Récrivons cette formule ainsi
et posons
cotg c sin a — oolg C §in B — cos a cos B u — cotg c , c — - CQtg C .
Ces formules définissent les échelles portées sur les axes A0u et B0e et donnent pour le réseau de points («, B) l’équation
a sin a -J- c sin B — cos a cos B . (11)
Pour avoir l’équation en u et v de la courbe (a) résultant de la variation de B, il faut éliminer B entre cette équation et sa dérivée prise par rapport à B, c’est-à-dire
v cos B — — cos a sin B . (12)
Si l’on fait la somme de ces équations après les avoir multipliées respectivement d’abord par cos B et — sin B, puis par sin B et cos B, on obtient
u sin a cos B zz: cos a , u sin a sin B r: — v ,
équations qui, élevées au carré et additionnées, donnent
M. D’ OC A G NE
Sous la forme (12), l’équation montre que les courbes (a) sont des hyperboles dont un des axes est situé sur A0B0, et, d’après la forme (13'), il est évident que ces hyperboles forment un faisceau tangentiel comprenant les coniques dégénérées u2 -(- 1 = 0, v2 + 1 = 0, qui consistent chacune en un couple de points imaginaires (u = ± i et v = ± i).
En d’autres termes, les hyperboles (a) sont toutes inscrites dans le quadrilatère formé par les quatre droites joignant chacun des points u = ± i à chacun des points v == ± i .
Par rapport aux axes cartésiens que nous associons de façon permanente aux axes parallèles A0m et B0c, ces droites ont pour équations
Les dernières sont les droites isotropes issues de l’origine 0, ce qui prouve que l'origine 0 est un foyer commun à toutes les hyperboles du faisceau 1.
Si nous permutons a avec B, et u avec c, cela ne change rien à l’équation (11), de sorte que nous avons immédiatement pour l’équation des courbes (B)
u2 -{- 1 = (y2 -J- 1) sina B , (14)
qui définit un faisceau d’hyperboles, algébriquement identique au précédent. Seulement, les hyperboles («), qui ont un foyer commun en O, ont leur concavité tournée du côté de A0, tandis que les hyperboles (B) qui ont aussi un foyer commun en O ont leur concavité tournée du côté B0 . Ces deux faisceaux (a) et (B) sont symétriques l’un de l’autre par rapport à O y (fig. 15) 2.
1 II est à noter que ces hyperboles n’ont en commun qu’un seul foyer et non deux, attendu que les deux autres côtés du quadrilatère dans lequel elles sont inscrites sont des parallèles imaginaires à Ox et non des droites isotropes.
'“Ce nomogramme a été effectivement construit en vue de son application particulière à la détermination de l’azimut, pour le point à la mer, par le M. lieutenant de vaisseau
Perret (Association française pour L’avancement des sciences. Congrès de Cherbourg, 1905).
l’équation cherchée
ou
u2 sin2 a — y2 -f- cos2 a , [il2 -f- 1) sin2 « = v2 -j- 1 .
NOMOGRAPHIE
9. — Gomme dans le cas précédent, nous allons passer aux coordonnées cartésiennes, par rapport aux mêmes axes que ci-dessus, en vue de la construction des hyperboles point par point.
Les coordonnées du point (a, B) sont
sin B — sin a cos a cos B
JJ f y # MqJ
sin B -f- sin a ’ J sin a -j- sin B
Notons que si a et B sont compris 0 et n, nous avons toujours
et que
j > 0 ou j < 0 ,
M . D OC AG NE
suivant que a et B sont ou non du même côté par rapport à Gela donne le moyen de faire disparaître toute ambiguïté
dans la détermination, sur la partie utile du nomogramme, du point correspondant à un couple de valeurs données de a et B.
Pour avoir l’équation cartésienne des hyperboles («), nous n’avons qu’à tirer de (15)
sin B — - - sin a , cos B n , - tg a ,
et nous obtenons ainsi
(1 -f- x)2 sin2 a -j- 4 y2 tg2 a — (1 — x)2
OU
(1 — x)2 cos2 a — 4y2 sin2 a — (1 -f- x)2 sin2 a cos2 a . (16)
Grâce à la remarque précédente concernant la permutation des axes A0u et B0cdont les équations cartésiennes sont respectivement x -f- 1 = 0 et x — 1=0, nous déduisons immédiatement de là l’équation des hyperboles (B)
(1 + x)2 cos2 B — 4j2 sin2 B rr (1 — x)2 sin2 B cos2 B . (17)
De la comparaison de ces équations (16) et (17) avec l’équation (9) il ressort immédiatement que les deux faisceaux d’ellipses et d’hyperboles, ci-dessus rencontrés, se déduisent l’un de l’autre au moyen de la transformation homographique
x' = qz x , f — yi ,
qui fait correspondre aux droites issues de l’origine et inclinées à 45° sur A0B0 les droites isotropes semblablement issues de O.
