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UNIVERSITY ÛF ILLINOIS AT URBANA-CHAMPAIGN

M. D’OC AG NE

Si Au et Bv (fig. 5) sont deux axes parallèles , pourvus de sens' positif et négatif , les segments AM = u et BN — v, pris avec leur signe , sont les coordonnées de la droite MN.

Avec ces coordonnées ta ngenti elles* comme avec les coordonnées plückériennes, le point est représenté par une équation du premier degré.

Au point de vue graphique ces nouvelles coordonnées offrent l’avantage de représenter directement des longueurs de segments de droite, au lieu des inverses de tels segments.

La relation entre les coordonnées parallèles et les coordonnées cartésiennes est renfermée dans les formules suivantes qu’il est bien facile de démontrer. Prenant comme origine des coordonnées cartésiennes le milieu O du segment AB de la droite joignant les origines des axes parallèles Au et Be, puis comme axe Ox la droite AB, avec sens positif de O vers B, et comme axe O y la parallèle à Au et Bv avec le même sens positif que ces axes, on trouve que le point dont l’équation, en coordonnées parallèles, est

au bv . -f- c — 0 ,

a pour coordonnées cartésiennes

$ étant la longueur du segment OB.

Si donc l’équation = 0 peut être mise sous la forme1

fi §\ K U 82 K fz 83 ^3

1 Le théorème permettant de reconnaître a priori si une équation donnée peut prendre

NOMOGRAPHIE

on peut la représenter au moyen de l’alignement des points pris dans les trois systèmes que définissent les équations

Ces points peuvent être construits directement d’après leurs équations* 1 ou au moyen de leurs coordonnées cartésiennes données par les formules (4). Le type de nomogramme à alignement ainsi obtenu est celui que représente la fig. 6.

En pratique, le cas de beaucoup le plus fréquent est celui d’une équation rentrant dans le type (2) ci-dessus, c’est-àdire

f\oz + AK + A — 0 ’ (2)

pour lequel on prend

équations qui définissent deux échelles rectilignes portées respectivement sur A u et Bc.

6. — Pour les équations à trois variables, les nomogrammes à alignement ont un avantage marqué sous le rapport tant de la facilité de la construction que de la précision de la lecture; mais leur supériorité s’affirme surtout avec évidence lorsqu’on les applique à des équations à plus de trois va-

cette forme a été découvert par M. Gronwall ( Journal de Mathématiques pures et appliquées, 6e série, T. 8, 1912, p. 59). La solution de cette t|tyi£ition d’analyse est d’un grand intérêt théorique mais généralement non nécessaire en pratique. Les équations qui sont susceptibles de cette transformation se présentent le plus souvent sous des formes déjà particularisées pour lesquelles le problème peut être résolu algébriquement. Voir T. N., p. 436 et C. G. N., pp. 230 et 255.

1 Pour la construction de tels systèmes de points dans le cas où leur équation est algé¬

brique par rapport au paramétre correspondant, voir T. N., p. 141 et C. G. N., p. 234.

M. D’ O C AG NE

riables non susceptibles d’être représentées au moyen de nomogrammes à entre-croisement.

Supposons que, dans le cas du type (1) ci-dessus, on remplace les fonctions d’une seule variable par des fonctions de deux variables, en écrivant

Si nous opérons la disjonction en coordonnées cartésiennes, sous la forme

xfn + J8 U + Ki — 0 > xfîï> + y g* 5 4- K = 0 -

Xf 36 + J 036 + ^36 = 0 »

nous définissons ainsi trois systèmes oo2 de droites. Ces systèmes ne peuvent pas être tracés de façon permanente sur la figure, mais, ainsi que nous l’avons remarqué à la fin du n° 4, chacun d’eux peut être engendré au moyen d’une droite mobile grâce aux doubles enveloppes qui lui correspondent. La relation de position par laquelle l’équation donnée se trouve résolue réside dans le concours des trois droites tangentes respectivement aux courbes (z^ et (z4),. (z3) et (zs), (z8) et (ze). Le mode opératoire qui en résulte n’est guère commode et peu approprié aux besoins de la pratique.

Ayons maintenant recours aux équations de disjonction en coordonnées parallèles, savoir

f “fl 4 + Vgu + A14 = 0 ,

< “Us + *8» + K = 0 - (6)

Chacune d’elles définit un système oo2 de points; mais, à

l’encontre d’un système de oo2 de droites, un tel système peut être marqué de façon permanente sur la figure sous forme d’un réseau composé de deux familles de lignes (systèmes oo1).