NO MO GRAPHIE

deux nomogrammes où cette variable auxiliaire figure en commun. La courbe servant de support à une telle échelle n’a d’ailleurs pas besoin d’être munie de graduation. Prenons, par exemple, deux nomogrammes partiels, l’un en zi et l’autre en z3 et z4 , reliés par une échelle auxiliaire t (fig. 8). Les deux alignements à prendre doivent couper

l’échelle ( t ) au même point. En d’autres termes, si l’on suppose que le premier alignement coupe l’échelle (t) au point P, on devra faire tourner la droite servant à prendre l’alignement autour de ce point pour obtenir le second alignement. Pour cette raison le point P est dit le pivot de la lecture considérée et le lieu de ce point, c’est-à-dire le support de l’échelle (/), la Ligne des pivots ou la charnière 1. Un exemple d’un tel nomogramme se rencontrera dans la seconde conférence (n° 4).

Enfin, dans certains cas, on peut relier un nomogramme à entre-croisement à un nomogramme à alignement. Supposons, par exemple, que l’équation définissant le réseau (z3, z4) qui, combiné avec les échelles [z^ et (z2), constitue le nomogramme à alignement d’une certaine équation à quatre variables, soit de la forme

1 Au sujet des nomogrammes .à multiple alignement, voir T. N., p. 213 et C. G. N., p. 308.

M. D OCAGNE

Posant

nous voyons que les points (z3 , zA) se confondent avec ceux de l’échelle simple dont l’équation est

ou, en coordonnées cartésiennes.

‘ f(t\ + ér(0

Or tout système de courbes d'équation

est tel que la courbe cotée (t) passe par le point de l’échelle ci-dessus de même cote t. Il suffit donc de représenter l’équation (10) par un nomogramme à entre-croisement sur lequel

HOMOGRAPHIE

le système (/) soit défini par l’équation (11) (qui peut, en particulier, se réduire à la forme x — $(/)== 0, ou y — yj (/).— 0) pour avoir une représentation de l’équation donnée au moyen de la combinaison du nomogramme à alignement («zq-, jz2, L) et du nomogramme à entre-croisement (z3, £4, £). Le passage de l’un à l’autre résulte de ce que le point (/) du premier doit se trouver sur le ligne (/) du second. La fîg. 9 indique la disposition d’un tel nomogramme.'

En multipliant les alignements successifs, en substituant des réseaux de points cotés aux échelles simples, en ayant recours à des courbes moins simples que la ligne droite pour établir la relation de position servant à guider la lecture sur le nomogramme, en introduisant enfin des éléments mobiles tels que ceux qui ont été envisagés à la fin du n° 4, on obtient d’autres modes de représentation nomographique, applicables à des équations renfermant un nombre de plus en plus grand de variables et qui ont été étudiés par l’auteur dans ses ouvrages précédemment cités. Mais les méthodes qui ont été examinées dans cette conférence sont par excellence celles qui servent le plus ordinairement dans les applications.

Note additionnelle sur les alignements brisés.

Considérons un nomogramme dont la partie utile est limitée par les axes A u etBe, mais qui s’étend entre ces axes depuis — co jusqu’à -f- co. Divisons ce nomogramme en trois, la partie moyenne étant construite directement au moyen des équations de disjonction et d’ailleurs limitée à deux axes A' et A" parallèles à l’axe AB des origines. Conformément à ce qui a été vu au n° 7, nous allons transformer homologiquement la partie située au-dessus de l’axe À ' et s’étendant jusqu’à l’infini en prenant A^ comme axe de l’homologie, l’origine O comme pôle et le point F de l’axe O y comme correspondant du point à l’infini sur cet axe.

Pour construire les échelles sur cette partie transformée nous allons chercher les coordonnées (#', y') du point M' correspondant au point M de coordonnées (x, y) de la figure primitive. Appelant / et h les distances respectives du point F à l’origine O et à l’axe A , nous trouvons facilement pour ces expressions

M. D’OCAGNE

De la même façon transformons la partie située en dessous de A" , en nous donnant le point I" correspondant du point à l’infini sur O y.

Il reste à faire voir comment se construit l’alignement brisé lorsqu’on passe de la partie inaltérée à la partie transformée du nomogramme.

Remarquons tout d’abord que l’alignement déterminé par des points pris sur deux des échelles (points déterminatifs) doit couper la troisième échelle [ou l’une des lignes du troisième réseau) en un point qui fait connaître la valeur de l’inconnue ( point solutif).

De là, trois cas à examiner selon que les points déterminatifs appartiennent à la même partie du nomogramme (I), ou à deux parties contiguës (II), ou à deux parties non contiguës (III).

Cas I : L’alignement est immédiatement déterminé sur une des parties du nomogramme par les deux points déterminatifs et le problème se borne à obtenir ce que devient l’alignement après

réfraction dans la partie contiguë qui contient le point solutif.

Ce problème revient tout simplement à celui bien connu qui consiste à trouver la droite correspondant à une droite donnée en vertu de l’homologie ci-dessus définie. La droite primitive et sa transformée se coupent en un point M0 de l’axe d’homologie (fig. 10).

