IX

1* Proposons-nous la solution du problème suivant , qui peut se présenter assez souvent dans la pratique.

Problème. Étant donné sur un plan une droite B et deux points metïij construire le sommet de la parabole qui passant par les points met u aurait la droite B pour tan-

gente en son sommet. *

L'on sait que par deux sections coniques qui ont une corde commune on peut

toujours faire passer deux cônes (*).

Prenant le plan qui contient la droite B et les deux points m et n pour plan horizontal de projection^ on pourra considérer :

1** la parabole cherchée comme étant la base de la trace y sur le plan Jiorizontal du cône qui passerait en même temps par un certain cercle G assujetti à passer par les deux points m et a et dont le plan ferait avec le plan horizontal un certain angle , ou considérer 2*' un certain cercle C passant par les points m et n et tracé sur le plan horizontal comme la base d'un cône qui passerait en même temps par une parabole 6 coupant ce cercle G aux points m et n et dont le plan ferait avec le plan horizontal un certain angle ; dans ce dernier cas j la parabole cherchée serait la projection horizontale 6^ de la parabole 6.

Première solution du problème.

Soient donnés sur le plan horizontal les deux points m et n{fig. 106) et la droite B.

Unissons les points m et n par une droite que nous désignerons par G^,

C) ^oysz dans la Corresptmdanee de mathématiques et de physique y rédigée par M. Quétblbt , de Bruxelles , le mémoire que j'ai publié et qui a pour titre : Des propriétés des courbes du second degrés coneidérées dans Vtspaee , tome m.

iilii'///'

cette droite coupera la droite B ea un point que nous désignerons par p*. Prenons la ligne de terre LT parallèle à la droite mra.

Concevons par la droite mn un plan vertical N , .lequel coupera le plan vertical M dont B devra être considérée comme la trace horizontale H*, suivaiit une droite verticale Y.

Traçons dans le plan N un cercle G passant par les points m et n et tang[ent en un point p à la droite Y. Ce cercle G aura la droite G* pour projection horizontale.

La parabole y cherchée doit passer par les points m et «et être tangente en son sommet x à la droite B, dès lors le plan M sera tangent au cône Z passant par les deux courbes G et y.

Le plan horizontal devant couper le cône 2 suivant une parabole y, ce cône 1 doit avoir une de ses génératrices G parallèle au plan horizontal.

Gette génératriceG aura doncpour projection verticale une droite G^ parallèle à la ligne de terre et tangente à G\

Prenons d'abord G* arbitraire, mais passant par <]f^ projection du point 9 en lequel la droite G coupe le cercle G ^ le sommet s du cône 2 devra se trouver sur G et sur le plan M , dès lors s" et ^ projections du sommet s du cône I seront situés de la manière suivante : le point «* sera sur B ou H" et le point à* sera à Hntersection de la droite G"^ et de la perpendiculaire menée du point ^ sur la ligne de terre LT.

Le plan horizontal étant parallèle à la génératrice G du cône 2, l'axe de la parabole y sera parallèle à G et par conséquent i G*.

Et puisque l'on veut que la droite B soit tangente au sommet a: de la parabole y , il faudra que G* soit perpendiculaire sur la droite B. On ne donnera donc pas à G* une direction arbitraire , mais on mènera G* perpendiculaire à B.

Le plan M sera tangent au cône 2 suivant une génératrice G, qui passera par le sommet s et le point p en lequel le cercle G est tangent au plan M , le pian M coupera donc le plan horizontal suivant une droite tangente à la parabole y au point X en lequel la droite G. perce le plan horizontal. Lepoint x sera le sommet cherché.

Deuxième solution du problème.

Construisons un cercle G (fig. 104) passant par les points m et n et tangent en p à la droite B.

