I. — PRINCIPES DE NOMOGRAPHIE

Définitions et résumé des principes relatifs aux représentations nomographiques fondées sur Ventre-croisement.

1. — En vue d’une plus grande commodité nous allons d’abord rappeler quelques définitions et conventions usitées dans nos précédentes publications2.

Les variables entrant dans les équations sont représentées par la lettre z avec des indices correspondants, et toute fonction d’un certain nombre de ces variables par une seule lettre affectée des indices de toutes ces variables. Ainsi fx représentera une fonction de la seule variable zi , /j2 une fonction de zt et et si, par exemple, il est dit que l’équation F1234 = 0 peut prendre la forme Gi2 — H34, cela signifiera que cette équation entre quatre variables est telle que deux des variables peuvent être groupées dans un des membres, les deux autres dans l’autre.

Au point de vue de la représentation nomographique, toute quantité variable entrant dans une équation est regardée comme un paramètre au moyen duquel est défini un certain système oo1 (c’est-à-dire simplement infini) d’élé-

1 Au cours du Colloquium tenu à l’occasion du tricentenaire de l’invention des logarithmes.

* Les plus importantes d’entre elles sont : Traité de Nornographie (Paris, Gauthier-Villars, 1899) et Calcul graphique et homographie (Paris, Doin, 1908, 2® édit., 1914), qui seront respectivement désignées par la suite au moyen des abréviations T. N. et C. G. N. Dans le cas de ce dernier ouvrage, les références sont faites à la seconde édition.

L’Enseignement mathém., 18e année; 1916. 1

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ments géométriques, points ou lignes, pris sur un plan. Nous supposons d’ailleurs qu’à chaque valeur du paramètre z. correspond dans le système (zt) un élément déterminé et que, pour définir graphiquement un tel système, nous avons tracé sur le plan un nombre fini des éléments en question en inscrivant à côté de chacun d’eux, en manière de graduation, la valeur correspondante du paramètre z.1. En général, les valeurs de z. choisies sont rondes et forment une progression arithmétique.

Une telle représentation graphique discontinue peut suffire à rendre sensible, à un certain degré d’approximation, la variation continue du paramètre correspondant de la même façon que les courbes de niveau d’une carte suffisent à définir l’étendue continue de la surface du sol. Dans la plupart des cas, la suite continue des éléments géométriques intermédiaires entre ceux qui sont effectivement marqués peut être définie graphiquement, s’il s’agit de points, par leur lieu géométrique, s’il l’agit de droites, par leur enveloppe.

Avec une précision qui dépend de la plus ou moins grande habitude qu’il en a, le calculateur peut se figurer mentalement, entre les éléments effectivement cotés, ceux qui correspondent aux valeurs intermédiaires du paramètre; cette opération est ce qu’on appelle une interpolation à vue.

Dans la majorité des cas de la pratique, les valeurs des variables qu’il y a lieu de considérer constituent elles-mêmes des suites discontinues dont les intervalles sont fixés par la nature du problème, et, en de tels cas, s’il n’est pas possible de tracer tous les éléments correspondants, l’interpolation à vue n’a à intervenir que pour un très petit nombre de valeurs dans chaque intervalle.

Notons enfin que l’interpolation à vue s’exerce avec une facilité et une précision incomparablement plus grandes dans le cas d’un système de points distribués sur une ligne que dans celui d’un système de courbes de nature géométrique plus ou moins simple, et même dans celui d’un sys-

1 En pratique, on peut se dispenser d’inscrire les cotes de tous ces éléments. On peut se contenter de le faire pour celles qui limitent certains intervalles, comme de 5 en 5, ou de 10 en 10, ainsi que cela se pratique sur les graduations des instruments de mesure.

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tème de droites. L’importance de cette observation apparaîtra par la suite.

2. — Si l’on associe arbitrairement à chacune des variables zx , za 9 ... , zn , qui entrent dans une équation donnée F 12 ... a — — 0, un système d’éléments géométriques, tel que ceux qui viennent d’être définis, il est clair que l’équation donnée établira une certaine relation de position entre ceux de ces éléments qui correspondent à un groupe de valeurs zx, z2, ... , zn satisfaisant à l’équation. Si cette relation prend une forme géométrique telle que la connaissance des éléments correspondant à n — 1 des variables entraîne immédiatement celle de l’élément correspondant à la 72ième, nous avons alors, en fait, une représentation nomo graphique de l’équation donnée. Lorsque les valeurs de n — 1 des variables sont données, une telle représentation permettra de connaître celle de la nième par une simple lecture, au besoin complétée par une interpolation à vue.

