CHAPITRE IV

Conséquences de cette théorie.

U après ce qui vient d’être dit ($. 22), je considérerai la particule puppiforme comme n’ayant qu’une dimension. Cependant dans certaines applications subséquentes , il sera fait deux ou trois fois mention de l’influence que les deux autres dimensions peuveut avoir sur les mouvemens de la particule soumise à la pression qui les produit ; et en ce cas je considérerai l’effet de celte influence, comme étant comparable à une espèce de balancement ou de libration ; mais je n’en ferai mention que comme d’une chose iudéterminée. •

§. 24. Dans la solution du problème propose' au i5 , on doit concevoir l’axe de rotation perpendiculaire à la direction de la trajectoire ($. 18.); et dans l’emploi que nous ferons de cette solution, nous supposerons toujours cette situation. Nous ne parlerons d’une autre, que comme possible et offrant trop de complication, pour que nous entreprenions d’en faire

usage dans nos explications. Ainsi la particule puppiforme doit se peindre à l’imagination sous l’emblème d'une roue , qui chemine le long de la trajectoire , de manière à présenter toujours la poupe ( ou concavité ) à l’extérieur, c’est-à-dire, à la circonférence de la roue. A la vérité, la roue n’a qu’un seul rais ; mais , à cause de la célérité de la rotation , on peut dire , qu’en un instant fort petit, ce rais se multiplie en quelque sorte, et qu’il est à la fois sensiblement par toute la roue. Cette roue devient donc réellement un disque , pour toutes les mesures de temps où l’on peut négliger une fraction de seconde, moindre peut-être qu’une cent-soixaute-qualre billionième ($. 17.) (1).

a 5 . Maintenant supposons qu’uoe telle particule, formant par sa rotation un disque apparent , s’approche d’un plan attractif. Et supposons encore que ce disque se présente parallèle au plan attractif. Faisons abstraction, au premier instant, du mouvement de translation du centre de gravité. La particule,

(1) Nous continuons d’appeler bîtllon un million de millions , trillion un million de billions ; et ainsi de suite, coufurmément à la notation wolfieane.

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dont la rotation produit le disque apparent sera forcée d’incliner sa poupe (sa concavité) vers le plan (§■ 9). Et cependant , comme sa rotation ne sera pas interrompue , l’apparente Continuité de toutes les situations qu’elle prendra ne sera point troublée. Ain» la particule attirée tracera, par sa rotation,' un cône droit apparent, dont l’axe sera perpendiculaire au plan , ou (si l’on veut permettre cette métaphore) une espèce de parasol, ouvert du côté du pian, et dont les côtes (1) seront terminées à l’extérieur par une concavité' (a). Ce cône ira en se rétrécissant (le parasol ira se fermant), à mesure que le courant, qui pousse la concavité vers le plan , deviendra plus efficace ; x’esl-à-dire , à mesure que la particule approchera davantage du plan ( 5 ).

(1) Les côtes, on baleines, qui soutiennent le pavillon.

(2) Le sommet de ce cône étant le centre de rotation , il y a proprement deux cônes opposés au sommet ; mais nous n’avons rien à dire de ce second cône , et nous le, négligerons toujours.

( 5 ) Ou comprend que la figuro formée par la trace de la particule présentera une suite de cônes , dont l’angle au sommet ira insensiblement «n diminuant. Ce sera donc plus exactement une courbe rentrante , de la nature d’une hélice ; ou mieux , une espèce de

{i- 2 6- LS état de la particule , qui retourne ainsi sa poupe vers le plan, est un état forcé i Elle est soumise à l’action de deux forces opposées , celle de rotation et celle du courant qui pousse sa poupe vers le plan attractif. En effet , quand la particule décrit un segment de surface conique, si la rotation cessoit , la poupe seroit poussée plus fortement vers le plan; et réciproquement, si le courant cessoit de pousser la poupe, celle-ci se relèveroit et formeroit un disque. Il y a donc une partie de la force de rotation qui est directement opposée à l’impulsion du courant sur la poupe.

