VI
Lorsque nous avons parlé des épicycloîdes annulaires, nous avons eu Toccasion «d'examiner deux systèmes qui étaient tels que l'un d'eux était la transforma- Hon de l'autre. Dans l'un des systèmes, ily avait un plan qui se trouvait représenté dans l'autre système par un plan gauche ou paraboloide hyperbolique; nous allons examiner un second système dans lequel la même chose a lieu.
Cet examen ne sera pas sans intérêt , parce que les transformations sont fréquemment employées en géométrie descriptivey ainsi que nous l'avons déjà dit, comme moyen ou méthode de recherche.
Concevons {figl 97 ), un cône de révolution ayant pour axe la droite A et pour base le cercle G et son sommet étant en un point s^.
Imaginons un second cône ayant le même cercle G pour base et son sommet situé en s sur l'axe A.
Si par un point m de G et par l'axe A on fait passer un plan méridien P, ce plan coupera les deux cônes suivant deux génératrices G et G. qui feront entre elles un angle droit ou un angle arbitraire a ; de sorte que les demi-angles au sommet 6 et 6, des deux cônes f"*, G^ et (^, , G) seront ou ne seront pas complémentaires l'un de l'autre.
Traçons sur le côiie(<', , C) ane section eonioue e.
Cette courbe e sera coupée par la génératrice 6, en un point x.
Menons par â; une droite K paralléleà 6 y elle coupera Taxe A en un point p.
Opérant de la même manière pour tous les points x de la courbe e, on aura une suite de droites K qui formeront une surface gauche 2 engendrée par une droite K se mouvant sur Taxe A , sur la courbe e et parallèlement au cône («, G ).
Concevons la tangente teu m au cercle C.
Traçons la tangente 8 en rc à la courbe e.
Si nous menons une droite sn dans le plan tangent au cône (9, C), lequel plan passe par r et G, si nous unissons le point n, en lequel se coupent les droites $n et I , au point $, sommet du premier cône, cette droite coupera en un point y y et si par y nous menons une droite L parallèle à sn, elle coupera Taxe A en un point q.
Opérant pour tous les points de la droite t comme nous venons de le faire pour le point n , nous obtiendrons une suite de droites L s'appuyant sur Taie A et sur 9 et étant toutes parallèles au plan tangent ( f , G).
La surface A , lieu des droites L ^ sera donc un paraboloide hyperbolique ayant A et 6 pour directrices et le plan tangent (t, G) pour plan directeur.
Ainsi le plan (/» G) est transformé en un paraboloide A , et le cdne(«, C) se trouve transformé en une surface gauche 2.
Et comme dans tout mode de transformation , deux surfaces tangentes restent tangentes après leur transformation, on voit que le plan (t. G) étant tangent au cône (», C) suivant la droite G, le paraboloîde A tranrfarmé du plan (^, G) sera tangent à la surface 1 transformée du cône («, C ) tout le long de la droite K trmsformée de la génératrice droite G du cône ( » , C ).
Cela dit :
Supposons d'abord que les deux cônes (s, C)et(9,,C) soient deux cônes égaux et tels dès lorsqu'on transportant le cône {s, C ) parallèlement à lui-même, son sommet s étant venu en«., les deux cônes en cette nouvelle position, sesuperpo* sentj ou, pour plus de généralité, supposons que les deux cônes.(«, G) et(9., C) ne se coupent que suivant une seule section conique^ et soient dès lors tels, qu'en menant par l'axe A un plan, ce plan coupe les deux cônes suivant quatre génératrices parallèles deux à deux.
Ces deux cônes ne pourront se couper que suivant : l"" une ellipse, si la droite A qui unit les sommets s et «, des deux cônes est dans l'intérieur de ces cônes ; et 2** une hyperbole , si la droite A des sommets est extérieure aux cènes.
Coupons teut le système par un plan X. Ce plan pourra avoir deux poskioaspiur rapport à la droite A qui unit les sommets s et f des deux cônes» il pourra la couper, ou lui être paraUèle^
Premier cas. l'' La droite A étant intérieure aux cônes , le plan X étant jKtrallèle à la droite A des sommets.
Le plan X {fig. 97) coupera le cône ( « , C ) suivant une section conique H , et le point V en lequel le plan X coupe la génératrice 6 du cône est un point de la courbe H.
