loi exprimant directement les déviations de chaque compas en fonction de la différence de leurs caps.
Or cette loi se révélant immédiatement, lorsqu'on suppose l'aimantation symétriquement distribuée dans le navire, par rapport au plan longitudinal, il est préférable, pour mieux fixer les idées, d'examiner ce cas en premier lieu.
Premier cas.
L'aimantation du navire est symétrique par rapport au plan *
longitudinal,
6. En distinguant par les indices i et 2 les paramètres de la formule (3) relatifs aux deux compas, on a simultanément, à un
cap magnétique quelconque Z, les expressions
«^1 rr= Al -h Bj sinZ -+- Cj cosZ -f- Di sin 2Z 4- Ej ces 2Z, compas inférieur, ^2 =: A2 -*- Bj sin Z -+- Cj cosZ -h Dj sin 2 Z -f- Ej cos 2 Z, compas supérieur,
d'où Ton tire
^j Aj -f- Bj sinZ -f- Cj cosZ -h Dj sin 2Z -f- Ej C0S2Z
e?i Al -f-BisinZ -hCiCOsZ-f-Dj sinïZ 4- E1COS2Z
Mais, si Ton suppose l'aimantation du bâtiment symétrique par rapport au plan longitudinal, la résultante des forces déviatrices qu'elle développe sur les pôles du compas reste nécessairement orientée dans ce plan de symétrie qui est alors le méridien déy^iateur commun des deux compas, quelles que soient leurs positions relatives sur la même verticale.
Dans ce cas les déviations 0| et ^2 sont assujetties évidemment à s'annuler ensemble, chaque fois que ce méridien déviateur commun coïncide avec le méridien magnétique, de sorte que le
rapport y ne peut prendre, à aucun cap, la forme symbolique —^
Oi o
et par conséquent devenir infini.
Ce rapport fini varie-t-il avec l'orientation magnétique du navire, ou bien au contraire conserve-t-il une grandeur constante à tous les caps?
Dans le premier cas, y pourrait s'exprimer par une fonction F(Z)
du cap magnétique Z du bâtiment; mais nous allons démontrer que cette hypothèse est inadmissible.
Le rapport y est coiistant.
Remarquons, en premier lieu, que cette fonction j- = F(Z)
serait nécessairement périodique et que sa période serait 2 7r, puisque ô'j et $2 reprennent ensemble les mêmes séries de valeurs, après chaque révolution complète du navire ; nous venons de démontrer, en outre, qu'elle conserverait des valeurs finies, quel que soit Z ; on peut donc poser
(7) — = /4-Ài sinZ4- V, cosZ -r- . . -h),iSin/îZ f-).';,cos«Z 4- . . ..
en vertu du théorème déjà mentionné dans le n" 4, et qui démontre qu'une fonction finie et périodique, dont la période est 2 7r, peut toujours se développer suivant une série dont le terme général est de la forme irt sin /i Z 4- /^ cos /iZ.
Dans cette expression, )., }.|, //,,..., 1„, /'„, ... représentent des paramètres indéterminés, mais qui sont assujettis évidemment, dans la question qui nous occupe, à satisfaire à Tidentilé de ces
deux expressions (6) et (7) du même rapport ~» c'est-à-dire à l'égalité
Aj 4- BssinZ -\- CjCosZ -4- D^sin^Z -«- E2COS9.Z [8) I Al 4- BisiuZ -H Cicosz. -t- Uisin^Z -i- E|C062Z
r=:^-4-^isinZ-4-À', cosZ-4-. . .-h>,4sin/îZ4-A'„coswZ-{- . . .,
pour toutes les valeurs de Z entre zéro et 27r.
Or cette identité (8) implique nécessairement que tous les paramètres de la fonction F(Z) soient nuls, à l'exception du premier X qui est indépendant de la variable Z.
En effet, en chassant le dénominateur du premier membre, en effectuant sa multiplication par le deuxième membre et en égalant les coefficients des sinus ep cosinus des mêmes multiples de Z dans les deux membres, on obtient les relations
(9) A8 = Ai>, B8 = B,>, C, = CiX, D, rzzDi^, E^ — E,X et
d'où il résulte que la fonction indéterminée F(Z) se réduit en réalité à son premier terme constant i, c'esl-à-dire que le rapport
y ne varie pas avec l'orientation magnétique du bâtiment.
