I -f- - tang* wj
On reconnaît aisément que, pour toutes les valeurs entre zéro et TT que Ton peut attribuer à Tangle inconnu Wi, le premier membre atteint sa valeur maxima
lorsque Ton a
tangwi = W^«
On est donc certain de satisfaire, a fortiori, à la condition exprimée par rinégalité (i8), en satisfaisant à la relation
OU
d'où Ton déduit enfin, par une équation du second degré, et
Or, pour satisfaire à cette relation (20), il faut nécessairement restreindre l'intervalle des deux compas de manière à maintenir, en grandeur, les rapports X et j!Jt au'dessous d'une certaine limite numérique que nous allons déterminer.
12. Remarquons d'abord que l'on manque absolument d'indications sur la grandeur et le sens des variations que peuvent subir les composantes X2 et Ya et l'orientation du méridien déviateur
du compas supérieur, lorsqu'on élève ce compas verticalement d'une quantité déterminée.
La seule donnée certaine que l'on ait à ce sujet est la diminution que subit toujours en grandeur la force dévialrice résultante 4'2) à chaque élévation verticale du compas supérieur, lorsque ce compas est en dehors et au-dessus des limites extérieures du système déviateur.
Le rapport j^ est donc moindre que i et diminue graduclle-
ri
ment de i à zéro, à mesure que l'on augmente l'intervalle des deux compas de zéro à -f-oo . Dans ces conditions, il est évident, à caus: de la relation
que Vune au moins des deux composantes rectangulaires X3 et Y3 doit diminuer en grandeur avec leur résultante (p2> J*-* sorlc que Ton peut poser
ÏÎ=X<. et |î=.»>-..
OU inversement
On voit ainsi que toutes les hypothèses que Ton peut imaginer sur la grandeur numérique des rapports X et fx se réduisent nécessairement à ces quatre alternatives que nous allons analyser successivement.
Premier cas.
X < I et /A < I .
Convenons de représenter en général par e^ et m^ deux quantités indéterminées moindres que i et essentiellement positives. On peut donc poser dans ce cas, où X est <[ i et (* <[ i ,
>.:::= I — £* et ft "- .: I — ïj* ;
alors la relation conditionnelle (20) devient
(21) 1 l.^<;o,7o si ï;*>jS
ou
(22) '-=z<^o,no si iî'<;j'.
Dans le premier cas, c'est-à-dire si r,^ ^ s^, il est évident que Yj^ — €^ <^Yi^y de sorte que Ton satisfera a fortiori à la relation (21) en posant
d'où l'on déduit
>3« r= < 0,4 à < rfô près.
Dans le deuxième cas, c'est-à-dire si rt^ <C ^^> ^1 ^st évident que fi^ — Yi^ < 2^ et que i — Yt^y> i — î^ ; on satisfera donc a fortiori à la relation ( 22 ) en posant
d'où l'on déduit
e« = < 0,4 à < ji-j près.
Deuxième cas.
X < I et fA > 1 .
On peut poser alors X= i — s^ et /ix = i -f- yj^, et la relation conditionnelle (20) devient
Si Ti^ > £^, 11 est évident que Yi^-h e^ <^ 2Yi^; on satisfera donc, a fortiori, à la relation (23) en posant
d'où l'on déduit
£*=:=:<; 0,5 à << j-J-j près.
Si au contraire rr < «*• od a évidemment de sorte que Ton satisfera, a fortiori, à !a r*îlai:tia i' *a y.-saac
îi*
d'où Ton déduit
= <^o,5 A '-'-ÎT^r^
a -' I et i ' r
On peut poser alors p= i — »2 rt i = i — i-, *• ^ •- ^^ ,:t
conditionnelle {20) de^-ient
(-4) îl^ = <o.:o.
d'où l'on déduit, comme dans le pr^rml^r r;,». wî'wi /j«<'' /,' ^ - e*
ou Tî» <; £2^
Quatritae cas.
f* < I et / . I >
On peut poser alors |x = 1 — -/j* et ). rri 1 4- e*, <'t la n'Iulioii conditionnelle (20) devient
Si e* <r<2, on a évidemment e* -H- r,' < ay,*, de sorte qu'on satîsfait, a fortiori, à cette relation (24) en posant
-yr;-
d'où Ton déduit
>;' = < 0,3 î\ < 7TT près.
Si, au contraire, e-^yj^, on a évidemment t^ -hm^ <^2î^ et I — »^ > I — 6^, de sorte qu'on satisfait, a fortiori, aux relations (24) et (a4 his) en posant
d'où
s' — <o,3 à < 7^7 près.
£n rapprochant les résultats de celte analyse qui assigne, pour tous les cas, une limite supérieure conditionnelle à la plus grande des deux fractions indéterminées t^ et ri^, on arrive à cette conclusion :
L'angle 6 ne pourra dépasser id**, et par suite la loi de proportionnalité des déviations sera pratiquement applicable, chaque fois que l'intervalle des deux compas sera limité de manière à rendre le plus petit des deux rapports i et jx supérieur ou égal en grandeur numérique à l'un des nombres
ou
ou
ou enfin, plus simplement, à leur valeur moyenne 0,6.