Le tableau graphique formé par les n systèmes d’éléments cotés (sq), (za), ... (z„), lorsqu’on sait quelle est la relation qui existe entre les éléments dont les cotes satisfont à l’équation donnée, constitue un nomogramme de cette équation.

Le premier objet de la Nomographie est de découvrir des catégories, aussi vastes que possible, d’équations pouvant être représentées par des nomogrammes d’une extrême simplicité en raison, à la fois, de la nature des éléments géométriques y intervenant et de la relation de position à constater entre ces éléments.

Les éléments géométriques les plus simples sont les points, et la relation de position la plus simple entre des points consiste en leur alignement : Donc, a priori, le type le plus simple de nomogramme pour trois variables sera fondé sur l’alignement de trois points appartenant chacun à une échelle graduée, ces échelles pouvant être d’ailleurs rectilignes ou curvilignes. Il apparaîtra par la suite que cette forme la plus simple de la représentation nomographique trouve en pratique un champ d’application extraordinairement vaste.

Mais avant d’aller plus loin, il convient d’examiner de plus près la nature des relations de position possibles dont l’im-

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médiate constatation peut intervenir dans l’usage des nomogrammes.

Il suffit d’un peu de réflexion pour se convaincre que de telles relations de position peuvent seulement consister dans l’existence de contacts entre certains éléments géométriques, la notion de contact étant prise ici dans un sens très général

comprenant, par exemple, le fait pour un point de se trouver sur une certaine ligne.

3. — Dans le cas d’une équation à trois variables, l’idée qui se présente tout d’abord consiste à associer à chacune de ces variables un système de courbes, de telle sorte que les trois courbes qui correspondent à des valeurs de zt , z2, z3 satisfaisant simultanément à l’équation donnée F123 = 0 passent par un même point. On a ainsi un exemple de nomogramme à entre-croisement (fig. 1). Dans ce cas on peut choisir arbitrairement deux des systèmes cotés, sous la réserve toutefois que le troisième, qui s’en déduit, soit aussi réel. Si, d’ailleurs, nous nous donnons les équations cartésiennes des deux premiers systèmes

J. zx) = 0 • * 2) = 0 >

nous n’avons qu’à éliminer zx et £ 2 entre ces équations et l’équation donnée pour obtenir l’équation du troisième système

D’après ce mode de formation, l’élimination de x et y entre les trois dernières doit reproduire l’équation donnée. Ainsi, les courbes représentées par les trois dernières équations passent par un même point lorsque les valeurs correspon-

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clantes de zi , z8, z3 satisfont simultanément à V équation donnée.

A première vue, il semble que le plus simple soit de prendre

x — * y — zi »

dans tous les cas. Cela donne immédiatement pour le troisième système l’équation

délinissant les projections sur le plan des xy des lignes de niveau de la surface représentée par la dernière équation lorsqu’on y regarde les trois variables comme des coordonnées cartésiennes1. Mais, pour la construction pratique des nomogrammes, on doit s’attacher spécialement à n’avoir affaire qu’à des courbes d'un tracé facile, et même seulement à des droites et des cercles, lorsque la chose est possible. Or, il est évident qu’un choix judicieux peut, en certains cas, conduire à des équations <^l = 0, <p2 == 0, <p3 — 0 ne représentant que des droites ou des cercles, alors que l’équation F(x, y. z3) — 0 représenterait des courbes plus compliquées qu’il ne serait possible de construire que point par point.

Le type le plus général d’équation représentable par trois systèmes de droites est évidemment de la forme2 3

fi g i h

fi 02 ^2

pour lequel on prend comme équations des svstèmes (2,), xf\ + joi ■+• K — ^ >

xti + ygz + — 0 •

1 L’apparence de damier (en grec a(ja£) du réseau des lignes x = zt, y — a donné naissance au terme d’abaque qui a été étendu depuis lors (T. N.) à toute espèce de représentation nomographique. Il semble préférable, dans le cas général, d’employer le terme

de no/nograrnme (C. G. N., p. 181).

3 Au sujet du type le plus général d équation représentable par trois systèmes de cercles, voir : T. N., p. 113 et C. G. N., p. 193.

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La formation de ces équations porte le nom de disjonction des variables, et ces équations elles-mêmes sont appelées les équations de disjonction.