Il suit de là, que, si l’attraction venoit à diminuer (en d’autres termes, si le courant poussoit la poupe vers le plan); aussitôt l’angle au sommet du cône croîlroit (le parasol s’ouvriroit). - < ■

J’ajouterai un court développement aux assertions précédentes : elles dépendent toutes de celle-ci. La force du courant attractif et la force de rotation de la particule, qui décrit

ruban déroulé en spirale. Mais on peut bien considérer les cônes successifs comme complets. Cette simplification ne peut altérer le résultat.

S70 2. a TRAITÉ. QUELQUES NOUVELLES un segment de surface conique, sont opposée#en quelque partie. Au moment où la particule décrivoit un disque, la force de rotation (dans nos suppositions) e’toit toujours dirigée parallément au plan attractif. Le courant abaisse la poupe perpendiculairement à ce même plan; par conse'quenl, au premier instant , les deux vitesses, dont la poupe est animée, ne se nuisent point mutuellement. Lorsque la poupe a descendu ainsi un instant, la force de rotation , qui n’a pas changé de direction , pousse la poupe , et tend à lui faire décrire un nouveau cercle de rotation sur le centre de gravité de la particule. Cette force tend donc à faire sortir la poupe du plan de sa rotation actuelle , pour tourner sur un axe constant ; par conséquent, elle tend à éloigner la poupe du plan , dont l’attraction tend à l’approcher.

$. 27. Dès le premier moment où le cône se forme , il naît une répulsion ; et cette répulsion devient plus efficace à mesure que la particule approche du plau, parce que la pression intérieure sur la poupe devient toujours moins oblique.

0. 28. Supposons une rotation si rapide que, par rapport aux impulsions gravifiques, un seul tour de la particule autour de l’axe du

puisse cire envisagé comme exécuté dans un instant indivisible ; la résultante de toutes les pressions ulte'rieures sera constamment perpendiculaire au plan.

§. 29. Supposons maintenant qu’une particule puppiforme se présente à un plan attrac* tif, de manière que son disque apparent soit perpendiculaire à ce plan. Il sera difficile que le courant, qui pousse la particule vers le plan , parvienne à forcer la concavité ( la poupe ) de se tourner vers le plan. Dans le cas du parallélisme ( §. a 5 ) , l’action du courant, pour produire cet effet, trouvoil toujours la particule dans la même situation pen* dant le cours d’une rotation entière , et n’avoit à vaincre que la force de rotation (1) oblique et par conséquent affoiblie. Dans le cas du perpendicularisme, la situation de la particule est telle que , pendant une moitié de la rotation , chaque élément du courant attractif agit par la somme des vitesses, et pendant l’autre moitié par leur différence.

Dans la première de ces moitiés , l’action du courant sur la poupe lutte contre la force de rotation ; et il y a un moment où elle lutte

(») Voyez le §. a 6 .

Si donc une grande vitesse constante , imprimée aux particules , tend à leur faire traverser le plan attractif ; celles dont le cercle de rotation est perpendiculaire au plan attractif le traverseront plus aisément , que celles dont le cercle de rotation est parallèle à ce même plan.

$. 52. Considérons une particule puppiforme, qui exécute sa rotation dans un plan parallèle au plan attractif. Le disque apparent prend insensiblement la forme d’un cône. Examinons quelle est , pour chaque instant, l’expression des différentes forces agissant à cet instant- Jà, sous diverses inclinaisons du côté de ce cône sur le plan attractif, ou en d’autres termes, selon l’inclinaison de l’axe de notre particule cylindrique (et presque linéaire) sur ce même plan.

La force d’attraction sera en quelque raison inverse de la distance ; que nous pouvons supposer être l’inverse du carre'.