En outre, si M et M' sont deux points cor- Fil.dô respondants sur ces

^ droites, M appartenant

à la figure primitive et M' à sa transformée, la droite OM et la droite Vm joignant le point I' à la projection orthogonale m de M sur A' se coupent en ML

Mais il est plus simple de tracer une fois pour toutes une paire de droites correspondantes ô et <T parallèles à A , qui donnent immédiatement une paire de points correspondants M et M', alignés sur O, sur les deux parties de l’alignement brisé.

Avec cette construction, le mode de passage d’une région à l’autre résulte de l’énoncé suivant : les deux parties de V alignement brisé se rencontrent en un point de A et coupent ô et ô en des points qui sont alignés sur O.

NOMOGRAPHIE

JÏ!

Cas II : Les points déterminatifs sont un point M sur la première partie du nomogramme et un point N' sur la seconde. En vue de construire l’alignement brisé MM0N' (fîg. 11), nous avons à mener la droite MM0 joignant le point M au point N qui correspond à N' sur la première partie de la figure. Si la droite I'N' coupe Ar en /i, le point N est à l’intersection de ON' et de la perpendiculaire élevée en n à A'.

Considérons la figure homothétique à celle qui est formée par ces deux lignes, le centre de similitude étant en M et la droite 01' étant prise comme correspondante de «N. Pour avoir la droite OjN4 correspondant à ON', nous n’avons qu’à prendre le point d’intersection Oi de MO et de la parallèle nx 01 à On et à mener la parallèle 01N1 à ON'. Dans ces conditions, la droite MN4 prolongée passerait

par N ; elle fournit donc la première partie de l’alignement brisé dont la seconde est donnée par M0N'.

Cas 111 : Les points déterminatifs N' et P" appartiennent à deux parties non contiguës obtenues par transformation homologique de la figure primitive. La partie moyenne est inaltérée et les parties transformées sont l’une au-dessus de A , l’autre au-dessous de A" (fig. 12).

I' et L'étant les points correspondant au pointa l’infini sur Oy, on trace I'N' et I"P" qui coupent A; et A" respectivement en n et p. Les droites menées par n et p parallèlement à O y coupent ON' et OP" aux points N et P qui déterminent l’alignement non brisé. Le problème consiste à obtenir la portion M'0 M"0 de cet alignement compris entre les axes A' et A" et que complètent les droites M'0N' et M"0P"pour constituer l’alignement doublement brisé P" M"0 M'0 N'0 .

Pour avoir la droite M'0M"0 il suffît de tracer une figure homothétique par rapport au point O pris comme centre de similitude. Prenons les points /i1 et px divisant les segments On et O p dans le même rapport, tels, par conséquent, que les droites np et nipi {non tracées) soient parallèles. Menons ensuite par ces points des parallèles à O y, qui coupent ON' et OP" en et P4 respectivement. L’alignement cherché est l’homologue de la droite Nt Pt .

Il est donc parallèle à NiP1 et se trouve entièrement déterminé lorsqu’on a obtenu l’homologue d’un point quelconque de Nt P, y

par exemple de celui H1 situé sur O y , qui est le point H à l’intersection de OH1 et de la parallèle à nl H4 menée par n.

II. — APPLICATION DES NOMOGRAMMES A ALIGNEMENT AUX DIFFÉRENTS CAS DE RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES

Préliminaires.

1. — Si l’on désigne, dans un triangle sphérique, les côtés par a , ô, c et les angles opposés par A, B, G, ces six éléments étant exprimés .en fractions (degrés ou grades) de la circonférence, les problèmes concernant la résolution des triangles sphériques, tels qu’ils se présentent en astronomie, géodésie et navigation, sont tous renfermés dans l’énoncé général que voici :

Etant donnés trois des six éléments a, b, c. A, B, C, trouver I’un des autres.

Il convient de noter que, contrairement à ce qui se rencontre dans les traités classiques, cet énoncé propose la recherche d 'un seul des éléments inconnus, et non des trois.

Cette distinction est essentielle au point de vue de la solution par les méthodes nomographiques. Ainsi qu’on le verra par la suite, le premier énoncé exige pour sa solution trois nomogrammes distincts, tandis que, pour le second, un seul sufïit.

NOMOGRAPHIE

2. — S’il ne s’agit d’obtenir qu’un seul des trois éléments inconnus, comme cela a lieu ^dans les importantes applications à l’astronomie, de considérer la disposition

du système de quatre éléments, constitué par les trois éléments donnés et celui qui est inconnu.

Cette disposition peut être l’une des trois suivantes :

1° Deux couples d’éléments contigus séparés l’un de l’autre par deux éléments non intervenants, tels que A, b et B, a. Une semblable disposition sera désignée par le symbole (2, 2).

2° Trois éléments contigus et le quatrième isolé de ce groupe, par conséquent opposé à celui des éléments qui se trouve au milieu du groupe, par exemple ô, A, c et a. Une telle disposition sera désignée par le symbole (3, 1).