On a donc, pour tous les caps, la relation générale
(10) -r^ = X = const.,
que l'on peut formuler ainsi ;
Le rapport des déviations correspondantes de deux compas fixés à V arrière du bâtiment, dans le plan longitudinal et au-
dessus de la limite supérieure de l'ensemble des masses de fer de la coque, reste constant à tous les caps, dans un lieu et à une époque déterminés.
Formule fondamentale des compas conjugués.
7. Cette propriété remarquable du rapport y conduit directement à la formule pratique qui est la base de cette méthode. Remarquons, en effet, que de l'égalité (lo) on déduit
d'où
\ = --^ ((^1 ~ (?,) ou (^1 rr- --î-^ ((îi -. (J,).
Mais la différence î, — $2 des déviations correspondant au même cap magnétique Z est précisément égale à la différence Z2 — Zi des caps indiqués simultanément par les deux compas, à cause des relations générales (n"** 2)
Z = 3i -f- ^1 et Z = 3, -4- ^8 ; donc, en posant pour abréger
et .
(.2) ^'=rK.'
on aura
et
formules remarquables que l'on peut exprimer ainsi :
Les déviations correspondantes des deux compas conjugués sont
toujours proportionnelles à la différence de leurs caps, quelle que Soit l' orientation du bâtiment.
On voit, en définitive, qu'il est très-simple de démontrer d'une façon générale les lois fondamentales de la méthode pratique qui fait l'objet de ce Mémoire, lorsque l'aimantation du navire est symétrique par rapport au plan longitudinal.
Considérations sur la limite qu'il convient d'assigner, dans la pratique, à l'intervalle des deux compas.
8. Bien que la théorie n'assigne aucune limite à l'intervalle des deux compas, le choix de cet intervalle n'est point indifférent dans la pratique.
Remarquons d'abord que la position du compas inférieur est assujettie à satisfaire à certaines conditions théoriques essentielles précédemment définies ; elle doit être choisie dans le plan longitudinal, entièrement en dehors cjlu plan horizontal qui limite à sa partie supérieure l'ensemble des masses de fer de la coque, et à une hauteur suffisante au-dessus de ce plan pour que la déviation maxima du compas ne dépasse pas 12^ environ en grandeur absolue.
Le compas inférieur étant fixé définitivement dans cette position, il faut élever ensuite le compas supérieur sur la même verticale jusqu'au point où l'amplitude de ses déviations se trouve réduite aux — de l'amplitude des déviations du compas inférieur; et l'on obtient ainsi expérimentalement, comme nous allons le montrer, l'intervalle minimum qu'il «est indispensable d'établir entre les deux compas, pour que, dans la pratique, l'application delà méthode indiquée puisse conduire à des résultats suffisamment approchés.
Remarquons, en effet, que les déviations î| et d^^ calculées au moyen de? formules ( 1 3 )
et(i4)
sont nécessairement affectées d'une erreur égale au produit des
mi
coefficients K| et K2 par Terreur d'observation inévitable commise sur la différence des caps Z2 — ^1 ; or, dans les conditions où Ton
suppose placés les deux compas, le rapport ^^ = y étant toujours
moindre que i, c'est Ko qui est évidemment le plus petit des
deux coefficients K* =■ ;- et Ko ^= r» et par suite c'est la
formule (i4) qui doit donner dans Inapplication les résultats les
moins erronés. ^
Cette première raison conduit naturellement à choisir toujours
le compas supérieur comme régulateur des routes ; mais il faut en
outre que ce compas soit fixé assez haut, au-dessus du compas
inférieur, pour que Ton ait j =r. <^o,6; en effet, si la limite de
l'erreur de lecture commise sur la différence des caps Zo — ^o dans une bonne observation à la mer, est 1" en moyenne, il faut que l'on ait K2 = <^i,5 pour obtenir la déviation par la formule {i4)j à i^3o' près, au plus, c'est-à-dire dans les limites d'une approximation convenable. Or la relation conditionnelle K2 = <^ 1,5 peut s'écrire
et l'on déduit alors
ou
Second cas.