Il est digne de remarque que la grande majorité des équations rencontrées dans la pratique rentre dans le type précédent, et même, en général, dans le type plus particulier donné par

ou, sous forme de déterminant

l 0 -fx

Un très grand nombre sont réductibles à la forme simple

fl + fi + /3 = 0 »

plus

notamment celles du type

qui peuvent s’écrire

togft + log©2 -f logcp3 = 0 .

Cette dernière transformation, envisagée pour la première fois par Lalanne en 1842, a reçu de lui le nom à' anamorphose logarithmique1.

Historiquement, elle offre le très haut intérêt d’avoir fourni le premier exemple d’une ’ représentation nomographique distincte de la pure représentation cartésienne définie par

4. — La question qui s’offre maintenant est de discerner s’il est possible d’obtenir la représentation d’équations à plus de trois variables au moyen du simple entre-croisement de courbes fixes tracées sur un plan. La réponse est qu’une telle représentation est inapplicable à une équation à plus de trois variables à moins qu’il ne soit possible, grâce à l’introduction de variables auxiliaires, de remplacer cette équation par une suite d’équations ne contenant pas chacune

1 T. N., p. 61 et C. G. N., p. 189.

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plus de trois variables. La représentation revient alors en réalité à un enchaînement de nomogrammes à entre-croisement L

Sans pénétrer dans le détail du sujet, nous pouvons rendre ces idées plus claires en examinant les cas les plus simples : ceux de quatre, cinq et six variables.

Supposons qu’une

équation à quatre variables

Ci)

puisse être regardée comme le résultat de l’élimination de la variable auxiliaire t entre les deux équations

ce qui revient à dire qu’elle peut revêtir la forme <p12 = <J>34, comme on le voit en égalant les valeurs de t tirées des deux dernières équations.

Nous pouvons représenter chacune de ces équations par un nomogramme à entre-croisement et, puisque (n° 3) nous avons le libre choix de deux des systèmes cotés qui entrent dans chacun de ces nomogrammes, nous pouvons faire en sorte que le système {t) soit le même sur chacun d’eux et tracer les deux nomogrammes sur une même figure. Le système (t)

1 Voir C. G. N., p. 206, ou le travail de l’auteur intitulé Exposé synthétique des principes fondamentaux de la Nomographie { Journal de l’Ecole Polytechnique, 2« série, 8® cahier, 1903, p. 97 et 119), et encore une note qu’il a publiée dans les Comptes Rendus de l’Académie des Sciences (T. 148, 1909, p. 1244).

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commun dont il n’est pas besoin d’inscrire les cotes constitue une sorte de pont pour le passage d’un nomogramme à l’autre.

Par exemple, dans le cas de la fig. 2, supposons que l’on donne zt =2, z2 = 3, z3 = 1 et que l’on cherche zA. Si l’on suit la courbe (/) qui passe par le point de rencontre des courbes zt = 2, z2 = 3, jusqu’en son point d’intersection avec la courbe z3 = 1, on voit que la courbe (z4) passant par ce point a pour cote le nombre 3. La valeur cherchée est dès lors z4 = 3.

ft)

Il est évident de même que la fig. 3 montre une représentation de l’équation

s’il est possible de la regarder comme le résultat de l’élimination de t et t' entre les équations

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et aussi que la fig. 4 montre une représentation de l’équation

si celle-ci peut être regardée comme le résultat de l’élimination de t, t' et t" entre les équations

fiz Ui > h > t) = 0 -

Ke ih » *6 > ï') = 0 >

<p(Z , tf , Z") = 0 .

La généralisation est évidente et peut s’énoncer comme suit : les seules équations à plus de trois variables susceptibles

d'être représentées au moyen de nomogr arrimes à entre-croisements fixes sont celles qui peuvent être déduites d'une équa-

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tion à trois variables par une série de substitutions remplaçant une variable par une fonction de deux autres variables.

Des équations de ce type se rencontrent fréquemment en pratique, mais il s’en trouve aussi d’autres. Il apparaît donc qu’en vue d’obtenir des modes plus généraux de représentation nomographique on devra nécessairement recourir à des éléments mobiles les uns par rapport aux autres1.

Le déplacement d’un plan mobile sur un plan fixe comportant trois degrés de liberté, on reconnaît immédiatement la possibilité de créer des systèmes oo1, oo2, go3 par le déplacement d’un seul élément mobile, et des systèmes oo2, oo3, oo4 par le déplacement d’un système oo1 mobile. Nous n’insisterons pas ici sur ce point que nous avons développé ailleurs 2 et nous bornerons à faire remarquer que, par les simples déplacements d’une droite on peut engendrer les systèmes a>2 de droites les plus généraux.