Ce même plan coupera le plan tangent (r. G) suivant une droite I tangente en t; à la courbe H.
Ce plan X coupera la génératrice K de la surface 1 parallèle à G en un point z et ce même plan coupera la surface gauche 2 suivant une courbe H, et le paraboloide A suivant une section I.et les deux courbes H, et I, seront tangentes Tune à l'autre au point %.
Le plan X étant parallèle à la droite A, on voit de suite que les points v et z seront unis par par une droite parallèle à A.
Maintenant la courbe H, variera de forme suivant la forme des courbes G et s que nous supposons toujours être des sections coniques.
Puisque Taxe A est supposé intérieur aux cônes la courbe G est une ellipse; supposons que la courbe e est aussi une ellipse.
Le plan X coupera le cône («, G) suivant une hyperbole H. La courbe H. sera dès lors composée de deux branches infinies et ayant deux asymptotes.
Les deux asymptotes de la conrhe hyperbolique H, seront parallèles aux asymptotes de Thyperbole H.
Et en effet :
Désignons par G' la génératrice du cône ( < » G ) parallèle à Tasymptote de la courbe H. Sur la surface 2 il y aura une génératrice K' parallèle à G', et de même que G' passe par le point situé à l'infini sur l'hyperbole H , de même la droite K' contiendra le point situé à l'infini sur la courbe H. , puisque G' et K' sont parallèles au plan sécant X.
Ainsi la courbe H, est composée de deux branches séparées et infinies. Le plan tangent M aucône(«, G) suivant G' se transformera en un paraboloîde hyperbolique A' tangent à la surface 1 tout le long de K".
On sait que quand un plan est tangent à un paraboloîde et au point situé à l'infini sur une génératrice de ce paraboloîde , il est parallèle au plan directeur de cette génératrice.
Le plan T' tangent au point situé à l'infini sur K' sera donc parallèle au plan T. Dès lors comme le plan T coupe le plan X suivant une asymptote à H , le plan T' coupera ce même plan X suivant une asymptote à H. et les deux asymptotes à la courbe H et à la courbe H, seront évidemment parallèles.
Deuxième cas. 2"* Le plan X coupant la droite A de^ sommets.
Le plan X coupant Taxe A , coupera le cône suivant une parabole^ une hyperbole ou une ellipse , et l'on aura Tune de ces trois sections coniques pour courbe de section » en vertu de la valeur de l'angle queie plan P fera avec Taxe A.
D'après tout ce qui a été dit précédemment ^ il est évident: que le planX coupera la surface gauche 2 :
l"" Suivant une cxmvh^parabolique (composée d'une branche infinie dans les deux sens et sans asymptote) si ce plan X coupe le cône («, G) suivant une parabole;
2"* Suivant une courbe hyperbolique (composée de deux branches infinies et ayant deux asymptotes) si ce plan X coupe le cône (5, G) suivant nue hyperbole ;
3"" Suivant une courbe elliptique (courbe fermée) si ce plan X coupe le cône (5 y G ) suivant une ellipse.
Nous avons, dans ce qui précède , supposé que la courbe e tracée sur le cône (5, , G) était une ellipse ^ supposons maintenant que cette courbei est une parabole , et que le plan X coupe Taxe A.
Remarquons d'abord , qu'en supposant que le plan X coupe Taxe A, nous supposons implicitement le cas où le plan X est parallèle à l'axe A, car c'est supposer lors du parallélisme que le plan X coupe l'axe A à l'infini ; dans ce cas particulier il y a des restrictions aux résultats et qui ne sont autres y savoir : que dans ce cas tout particulier le plan X coupe toujours le cône («9 G) suivant une hyperbole.
La courbe e étant une parabole son plan sera parallèle à une génératrice G, du cône (»., G) , et G, sera parallèle à une génératrice G du cône («, G).
Dans ce cas la surface gauche 2 ne pourra pas être coupée par un plan X suivant une courbe fermée {elliptique).
Et en effet :
D'après le mode de transformation adopté, lorsque Ton fera passer par l'axe A et la génératrice G, un planP, il coupera le cône («, G) suivant ladroite G qui viendra couper le cercle G en un point g et la droite «, g ou G/ sera une génératrice du cône(«,y G) et coupera la parabole e en un point x par lequel on devra mener une droite K parallèle à G , laquelle droite K sera une génératrice à distance finie delà surface!.