Prenons la ligne de terre LT perpendiculaire à la droite mn ; puisque la parabole 6 doit couper le cercle G aux points m et n, le plan P de cette courbe 6 aura la droite mn pour trace horizontale H\

Pour que le plan P coupe suivant une parabole 6 le cône 1 qui aura ie cercle G pour base sur le plan horizontal , il faudra que ce plan P soit parallèle à une génératrice G du cône 2; et de plus il faudra que la droite B soit la trace horizontale H" d'un plan M vertical et tangent au cône 2, car il faudra que la parabole g^ soit tangente à B.

Pour satisfaire à ces conditions nous prendrons un point ^ sur la droite B ; par le point r en lequel le diamètre parallèle à la ligne de terre coupe le cercle C nous mènerons une droite G dont les projections seront G"" et G*, G^ étant arbitraire; puis nous prendrons Y* parallèle à G^; dès lors nous sommes assurés que le plan P es*t parallèle à G et coupera le cône 2 dont le sommet s a pour projections 8^ et J" suivant une parabole 6.

Si Ton joint les points seip par une droite G, , on aura la génératrice du cône 2 suivant laquelle ce cône est touché par le plan vertical M.

Dès lors la plan P coupera la droite G, en un point x et la parabole g se projettera sur le plan horizontal suivant une paraboles^ passant par les points m et n et tangente à la droite B au f>ointa:^.

Le plan P étant parallèle à la génératrice G , le diamètre A de la parabole 6 sera parallèle à G, dès lors, pour que A^ soit perpendiculaire à B , il faudra que G^soit perpendiculaire à B.

Pour satisfaire à cette condition nous ne pouvons pas prendre le point «^ arbitrairement sur la droite B, nous devrons {fig. 404) par le point r mener G^ perpendiculaire à la droite B, et le point ^sera déterminé convenablement.

D'ailleurs nous pourrons prendre «^ où nous voudrons sur la verticale passant par le point ^.

Par ces dernières constructions nous sommes assurés que le point 2:^ est le sommet de la parabole cherchée S^.

Remarquons que le plan qui contient les deux génératrices G et G. coupe le plan P suivant Taxe A de la parabole 6.

Or, la droite f7>est la trace horizontale du plan (G, G,); par conséquent le point

y en lequel rp coupe mn sera la trace horizontale du diamètre A de la parabole g, diamètre dont la projection A^ est Taxe de la parabole g*; on voit donc de suite que la construction du point xf sommet de la parabole g^ peut être très-simple et en effet :

Il suffira de décrire le cercle C {fig. 105), passant par les points m et n et tangent à la droite B au point p.

Du centre du cercle C , on mènera or perpendiculaire à la corde nm et Ton

unira les points r et p par une droite rp coupant la corde mn au point y.

Par le point y, on mènera ya!" pecpendiculaire à Q et coups^t cette droite B au point a:* qui sera le sommet de la parabole demandée 6«

D'après ce qui précède, on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. Étant données une parabole 6 et une tangente 9 en cm point x à cette courbe, si par deux points m etn arbitraires de cette parabole Confaft passer un cercle C tangent en un point p d /a tangente 9 ; si du centre o du cercle C on abaissa une perpendiculaire sur la corde mn . coupant le cercle C en un point r, la droite rp coupera la carde mn en un point y qui appartiendra au diamètre de la parabole qui est le conjugué de la tangente 9.

¥ Donnons maintenant la solution de divers problèmes que Ton peut proposer sur les sections coniques déterminées par certaines conditions et non données par leur tracé complet.

Lorsque deux sections coniques situées dans des plans diiïérents ont- une corde commune, ou ont un point de contact, on peut toujours les envelopper dans le .premier cas par deux cônes, dans le second cas par un seul cône (*).

Il nous sera donc toujours facile de construire, par les méthodes de la géométrie descriptive, une section conique passant par des points donnés et tangente à des droites données^ pourvu que les conditions, comme on le sait, soient au nombred^ cinq, et loutes les fois que parmi les données , il y aura : 1"* deux points, ou 2* une droite et un point de contact sur celte droite.

Ainsi on pourra résoudre les problèmes suivants :

Construire une section conique':