L'aimantation du bâtiment n'est pas symétrique par rapport au
plan longitudinal.
9. Les démonstrations précédentes ne s'appliquent pas au cas général où les pôles déviateurs sont distribués irrégulièrement dans le navire, car elles sont fondées exclusivement sur le caractère
analytique du rapport j^> qui ne jouit de la propriété dîstinctlve
de varier entre des limites Jinies, quelles que soient Torî en talion du bâtiment et la distance des deux compas sur leur verticale, que si Taimantation locale est symétrique par rapport au plan longitudinal.
Dans le cas où nous nous plaçons actuellement, l'orientation du méridien déviateur dépend essentiellement de la grandeur et de la direction de chaque force déviatrice élémentaire, et, pour une même élévation verticale du compas, ces éléments varient dans des proportions différentes selon Torientation et la distance au compas de chaque pôle déviateur.
Alors un exhaussement vertical quelconque du compas supérieur, au-dessus de la position fixe du compas inférieur, a pour effet d'écarter graduellement son méridien déviateur de sa direction initiale, en le rapprochant d'une position limite dont l'orientation est intimement liée à l'état magnétique général du bâtiment. Le méridien déviateur du compas supérieur se trouve donc en dehors du méridien magnétique chaque fois que le méridien déviateur du compas inférieur coïncide avec ce plan; par suite, $2 ne peut s'annuler en même temps que J|, et chaque fois que î| s'an-
nule, le rapport y prenant la forme symbolique —devient infini;
d'où résulte théoriquement l'impossibilité d'appliquer, dans ce cas, la loi de proportionnalité des déviations. Mais, dans la pratique, les déviations que l'on observe ne sont point les déviations réelles, ce sont des déviations apparentes, affectées d'une erreur de lecture qui, à la mer, atteint souvent i°3o'. Cette erreur, inhérente aux imperfections de l'instrument et aux difficultés de l'observation, représente donc la limite supérieure des déviations réelles que l'on est autorisé à regarder comme nulles, dans la pratique, parce qu'elles sont inappréciables à l'observation, de sorte que, si l'on diminue assez l'intervalle des deux, compas pour que la déviation réelle du compas supérieur ne dépasse pas i®3o', chaque fois que 5i s'annule, il sera permis de considérer les déviations ^2 et î, des deux compas comme s'annulant toujours ensemble et, par
suite, leur rapport ~ comme gardant une grandeur ^/i/e à tous les caps.
En d'autres termes, la loi de proportionnalité des déviations,
- ik -
inapplicable au point de vue théorique, pourra être admise encore dans ce cas, avec une approximation sufBsante, si Tintervalle des deux compas reste inférieur à une limite particulière que nous allons maintenant déterminer.
Lorsque l'angle des méridiens déviateurs des deux cdtiipas ne dépasse pas i5", la loi de proportionnalité des déviations est applicable dans la pratique,
10. Représentons, en général, par l'angle des deux méridiens déviateurs, c'est-à-dire la différence algébrique Uo — Ui des distances angulaires de ces plans au méridien magnétique. L'équation d'équilibre du compas supérieur
sin^2 = ^sin(U, — (^î)
devient, en posant U2=U| -1-0 et en développant le second membre,
(i5) siri^, = ^sin(U,— ^,)-^~lsinÔcos(U|— ^2)~(i-f"osô)sin(Ui-<y,)].
Proposons-nous de déterminer une limite supérieure de l'erreur que l'on commettrait en déduisant la' déviation $2 de l'équation approchée
(16) sin^î = ^sin(Ui — (y,),
au lieu de la déduire de l'équation exacte (i5), c'est-à-dire en supposant que la parenthèse du second membre de l'équation (i5) soit nulle, ce qui revient à admettre que 9 = \Ji — Ui = o, ou que les méridiens déviateurs des deux compas coïncident. L'expression générale de cette erreur est
^i^[sin0cos(Ui-(?O-(i— cos6)sin(Ui~(yj)].
Or pour une valeur donnée de 6, entièrement arbitraire du reste, la parenthèse atteint son maximum lorsque l'angle indéterminé Ui — (^2? variable entre zéro et 2?:, satisfait à la relation conditionnelle
et ce maximum a pour expression le produit
2sm —ces 9, qui est nul pour = o et 6 = -> et maximum lui-même lorsque
e = 48»io'.