3° Quatre éléments contigus comme C, ci , B, c. Une telle disposition sera désignée par le symbole (4).

A ces trois dispositions correspondent respectivement les formules

sin A sin b = sin a sin B , (1)

cos a =. cos b cos c -f- sin b sin c cos A , (2)

cos a cos B = sin a cotg c — sin B cotg C , (3)

dans chacune desquelles l’un quelconque des quatre éléments peut être pris comme inconnue. Dans le cas (3,1), si l’élément isolé est un angle au lieu d’un côté, comme cela a lieu pour la formule (2), il est nécessaire d’appliquer la formule au triangle supplémentaire en remplaçant a , ô, c, A par par 7:^ A, n — B, tc — G, n — a.

11 est aisé de voir que, si l’on se donne trois quelconques des six éléments d’un triangle, on peut toujours leur associer l’un des trois autres, de façon à obtenir une disposition (3, 1). Une fois ce premier élément déterminé par l’application de la formule (2), on peut encore constituer une disposition (3, 1) pour chacun des deux éléments restants en l’associant convenablement à trois autres pris parmi les quatre déjà connus. Il en résulte qu au moyen de la seule formule (2) on peut obtenir la résolution complète du triangle.

Mais il est avantageux, dans certaines applications de l’astronomie, de déterminer directement un seul des trois

M . D OC AG NE

éléments inconnus, sans .avoir à passer par l’intermédiaire d’un des autres, et cela nécessite l’application de la formule particulière qui correspond à la disposition des éléments auxquels on a affaire. Donc, pour la résolution nomographique directe, dans tous les cas possibles, trois nomogrammes sont nécessaires, correspondant aux trois formules fondamentales ci-dessus données.

3. — Avant de passer à la construction de ces trois nomogrammes, il convient de faire une remarque spéciale relative aux formules applicables au triangle rectangle. Supposons que deux des éléments (autres que l’angle droit) d’un tel triangle soient donnés. Pour en déduire un troisième, nous n’avons qu’à considérer la disposition formée par ces trois éléments et l’angle droit et à appliquer la formule appropriée.

Par exemple, si nous voulons connaître la relation entre l’hypoténuse #, l’un des côtés b et l’angle compris G, nous reconnaissons que la disposition formée par ces trois éléments et l’angle droit A est de celles désignées par (4). Une permutation circulaire de (3) donne

cos b cos C — sin b cotg a — sin C cotg A ,

qui, lorsqu’on tient compte deA= . devient

cos b cos C rr: sin b cotg a ,

tg b = Ig a cos C ,

formule classique, et de même pour les autres cas.

Il est ainsi démontré que les trois nomogrammes appropriés aux formules (1), (2), (3) fournissent la solution complète de tous les problèmes en question. Il est vrai que d’autres formules, telles que les analogies de Neper, sont employées pour les calculs ordinaires. Cela a pour but de permettre de recourir au calcul logarithmique ; mais une telle considération n’intervient pas lorsque l’on fait usage des méthodes nomographiques.

NOMOGRAPHIE

"N omo gramme de la formule (1).

4. — Pour obtenir un nomogramme de la formule (1) il suffit de l’écrire sous la forme

sin a sin A

sin b sin B

La construction est alors immédiatement évidente par la géométrie la plus élémentaire.

Si, sur deux droites parallèles, on porte les segments A0A et A0a proportionnels à sin A et sin «, B0B et B06 propor¬

tionnels à sin B et sin b respectivement, l’équation précédente exprime que les droites AB et ab coupent la droite A0B0 au même point P (fîg. 13) b

Cela suggère l’idée de construire deux échelles de sinus

1 Cette figure et les suivantes sont faites à une trop petite échelle pour pouvoir se prêter à un usage courant et ne doivent être regardées que comme servant à illustrer les explications données dans le texte.

M. D’OCAGNE

identiques, sur deux axes parallèles, avec les zéros en A0 et B0 et des graduations de sens contraires en vue de faire en sorte que ce point P tombe entre A0 et B0. Les deux droites AB et a b coupent alors A0B0 en un même point P.

Supposons, par exemple, que A, B, a soient donnés et b à trouver. L’opération est la suivante: Les points dont les cotes sont A et B sur les deux échelles sont joints par une droite qui coupe A0B0 en un point Pjj; la droite joignant ce point P au point coté a sur la première échelle coupe la seconde en un point dont la cote est b.

Nous avons eu recours à la géométrie élémentaire pour exposer le principe de ce nomogramme parce que c’est la méthode la plus naturelle ; mais il est clair que, si on le veut, on peut établir ce principe suivant la théorie générale; il suffit de procéder comme suit :

Appelant /la commune valeur des deux rapports ci-dessus, on a

sin a = t sin b ,

et, si l’on pose 1

sin a — u , sin b — — v ,

il vient pour l’équation du point (/),

u -|— vt zzi 0 .

Celle-ci représente les points de l’axe A0B0 des origines, et de même pour le second rapport.

Nomogramme de la formule (2).