CHAPITRE III

Second cas.

$. i5. Uls que le besoin de traiter ce second cas se fut fait sentir à moi , je vis la difficulté de ce sujet et j’eus recours à des lumières supérieures aux miennes. J’adressai à deux habiles mathématiciens , que j’ai l’avantage de compter au nombre de mes amis, une question , par laquelle je voyois qu’il falloit commencer. Elle étoit conçue en ces termes :

« Soit une droite matérielle de la nature des corps durs, homogène et de même épaisseur dans toute son étendue; avant par conséquent son centre de gravité au milieu de sa longueur.

Soit appliquée, à un point de celte ligne, une pression invariable et toujours maintenue perpendiculaire à la ligne.

On demande, quel sera, pour divers points d’application, la trajectoire du centre de gravile pendant une ou plusieurs rotations. »

J’ajoutai à cet énonce' du problème, la note suivante : *

« N. B. J’entends par pression , selon l’usage commun , une force qui agit comme par petits coups répétés, qui s’accumulent; et je me représente ces petits coups ou impulsions élémentaires successives comme presqu’égales, par conséquent comparables à la pesanteur et à toutes les attractions dans les premiers inomens; mais cette force de pression doit finalement être conçue finie; et par conséquent, elle doit engendrer une vitesse terminale. »

Les solutions que j’obtins, quoique différentes dans la forme , donnoient le résultat suivant, que j’extrais de la solution de celui des deux mathématiciens, qui, étant plus près de moi , a pu entrer avec moi dans plus de détail sur quelques points, et qui a bien voulu d’ailleurs joindre à sa solution un exemple numérique.

$. 16. Marche de la solution.

Lemmes.

1.® Soit une droite homogène, ayant par conséquent son centre de gravité au point qui la partage en deux parties égales ; et soit ap-

APrUCATIONS. LIV. rr. 3 • 267 pliquée à un point quelconque de celle ligne une force qui IuLsoit perpendiculaire. Le centre de gravité se mouvra, comme si la force lui étoit immédiatement appliquée; et la ligne tournera autour de ce centre, comme si ce centre étoit fixe. — Ce lenime se démontre par les principes généraux de la dynamique.

2.® D’après ces mêmes principes, la vitesse angulaire autour de Taxe libre de rotation , regardé comme fixe, est égale au produit de la distance du centre de gravité au point d’application de la force , multipliée par la masse et par la vitesse de translation , divisé par le moment d’inertie de la masse, relativement à cet axe (1).

Problème. Trouver la ligne que décrit le centre de gravité d’une droite homogène , à l’un des points de laquelle s’applique une force toujours perpendiculaire à elle , cette force étant uniformément accélérée.

(1) Une vitesse angulaire est une fonction d’une vitesse de translation, parce que cette fonction est multipliée par Yuniti , ou rayon , réduit en secondes de la circonférence. C’est ce qui se pratique dans les explications numériques , telle que celle qui suit ces résultats de calcul.

258 S. d TRAITÉ. QUELQUES NOUVELLES , Solution. 1 .° Par le calcul , on arrive d’abord à reconnoître que le mouvement angulaire suit les mêmes lois qu'un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

2.» Par un calcul beaucoup plus compliqué (en ayant soin d’écarter les cas qui ne peuvent pas se réaliser dans la nature, ou qu’excluent la forme et le but de la question), on arrive à reconnoître que la ligne décrite par le centre de gravité est une espèce de courbe serpentine y et la situation de celte courbe , relativement à l’axe des abscisses , offre quatre cas possibles , dans l’un desquels cet axe est coupé par la courbe en chacune de ses périodes, à peu près comme la baguette d’un Caducée l’est par l’un de ses serpcns représentés sur une surface plane.