Donc, si rintei'valle des deux compas est limité de telle sorte que l'angle ne puisse dépasser i5° à aucun cap, on sera certain que la valeur numérique de Terreur en question sera toujours inférieure au produit
ou
2 — sinn^So'cosiS"
Pour exprimer ce produit numériquement, il suflit évidemment ^ en se reportant au n** 3, de poser
■^ = sm A,,
^2 étant la déviation maxima du compas supérieur.
Or nous avons supposé, en principe, que le compas supérieur devait toujours être assez élevé pour que la déviation A3 fût égale ou inférieure à 6"; donc
— =z << sin6° = < o, io4-
Ainsi l'hypothèse en vertu de laquelle on regarde comme coïncidents les méridiens déviateurs des deux compas, tant que l'angle qu'ils font entre eux reste inférieur, à i5®, ne peut faire commettre, sur la mesure de la déviation d^ du compas supérieur fournie par l'équation approchée
sin^2 = — sin(U| — f^jl»
qu'une erreur égale ou inférieure en valeur numérique au produit
sui
ou en degrés
Or, celte erreur étant de Tordre des erreurs inévitables de lecture qui affectent généralement les déviations observées à la mer, on peut conclure, en définitive, que pour Tobjet qu'on a en vue dans ce Mémoire :
1° L'angle = U2 — Ui peut être considéré comme nul, tant que l'intervalle des deux compas est assez petit pour que cet angle soit moindre que 1 5** ;
2« L'équation (10) représente dans ce cas, avec une approximation suffisante pour la pratique, le régime des déviations du compas supérieur.
Dans ces conditions, les équations d'équilibre (4)
exacte pour le compas inférieur, et (i())
sin^î = ^sin(U, — (^2),
approchée pour le compas supérieur, montrent que les déviations Ji et $2 des deux compas s'annulent chaque fois que Ui = ô, c'est-à-dire chaque fois que le méridien déviateur du compas inférieur coïncide avec le méridien magnétique, et l'on se trouve ainsi
ramené au cas où, le rapport j- restant //wi à tous les caps, la loi
de proportionnalité et l'expression de $2 qui s'en déduit sont rigoureusement applicables.
Il s'agit donc simplement, en définitive, de trouver quel doit être l'intervalle des deux compas, pour que la condition = < 1 5** soît satisfaite.
// suffit, pour que V angle 9 soit moindre que iS**, et par suite pour que la loi de proportionnalité des déviations soit applicable, de limiter V inters^alle des deux compas de manière à satisfaire à
la relation générale ~ = 0,6.
11. U| et o»2 représentant les distances an^ivlaires aa plan tudinal des méridiens dé^iateur^ des denx coi
d*oii
d^autre part, ces angles sont liés aux cc4npofantc'> nertir^-laires (') Xi et Yj, X* et Y* des foires dêvîatrices ^, <: i^^. y^:
les formules
laiig«, = — et taft:w=i^-
d'où Ton déduit
tafu:te« T. X.
iançi^ ~ Y; x/
ou, en posant pour abréger — ^ = /. et — ^ = a,
tan^i«i a
Actuellement, si Ton remplace 'j»2* dans cette é^*Âl>.'^ j^r U «»: algébrique ci>i + 9, on a, en dévelop[iant.
t« *ff ^
d'où Ton déduit
tanj: s», — tari^- 5
tangM, —
- taDji'w. Urc^
tangSz:
i-!--tan-«w,
Si Ton veut que l'angle 5 ne dépasse pa^ i j% et par -Mjile que sa tangente reste inférieure à 0.27, il faut donc que rjnler%al]e d«;s deux compas avec lequel varient les rapports
(') Ces composantes sont les composantes horizontales des forces dévia- Irices ^, et ^, par rapport à deux axes rectangulaires ayant pour origine le centre du compas et menés dans le plan longitudinal et perpendiculairement à ce plan.
FociAiEi.^ — Compas, a
soit limité de manière à satisfaire à la relation
il8 — ! r- =:<0,27.