13. D'autre part, on a déjà vu que si cette condition est satisfaite, c'est-à-dire si l'on a <^ id", on peut,' pour l'objet qu'on a en vue, considérer cet angle 9 comme nul et par suite poser {Ù2=-(*>\ ou tangc«)2 = tangWi, ou enfin X = j!jl, à cause de la relation (17).
En se reportant à la conclusion précédente, on voit que la relation conditionnelle 0<^i5° sera satisfaite, chaque fois que l'on établira entre les deux compas un intervalle tel qu'on ait
/ = a nz 0,6;
mais, dans ces conditions, l'expression
de la résultante horizontale des forces déviatrices du compas supé rieur, que Ton peut mettre sous la forme
devient; en faisant >. = a = 0,6,
^, = o,6(YÎ4-XÎ)ï ou ^,=zofi^,.
Or les forces i|/| et ipa échappent à toute mesure directe de nature à indiquer à Tobservateur pour quelles positions relatives des compas la l'elation
Yi
est satisfaite. Il est donc indispensable de substituer à cette égalité conditionnelle une autre égalité équivalente entre des éléments d'observation fournis immédiatement par les indications des compas.
En outre, il est essentiel de vérifier si, dans le cas où l'égalité ~î = 0,6 est satisfaite, le rapport -— des déviations correspon-
dantes des deux compas est assez petit pour que le coefficient K2 de la formule
ne dépasse point i,5, limite imposée, comme nous Pavons expliqué dans le n° 8, par le degré d'approximation nécessaire à la détermination de la déviation ^2, au moyen de cette formule.
Ces considérations nous conduisent naturellement à chercher une relation générale entre les valeurs correspondantes des rap-
ports ^ et ■-•
14. Pour atteindre ce but, remarquons que l'équation d'équilibre du compas supérieur (16)
sin^, = "^sin(U, — ^2)
fc . ■ *" •- .'
peut s'écrire
l sin(Î2 — *^sin(U, — (^i)
et proposons-nous de déterminer une limite supérieure de Terreur l'y que on commet en supposant nulle la parenthèse du second membre, c'est-à-dire en réduisant cette équation (^S) à son premier terme
(26) • sin^y^^r^siafUi — «y,).
En suivant exactement la méthode exposée dans le n** 10, pour la détermination d'une limite supérieure de l'angle ô, on trouve que, pour toutes les valeurs possibles de l'angle inconnu et arbitraire U| — ât variable de zéro à stt, l'erreur i est limitée par la relation
/ sin i« < 2-1^ sin ( -i ? ) cos((?, — e?,)
ou
I sini"<^ 2 sinAj sin | -^ j cos(^i — (^îl,
en substituant au rapport — sa valeur numérique moyenne sin A29
selon la remarque du n° 3.
Mais, dans les conditions où l'on suppose établis les deux compas, la loi de proportionnalité de leurs déviations correspondantes est satisfaite; le maximum de la distance angulaire J| — ^2 des deux aiguilles est donc précisément égal à la différence arithmétique A| — A2 de leurs déviations maxima correspondantes. De plus, on a évidemment la relation
sm (
j ces ( (^t — (?j X sin ^ -i-- ?j cos(Ai — A,);
car le produit du premier membre, croissant depuis zéro, avec l'angle 5| - — $2, ne devient maximum, qu'au moment où
limite que cet angle ne peut évidemment atteindre dans la pratique, puisque Ton a admis en principe que les relations conditionnelles î| = <^ 12** et ^2 = <C6° étaient satisfaites. On peut donc poser a fortiori
I sin I* <^ 2 sin A, sin ( — ? j cos (A, — A, )
ou
I sin I* <^ sin 1 2" sin 3°,
puisque A| = <[ 12** et A2 = <[ 6®, ou enfin
La petitesse de cette limite, amplifiée cependant par les déductions a fortiori dont on Ta tirée, montre que Terreur i est d'un ordre négligeable, surtout en raison du peu de précision que comporte le résultat que nous poursuivons actuellement, de sorte que Ton peut, sans erreur sensible, substituer à l'équation d'équilibre (16) du compas supérieur l'équation presque identique (26)
sin.^, — ^sLnfUi — (?,).
En divisant membre à membre cette équation par l'équation d'équilibre exacte du compas inférieur (4)
on trouve alors l'égalité
ou simplement
sin (^2 î>in<^i
et comme, du reste, dans le cas que nous supposons^ ^ = 0,6, on arrive en définitive à la relation
et par suite à Texpression numérique
résultats numériques qui établissent enfin, de la façon la plus générale, la loi et les formules fondamentales qu'il s'agissait de démontrer et que l'on peut énoncer dans les termes suivants.