$. 17. Application numérique. Si l’on suppose que la droite ne soit mue que par une seule impulsion , dirigée dans le sens de la force qui lui est appliquée 5 et avec une vitesse égale à la vitesse terminale produite par la force accélératrice ;

Si l’on fait la vitesse de translation de 70 000 lieues (de 2280 toises), par seconde (qui est la vitesse de la lumière) ; que a exprime la masse de la droite, et/la distance du point d’appli-

APPLICATIONS. LIV. H. 25g

cation de la force au centre de gravité.

Soit rt'.k en lignes (1).

Soit maintenant a=o’oooi ligne, £=2 ; et par conséquent f— o’ooo o 5 .

On trouve que le nombre de rotations exécutées autour du centre de gravite' , pendant que ce centre décrit 70 000 lieues , est 164,599 3 1 o, 4 oo 000.

D’où l’on tire que le nombre des rotations est de 119 pendant que le ceotre décrit un dixième de ligne.

Cet exemple, dans lequel la détermination relative à la distance du point d’application est toul-à fait arbitraire , montre qu’en la variant on pourroit faire varier beaucoup le nombre des rotations pendant un espace décrit donné.

$. 18. De cette solution , il résulte que l’axe de rotation est perpendiculaire à la trajectoire.

§. 19. La vitesse terminale est déterminée d’un côté par la force de pression ; de l’autre, 1 par la résistance des courans antérieurs de corpuscules.

Cette remarque s’applique également à la* vitesse de translation et à celle de rotation.

( 1 ) L’introduction de k (ayant une valeur quelconque) est nécessaire pour exprimer/' comme aliquotedea.

260 2 . d TRAITÉ. QUELQUES NOUVELLES

$. 20. Après avoir obtenu celle solution , j’aspirois à en obtenir d'autres. Yoici les problèmes que j’avois à proposer :

« Question 3 . a * Soit un corps massif, de forme régulière ou irrégulière (par exemple un cylindre). Soit creusé dans ce corps une fosse (par exemple un creux oblique dans une des bases du cylindre). Soit appliquée sur le fond de cette fosse une pression sous les mêmes , conditions que dans la question i 5 .)

« Quel mouvement prendra le corps ?

« N. B. Quel mouvement? c’est-à-dire, quelle trajectoire et quelle rotation ? »

ci Question 3 . m Quel effet produiront divers accidens de vitesse ou d’intensité dans la pression ? »

« cas. Si , dans un sens seulement , la pression est plus forte ; la demi-courbe d’une période de sa trajectoire , où se trouve la particule, sera-t-elle alongée ou accourcie?»

. « 2 . 1 cas. Si de toutes parts la pression croît ; la demi-courbe en question changerat-elle et comment ? »

a N. B. Dans les deux cas, on demande le rapport de la rotation à la translation. »

« Question 4 ™ Peut-00 estimer le temps employé par la particule à acquérir sa vitesse

App&ications. rrv. n. 261

terminale ; en le comparant au temps pendant lequel la particule , arrivée à sa vitesse terminale, décrit un espace connu ?

- .« Pourroit-on , par exemple , établir des circonstances qui rendissent infiniment pétit , le temps nécessaire pour acquérir la vitesse terminale , relativement au temps pendant lequel, avec cette vitesse terminale, la particule décrit un espace fini? v , v

<c Ou pourroit-on déterminer la longueur de la carrière d’accélération ?» - •

21. Quant à la question 2/° ($. 20.) , le savant mathématicien qui m’avoit fourni la solution de la 1 . , rapportée ci-dessus en abrégé ($. 16.), n’a pas cru devoir aller au-delà du simple énoncé du principe, d’où doit dépendre, dans tous les cas particuliers, la solution d’un tel problème. Ce principe est contenu dans les deux propositions suivantes :

1. ° Par rapport a un point quelconque d’uu corps , il y a toujours trois axes principaux , dont la propriété est de rendre les momens d’inertie les plus grands ou les plus petits possibles; et ces trois axes sont perpendiculaires entr’eux.