Un tel système est, en fait, défini par une équation de la forme

xfn + yë 12 + Kz = 0 •

Si, dans cette équation, on fixe l’un des paramètres, soit zt, et que l’on fasse varier l’autre z2, toutes les positions correspondantes de la droite sont tangentes à une courbe dont l’équation s’obtient par l’élimination de z 9 entre l’équation ci-dessus et sa dérivée prise par rapport à za. Les courbes ainsi obtenues pour diverses valeurs de zt peuvent être cotées au moyen de ces valeurs. De même pour zs. Ce double système des enveloppes (zt) et (zt) suffît à déterminer toutes

1 Uue remarque est ici nécessaire. En vue d’une plus grande commodité, on peut rendre mobiles certains éléments d’un nomogramme à entre-croisement sans qu’il en résulte un plus haut degré de généralité nomographique. Si, par exemple, toutes les courbes d’un système oo1 intervenant sur un nomogramme sont géométriquement identiques, ce système peut être engendré au moyen des déplacements d’une seule courbe tracée, au besoin, sur un transparent, et qui, en variant de position, peut venir successivement coïncider avec toutes les courbes du système en question. Tel est notamment le cas pour les systèmes de droites parallèles se rencontrant dans les abaques hexagonaux de M. Lallemand (T. N., p. 70 et C. G. N., p. 216). Pour que l’introduction d’éléments mobiles puisse conférer effectivement à un nomogramme un plus haut degré de généralité, il est nécessaire que le système ainsi engendré soit géométriquement de la classe <xa ou oo3.

2 Sur la théorie générale des nomogrammes à éléments mobiles, voir T. N., p. 390 et C. G. N., p. 368. L’auteur a pu établir en ces endroits une classification rationnelle des différents

types de nomogramme, morphologiquement distincts, qui peuvent être regardés comme

canoniques.

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les positions de la droite correspondant aux divers couples de valeurs de zx et 32, la droite (zx , z2) étant une tangente commune aux courbes portant les cotes correspondantes dans les systèmes {zx) et (z2). Le cas le plus simple est celui où les enveloppes (zx) et (s2) se réduisent à des points.

Nous allons retrouver ces systèmes de droites par une autre voie.

Représentations nomo graphiques fondées sur V alignement .

5. — Nous avons vu que la grande majorité des équations qui se rencontrent dans les problèmes de la pratique rentrent dans le type (1) du n° 3 et même, en général, dans le type (2). Cela suggère immédiatement la possibilité de recourir à de simples points cotés pour la représentation de ces équations. En plus de la grande simplicité de sa construction, un tel système a l’avantage de se prêter à une lecture plus précise lorsqu’il est nécessaire de recourir à une interpolation à vue, ainsi que la remarque en a été faite à la fin du n° 1.

Nous pouvons, en effet, appliquer le principe de dualité et obtenir des nomogrammes dont les éléments sont des points tels que les cotes de trois d’entre eux situés sur une même droite1 satisfassent simultanément à l’équation donnée, au lieu des nomogrammes dont les éléments sont des droites telles que les cotes de trois d’entre elles passant par un même point satisfassent à cette équation.

Cette application du principe de dualité peut revêtir une forme plus précise. Il suffit de regarder les coordonnées qui figurent dans les équations des systèmes de droites du nomogramme primitif comme des coordonnées tangentielles et, plus particulièrement, comme des coordonnées parallèles 2 ainsi définies :

1 En pratique les alignements peuvent être pris soit au moyen d'un trait rectiligne tracé sur un transparent ou — ce qui est peut-être plus commode — au moyen d’un fil fin tendu.

* Une étude systématique de ce système spécial de coordonnées se trouve dans un mémoire publié en 1884 par l’auteur dans les Nouvelles Annales de Mathématiques et tiré ensuite à part en une brochure intitulée Coordonnées parallèles et axiales (Paris, Gauthier-Villars, 1885). Cette recherche avait été entreprise en vue de l’usage qui pouvait être fait de ces coordonnées dans la construction des nouveaux nomogrammes dont le principe avait été indiqué pour la première fois par l’auteur dans un mémoire intitulé Procédé nouveau de calcul graphique publié en 1884 dans les Annales des Ponts et Chaussées.