Pour x = — 1, l’équation (16) donne y — ± cotg a , ce qui montre que l’hyperbole (a) rencontre l’axe A 0u aux points cotés a et 7r — a de l’échelle (c). De même, si l’on fait x — 1 dans l’équation (17), on voit que l’hyperbole (B) coupe l’axe B0e aux points cotés B et n — B de l’échelle (c).
D’ailleurs, si l’on fait c = o dans l’équation (13), ou u = 0
NOMOGRAPHIE
dans l’équation (14), on constate que les tangentes aux hyperboles (a) en leurs points d’intersection avec A0u passent par B0 et que les tangentes aux hyperboles (B) en leurs points d’intersection avec B0e passent par A0.
Contrairement à ce qui avait lieu pour le précédent nomogramme, dont la partie utile — lorsque les variables restent comprises entre o et n — est enfermée dans une aire limitée, ce nouveau nomogramme, pour les mêmes limites attribuées aux variables, s’étend de — oo à + go dans la direction de O y. Pratiquement, donc, il n’est possible de construire qu’une partie restreinte de ce nomogramme. Pour atteindre des valeurs des variables en dehors de ce domaine, il est nécessaire de recourir à des transformations homologiques comme celles qui ont été envisagées dans la première conférence (l, 7 et note additionnelle).
Nomogrammes divers relatifs à la résolution des triangles sphériques.
10. — Si l’on ne stipule pas, comme nous l’avons fait ci-dessus, que l’on veut obtenir un élément inconnu d’un triangle sphérique dont trois éléments sont donnés, à U aide d’une seule lecture , on peut arriver à ce résultat au moyen de plusieurs lectures successives faites sur un nomogramme unique. Au point de vue de la construction, ce nomogramme est beaucoup plus simple que les précédents et constitue ce qu’on peut appeler une grille trigonométrique .
Cette grille se construit de la manière suivante : à un cercle gradué en degrés on circonscrit un carré dont les côtés sont parallèles et perpendiculaires au diamètre 0° — 180°. A l’intérieur de ce carré on trace les droites joignant les points de division du cerclé qui sont symétriques soit par rapport au diamètre 0° — 180°, soit au diamètre 90° — 270°. Chacune de ces droites est associée aux graduations des deux points du cercle divisé qu elle relie.
Il a été établi que, grâce à l’introduction, en certains cas, d’angles auxiliaires, cette grille permet d’obtenir la résolu-
M. D’OCAGNE
tion complète de tout triangle sphérique 1. Mais une telle solution, comme on s’en rend aisément compte, offre surtout un intérêt théorique. En pratique, il y a un sérieux avantage à obtenir le résultat cherché au moyen d’une seule lecture ot c’est là ce qui conféré leur importance aux nomogrammes que nous venons de décrire ci-dessus.
Dans certaines applications, l’un des quatre éléments en question peut être regardé comme constant, et il devient avantageux, en un tel cas, de construire un nomogramme particulier à trois variables se déduisant d’un des précédents nomogrammes par fixation, sur l’un des quatre systèmes cotés, d’un élément unique correspondant à la valeur constante donnée.
Supposons, par exemple, que le problème consiste à représenter la relation entre les trois côtés a , b , c d’un triangle sphérique rectangle en A. La relation en question,
qui peut se déduire de (2) lorsqu’on y fait A = — , est
cos a — cos b cos c . (18)
Le nomogramme correspondant est celui de la fig. 14 sur lequel on supprime la graduation (A) de l’axe B0e, tous les alignements étant alors pris sur le point B0.
Une telle solution présente l’intérêt théorique d’être contenue dans le cas général. Mais il est clair qu’on peut lui substituer une solution beaucoup plus simple qui s’offre immédiatement à l’esprit. Posant
u z= cos a , v — — cos b ,
on a, pour c, l’échelle
U -)- V cos c = 0 ,
portée sur l’axe A0B0.
Les échelles [a] et (b) sont obtenues par remplacement, sur la fig. 13, des angles inscrits le long de A0u et de B0e par leurs compléments, et l’échelle (c) n’est autre que la projec-
1 On voudra bien se reporter au mémoire publié par l’auteur sur ce sujet (Bulletin de la Société mathématique de France, T. 32, 1904, p. 196).
NOMOGRAPHIE
tion de (a) sur A0B0 à partir du point b = 0, puisque, pour cette valeur de 6, la formule (18) donne a = c.
Pour prendre un autre exemple, proposons-nous de représenter la relation entre l’angle horaire AH, la déclinaison CO
12 heures
0 heure
Fig. 16.
et la distance zénithale 2 d’un astre quelconque pour une latitude constante <p. Cette relation est fournie par la formule (2) où l’on fait