2. Dans un corps libre quelconque , les axes principaux sont les seuls autour desquels

363 2/ TRAITÉ. QUELQUES NOUVELLES un mouvement de rotation, primitivement imprime’ , se perpétue uniformément.

t)’après ce principe , il faudroit supposer diverses figures ; et voir , sous ces aspects variés, quel mouvement prendroit notre particule. Je suis fort éloigné de me croire en état de faire de telles tentatives avec espérance de succès. Je laisse donc aux mécaniciens géomètres, qui pourroient y prendre intérêt, un travail à faire, qui sera peut-être récompensé par des explications plus pleines des phénomènes de la nature. En attendant, il me semble que l’on peut faire quelque usage de ce qui vient d’être dit.

, 22. Si la particule a beaucoup plus d’éten-

due selon une de ses dimensions que selon les deux autres; si, par exemple, elle est comparable à un cylindre droit fort haut , à base fort petite; la rotation autour du centre de gravité pourra être en quelque sorte assimilée à celle de la ligne droite, que nous avons considérée dans la solution de la l.” question ($. 16.) ; et les rotations autour des deux autres axes principaux ne produiront peut-être qu’une espèce de balancement ou de libration. Ce qui tne confirme dans cette opinion , c’est que , dans les applications aux phénomènes, la théorie,

envisagée sous cetle forme , fournit déjà quelques explications probables.

§. 23 . Les principes communs de la dynamique fournissent les résultats suivans, qu’a rassemblés le même mathématicien ( cité au

22 ) , et qui peuvent servir à résoudre la question 3 . m ° ( $. 20.). Quoique je n’espère pas en faire emploi, il ne sera pas inutile de les remettre sous les yeux des physiciens.

a) Si un corps quelconque est soumis ù une force perpendiculaire à sa surface , et qui ne passe pas par son centre de gravité} ce centre se mouvra, comme si la force lui étoit immédiatement appliquée; et le corps tournera autour de ce centre, comme si ce point étoit fixe.

b) Si la force est un choc, une impulsion momentanée ; le centre de gravité se meut uniformément suivant line direction parallèle à celle de la force, comme si celte force lui étoit immédiatement appliquée ; et le corps tourne .uniformément autour de ce point comme si ce point étoit fixe.

c) Si la force est variable ou constante ; les deux mouvemens sont variables ou uniformément accélérés.

d) Lorsque le corps n’est soumis qu’à

364 2 / TRAITÉ. QUELQUES NOUVELLES l’action d’une force; les deux mouvemens sont donc toujours de la même espèce.

e) Si deux forces agissent sur le corps perpendiculairement à sa surface, l’une adroite, l’autre à gauche, du centre de gravite', et dans deux sens diflerens; ces deux forces concourent ensemble à produire le mouvement de rotation , et sont en partie opposées pour le mouvement de translation ; en sorte que si leurs directions sont également éloignées du centre de gravité , le corps tournera comme s’il n’y avoit qu’une seule force égale à la somme des deux premières et agissant perpendiculairement à la surface à la même distance du centre de gravité , et ce point sera mu comme s’il étoit soumis à l’action d’une orce égale à la résultante des deux autres.

f) Si les deux forces sont égales et parallèles entr’elles et qu’elles agissent à égale distance du centre de gravité perpendiculairement à la surface du corps ; ce centre sera immobile et le corps tournera autour de ce point, comme s’il n’étoit soumis qu’à une force, égale à la somme des deux autres, agissant perpendiculairement à la surface et à la même distance du centre de gravité.

g) Si le corps a un mouvement uniforme

APPLICATIONS. LIV. I. nG§

de translation et de rotation , et si dans un moment quelconque il est soumis à l’action de deux forces constantes qui remplissent les conditions du cas pre'cédent (f) ; le centre de gravité continuera à se mouvoir uniformément , puisqu’en vertu de ces forces constantes, il resteroh immobile ; mais le mouvement de rotation du corps deviendra uniformément accéléré. ; ■ ..

a66 2/ traité, quelques nouvelles