N O MO GRAPHIE

En fait, voyons comment est déterminé chacun de ces systèmes, le premier par exemple.

Par les formules (4) ci-dessus nous obtenons, pour les coordonnées cartésiennes d’un point du réseau, les expressions

f 14 ~ l- oi

Si maintenant on élimine entre ces équations soit z4, soit zi, on obtient deux équations tejles que

définissant deux systèmes oo1 de courbes, le premier côté au moyen des valeurs d ezi, et le second, de z4 ; pour un couple particulier de valeurs de ces paramètres, le point (z, , z4) n’est autre que le point d’intersection des courbes cotées (z<) et (z4).

Ayant ainsi construit les réseaux (z4, z4), (zt, z5) et (z3 , z6) on voit que la représentation nomo graphique de V équation (5) consiste en V alignement de trois points pris respectivement dans ces trois réseaux.

Cette remarquable simplicité de représentation pour des équations à plus de trois variables est souvent utilisée dans

les applications et constitue un des plus notables avantages de la méthode des points alignés.

La méthode s’applique spécialement au cas des équations

M . B’OCAGNE

à quatre variables que Ton obtient en remplaçant, dans une seule des lignes du déterminant du type (5), les fonctions de deux variables par des fonctions d’une seule variable. Le type correspondant de nomogramme est celui qui représente la fîg. 7.

Comme exemple d’une telle équation on peut citer l’équation complète du troisième degré1.

D’autres exemples seront complètement traités dans la seconde conférence.

Il peut arriver, en certains cas, que les points du réseau défini par des formules telles que (7) soient tous distribués sur une seule courbe. Dans un tel cas on peut dire que les points sont condensés sur cette ligne. Cette circonstance se produit lorsque les formules (7) prennent la forme

On doit alors avoir recours à l’artifice indiqué à la fin du n° 8 pour la définition nomographique de ces points (z1 , z4).

7. — Le fait que les nomogra mines à alignement sont sujets à toute transformation homographique — puisqu’une telle transformation conserve les alignements — contribue notablement à donner de la souplesse à la méthode.

Le principe de cette transformation peut recevoir la forme analytique très simple que voici.

Soit donnée une équation sous la forme

fi gi hi

fs 03 ^3

Nous pouvons multiplier ce déterminant par

X fj. v X' |x' v'

X" jjl" v"

1 Voir T. N., p. 333 et C. G. N., p. 278. L’auteur a montré comment la résolution de toutes les équations des sept premiers degrés peut se ramener à l’emploi de ce procédé (C. K. de l’Acad. des Sciences, T. 131, 1900, p. 522) .et développé entièrement la solution dans le cas du quatrième degré (T. N., p. 336).

NOMOGRA PHIE

supposé tel que les valeurs choisies pour ses neuf éléments n’annulent pas sa valeur.

Appliquant la règle bien connue pour la multiplication des déterminants, et posant pour i= 1, 2, 3,

fi = Xfi + V-8i + vA- ,

8i = yfi + V-'ëi + v'A,. ,

a; = x"/;- + txVi + v"a, ,

nous obtenons la nouvelle équation

et l’on conçoit que les systèmes cotés répondant à cette dernière équation, qui est équivalente à l’équation primitive, puissent offrir certains avantages par rapport aux systèmes obtenus directement.

D’ailleurs, puisque le déterminant de la transformation contient neuf paramètres sous forme homogène, la transformation dépend réellement de huit paramètres, ce qui lui confère une grande latitude. En particulier, cela permet de fixer ad libitum la position de chacun des quatre points du nomogramme qui marquent les extrémités des deux échelles correspondant aux variables prises pour données, ce qui, dans la majorité des cas, suffit à assurer au nomogramme une disposition commode1.

Il est souvent avantageux de faire usage du cas particulier de l’homographie qui est constitué par Y homologie . Supposons, par exemple, ce qui est fréquemment le cas, que la partie utile d’un nomogramme recouvre toute la bande d’étendue infinie comprise entre Au , B v et la transversale A à ces axes. Nous pouvons réduire ce nomogramme à des dimensions finies par une transformation homologique admettant A pour axe et un point quelconque pour pôle, tel

1 Un exemple particulièrement typique d’un tel emploi de la transformation homographique générale se rencontre dans T. N., p 199.

M . D’OC A G NE

notamment que l’origine O des axes cartésiens liés à Au et Bc, à la condition de nous donner, sur la parallèle à Au et Bc menée par le pôle — c’est-à-dire sur O y si ce pôle coïncide avec l’origine O — le point I correspondant au point à l’infini dans la direction de O y. Dans ces conditions, la partie utile du nomogramme est condensée à l’intérieur du triangle formé par le point I et les points où Taxe A rencontre Au et Bc.

Presque toujours les valeurs des variables à associer sur le nomogramme sont contenues dans une seule région. Il peut toutefois se faire, en de rares occasions, que l’on ait à associer des points appartenant à diverses portions du nomogramme qui proviennent d’homologies différentes appliquées à plusieurs parties d’un même nomogramme ayant, de l’une à l’autre, des limites communes. Dans ces conditions, lorsque l’on passe d’une portion à l’autre du nomogramme, le simple alignement qui serait à considérer sur un nomogramme construit d’un seul tenant, doit être remplacé par une suite d’alignements se recoupant deux à deux sur les limites des portions distinctes du nomogramme et formant ce qu’on peut appeler un alignement brisé. Pour tracer un tel alignement brisé, on peut avoir recours à certaines constructions qui se déduisent des propriétés connues de l’homologie1. Nous indiquerons dans une note additionnelle quelques exemples où de telles constructions seront effectuées.

8. — Pour compléter l’examen des procédés usuels de la Nomographie, il nous reste à indiquer d’un mot comment on peut combiner la méthode des points alignés avec l’enchaînement des nomogrammes tel qu’il s’est offert à nous au n° 4. Si, en fait, les équations de disjonction obtenues par l’introduction des variables auxiliaires /, t! , t", ... sont toutes du type auquel s’applique la méthode des points alignés, on peut faire usage de ce mode de représentation en adoptant les mêmes échelles (/), ou (/'), ou (/"), ... pour les

1 Si de telles constructions étaient nécessaires en pratique, le meilleur moyen, pour les effectuer, consisterait évidemment à avoir recours temporairement à un transparent en vue d’éviter le tracé sur le nomogramme d’un nombre excessif de droites auxiliaires qu’il pourrait être difficile de faire disparaître après usage sans risquer de détruire rapidement le nomogramme.