Et puisque, d’après ce qui a été dit ($. 2. Rem. p. 245. ) , elle peut être envisagée comme agissant sur les surfaces seulement ; elle sera d’autant plus intense, qu’une plus grande partie du courant perpendiculaire au plan attractif atteindra la surface ; ainsi , à cet égard, elle sera proportionnelle au cosinus d’iucli-

37 4 a. d TRAITÉ. QUELQUES NOUVELLES naison. De plus, considérant l’efficacité de chaque choc pour approcher la particule du plaft attractif; on trouve, à cet égard, la force proportionnelle au carré de ce même cosinus. Si donc on appelle 1 la force attractive efficace à la distance 1 (supposée la moindre que l’on puisse, en ce genre d’objets, distinguer de la surface même); on aura , à la distance d y pour l’expression de la force attractive , à un instant donne', (i'.d 2 ) cos i y (i étant l’angle d’inclinaison).

La force répulsive , agissant sur la poupe , pourra être appelée r, et étant réduite selon le sens perpendiculaire au plan attractif , elle aura pour expression r sin i ; expression qui ne changera que par la variation de l’angle , si la répulsion (supposée terminale ou élémentaire) est une quantité constante; mais qui subira tous les changemens qu’éprouvera la force répulsive.

Le mouvement que prendra la particule dans le sens perpendiculaire au plan , c’està - dire , la vitesse de translation du centre ,<Je gravité dans ce sens , aura pour expression (t\d ) cos i — r sin i.

La force qui fait tourner la particule sur ellemême est i.° la pression exercée sur sa poupe par les corpuscules roulant dans la concavité. Nous nous en sommes suffisamment occupés.

2.° L’impulsion supérieure du courant attractif sur cette poupe (ce courant ne pénétrant pas dans la concavité , mais poussant extérieurement sa paroi supérieure).

Cette dernière force est l’excès de la forcé attractive qui meut la poupe , sur celle qui meut la proue. La force attractive est bien toujours la même , mais l’obstacle qu’elle a à vaincre est moindre sur la poupe. Cet excès, dépendant de l’attraction , en est une fonction que l’on peut exprimer par f (il d* ). La force en questiou dépend en outre de l’inclinaison de notre particule linéaire sur le plan. Mais elle n’en dépend pas comme la force attractivé considérée dans son action pour pousser le centré de gravité vers le plau ; parce que , pour opérer la rotation , cette force n’a pas besoin d’être réduite dans le sens perpendiculaire au plan attractif. Ainsi , relativement à l’inclinaison , la force dont nous parlons sera proportionnelle au carré du cosinus d’inclinaison et son expression sera f (l'.d 1 ) co* i.

Pour employer ces formules , il faudroit intégrer leurs valeurs dans les suites d’instanS que l’on auroit à considérer.

On voit assez du reste comment l’expression du mouvement du centre, / : cl x (cos 3 i — r sin i ), passe du positif au négatif. Prenons les cas

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extrêmes. Soit d’abord d = 1 , on retrouve ,• comme on le doit , la formule égale à la différence des deux forces. Dans ce cas , supposons la particule parallèle au plan , on a cos 3 i = 1 et fin i — o; en effet , la répulsion , agissant parallèlement , ne diminue point l’attraction. Supposons au contraire la particule perpendiculaire au plan ; en ce cas, on a tin i=l, cos i = o; et la répulsion agit seule. Ce re'sultat n’est pas naturel , mais il est conforme à notre hypothèse d’une particule linéaire 5 c’est-à-dire, d’une base plate du cylindre si petite, que l’action du courant attractif sur cette base e'vanouit. Plaçons maintenant la particule à l’extrême limite des forces attractives; c’est-à-dire , que d 2 devienne infini et que l’attraction devienne nulle. Si, à celle distance, nous plaçons la particule parallèle au plan ; les deux forces, réduites selon le sens perpendiculaire, sont nulles. Si la particule est placée perpendiculairement au plan ; la répulsion agira seule sans aucune diminution.

Je suis porté à croire que la contemplation de ces forces peut faire saisir des rapports applicables aux résultats de diverses expériences optiques. C’est pourquoi je les présente ici sous les expressions qui me paroissent propres à chacune d’elles.