N O MO GRAPHIE
Ces équations définissent les graduations des axes A0u et B0c et donnent pour le réseau des points (b, c ) l’équation
u -\- v sin b sin c =. cos b cos c . (5)
La symétrie de cette équation en b et c montre que le& courbes (b) et les courbes (c) sont les mêmes. Ce sont le& courbes de cette famille unique qui, en se recoupant ellesmêmes, engendrent le réseau des points ( b , c).
Proposons-nous d’abord de former l’équation des courbes du système obtenu par la variation de c. Nous avons à déterminer le lieu du point d’équation (5) lorsque c'y est regardé comme variable. L’équation en u et v de ce lieu résulte de l’élimination de ce paramètre c entre l’équation (5) et sa dérivée prise par rapport à c, c’est-à-dire
v sin b cos c — — cos b sin c , (6)
Faisant la somme des équations (5) et (6) après avoir multiplié, d une part, la première par sin c et la seconde pas cos c, et, d’autre part, la première par cos c et la seconde par sin cr on a les équations
u sin c — — v sin b , u cos c — cos b ,
qui, élevées au carré et additionnées, donnent
u- — v2 sin2 b -j- cos2 b , (7)
qu’on peut écrire
u2 — 1 = sin2 b (y2 — 1) . (7')
Sous la forme (7), l’équation montre que les courbes (b) sont des ellipses dont un axe est dirigé suivant la droite A0B0 joignant les origines des axes A0u et BoV1. Sous la forme (7'} l’équation fait apparaître que ces ellipses appartiennent à un faisceau tangentiel comprenant les coniques dégénérées u2 — 1 = 0, v2 — 1 = 0 qui consistent chacune en un couple de points réels (u = ± 1 , v = ± 1).
En d’autres termes, les ellipses (h) sont toutes inscrites dans
1 Voir, pour une théorie complète des coniques en coordonnées parallèles, la brochure de
l’auteur: Coordonnées parallèles el axiales \ Paris; (lauthier-Villars ; 1885).
M. D’OCAGNE
le quadrilatère formé par les quatre droites joignant chacun des points u ==± 1 à chacun des points v == ± 1.
Si, comme c’est le cas sur la fig. 14, nous prenons comme module de chacune des échelles des cosinus, la moitié de la distance entre les axes A0u et B0c, ces axes étant perpendiculaires à A0B0. les points u — dz 1, c — ±1 forment un
carré dont deux des côtés sont parallèles à A0B0. Ces deux côtés et les deux diagonales du carré constituent les quatre tangentes communes à toutes les ellipses (b).
6. — Pour le tracé de ces ellipses, point par point, nous aurons recours aux coordonnées cartésiennes rapportées aux axes Ch? et Oy pour lesquels l’origine O est le milieu A0B0,
NOMOGRAP H1E
le sens positif de Ox confondu avec OB0, Taxe 0 y parallèle aux axes AQu et B0e et de même sens.
Avec ces axes, les coordonnées du point (ô, c) sont
1 — sin b sin c 1 -f- sin b sin c
cos b cos c 1 + sin b sin c
Notons que, si b et c sont compris entre 0 et n,
et que
0 < y < 1 ou - 1 < y < 0.
suivant que b et c sont tous deux du même côté ou de côtés différents par rapport à ~ .
Cette dernière remarque est importante en ce qu’elle donne le moyen d’éviter toute ambiguïté dans la correspondance entre les couples de valeurs de b et c et les points du réseau (ô, c). L’équation (7) montre que l’ellipse (b) ou (c) est la même pour deux valeurs supplémentaires de l’angle correspondant ; en outre, les ellipses (b) et (c) ont deux points communs symétriques par rapporta Ch? dans la partie utilisée du réseau; mais la remarque ci-dessus établit clairement que l’on doit prendre le point au-dessus ou au-dessous de Ox suivant que b et c sont du même côté ou de côtés différents
par rapport à .
Supposons maintenant que b et c soient égaux ou supplémentaires, de telle sorte que les ellipses correspondantes coïncident. Par passage à la limite, on voit que l’on doit prendre pour point (ô, c) sur le nomogramme le point de contact de l’ellipse unique avec l’une des tangentes communes issues de O, soit au-dessus, soit au-dessous de Ox. Dans chaque cas, en vertu de ce qui précède, il n’y a pas la moindre hésitation à avoir dans le choix de ce point (ô, c), non plus que dans la détermination de la valeur d’un de ces angles lorsqu’un tel point et la valeur de l’autre angle sont connus.
L’équation cartésienne de l’ellipse (ô), dont (7) fait connaître
M. D’ OC A G NE
réquation en coordonnées parallèles, est facile à former. Des équations (8) on tire sans difficulté
sin b sm c rr - - , cos b cos c =z - - ,
d’où, par élimination de c ,
ou
sin2 b
cos2 b
(1 -f- x2) cos2 b 4 y2 sin2 b = (1 — x)2 sin2 b cos2 b . (9)
De cette équation on tire immédiatement que, pour x = — 1, on a y — ± cos b , c’est-à-dire que l’ellipse [b) coupe l’échelle a portée sur A 0u aux points cotés b et 7r — b .
Il convient aussi de remarquer que si, dans (7), on fait c — o, on a u — dz cos ù, ce qui signifie que la droite joignant les points cotés b et n — b de l’échelle (a) au point B0 sont tangentes à l’ellipse (b) en ces points.
7. — Au moyen soit des formules (8), soit de l’équation (9), nous pouvons construire les ellipses (b) [avec lesquelles, ainsi que nous l’avons précédemment observé, coïncident les ellipses (c)] par les procédés ordinaires de la géométrie analytique. Mais un mode de construction plus simple et plus expéditif est fourni par la considération de l’équation (2). En fait, d’après ce que nous avons vu, cette équation exprime l’alignement des points (a) de A 0m, (A) de B0c et (b , c). Deux tels alignements obtenus pour (ù, c ) par le calcul de deux couples simples de valeurs de a et A déterminent la dosition de ce point (ù, c).
Or, la formule (2) montre que, pour A = o, nous avons a = b — c, et, pour A = 7i , a = b c. Ces deux couples de valeurs de a et A déterminent des droites dont le point d’intersection coïncide avec le point (ù, c).
De là, la construction suivante du système des ellipses {b) ou (c) : Les axes A0u et B0v portant Les échelles (a) et (A) définies par les formules (4), on joint chacun des points A = o et A —n cl tous les points de V échelle (a) et Von obtient ainsi deux faisceaux de droites dont les mutuelles intersections se trou-
NOMOGRAPHIE
vent sur les ellipses (b). Pour que deux droites de ces faisceaux se coupent en un point de V ellipse (b) il est nécessaire et suffisant que la somme ou la différence des angles correspondant à ces deux droites soit égale à 2b.
C’est par ce moyen qu’a été construit le nomogramme de la fig. 14. Son mode d’emploi résulte dans tous les cas de l'énoncé suivant :
Le point (b, c) étant celui des points d’ intersection des ellipses (b) et (c) qui est au-dessus ou au-dessous de A0B0 suivant que h et c sont ou non du même côté par rapport à les points cotés (a), (A) et (b, c) sont en ligne droite .
Nomogramme de la formule (3).