Mais le plan P coupera le cône (<, G) suivant une génératrice G' et le cône {Srj G) précisément suivant la génératrice G/; et G' coupera le cercle G en un point g' et la droite *, g qui ne sera autre que G, coupera la parabole e à l'infini , et ce sera par ce point situé à l'infini qu'il faudra mener une droite K/ parallèle à G/, laquelle droite K/ sera une génératrice droite de la surface gauche 2.
La surface gauche 2 a donc une génératrice droite K/ située à l'infini.
Ainsi dans le cas ou la directrice e est une parabole la surface gauche 2 ne peut
être coupée par um plan X, quelle que soit ia direction de ce plan, que
suivant :
i"* Une courbe hyperbolique; si le plan X coupe le cône {$y G) suivant une
hyperbole.
2* Une courbe parabolique; si le plan X coupe le cône (s, G) suivant une parabole ou une ellipse.
Supposons maintenant que la courbe s est une hyperbole, et supposons encore que la droite A des eommets esi extérieure aux deux cônes.
En discutant la question , ainsi que nous l'avons fait lorsque la droite A était intérieure aux deux cônes («, G) et {s,. G) nous retrouverions idenHquement les mêmes résultats.
Reprenons maintenant le problème sous un point de vue plus général.
Problème général. Goncevons deux cônes du second degré quelconques , s ett. ( désignant chacun des cônes par son sommet ) et su[^son8 que ces deux cônes sont placés dans Tespace Tun par rapport à Tautre, d*une manière arbitraire.
Menons par le sommet s, une droite A, de direction arbitraire et plaçons sur ie cône «, une section conique c ( ellipse) ou c, (parabole) ou e. (hyperbole).
Goncevons ensuite une droite K se mouvant sur l'axe A. et la section conique e ou c, ou f, et parallèlement au cône («); nous engendrerons une surface gauche 2.
Examinons cette surface 2.
Supposons une directrice e (elUpse).
Nous mènerons par le sommet s du cône (s) une droite A parallèle à A,.
Par Taxe A, nous mènerons un plan P. qui coupera la courbe t en deux points x et j^ou qui ia touchera en un point s.
Par la droite A nous mènerons un plan P parallèle au plan P, qui coupera le cône (9) suivant deux droites G et G' eu qui le touchera suivant une droite G'\
On devra donc mener de ehacun des points orou y et s des parallélesaux droites G et G' ou G".
Et l'on voit que la surface 2 sera composée de deux nappes; Z et 2, s'entrecoupant suivant Taxe A. et la courbée.
Si donc on coupe tout le système par un plan X on obtiendra pour section dans Tune et l'autre nappe ou une courbe e/^ii^ue, si le plan X coupe le cône {s) suivant une ellipse: ou une eourbe hyperbolique , si le plan X coupe le cône {s) suivant une hyperbole : ou une courbe parabolique y si le plan X coupe ie cône (s) suivant une parabole.
Et l'on voit de suite aussi que dans le cas où :
Von suppose une direcirice e, (parabole).
L'on a encore deux nappes 2, et 2, qui ne seront coupées par UA pfan X qu« suivant des courbes hyperboliques ou paraboliques. Et que dans le cas où :
Von suppose une directrice e, (hyperbole ),
L'on a encore deux nappes 2, et 2. qui ne sont coupées par un plan X que suivant des courbes hyperboliques.
§ \ll.
La surface hélicaide (filet de vis triangulaire) a pour surface osculatrice , tout le long d'une de ses génératrices droites j un hyperbolotde à une nappe et non de révolution.
Désignons par A l'axe d*un cylindre de révolution sur lequel se trouve tracée une hélice e.
Concevons un cône de révolution A ayant son sommet en un point s de l'axe  et cet axe pour axe de révolution.
Imaginons une droite G se mouvant dans l'espace en s'appuyant sur l'axe A et sur l'hélice e et ayant le cône A pour cône directeur.
La droite G engendrera une surface hélicoîde gauche 2, qui sera la surface connue dans les arts sous le nom de surface du filet de vis triangulaire.
Cela posé :
Considérons trms génératrices droites successives ou infiniment voisines G, G', G^' de la surface 2, lesquelles seront parallèles respectivement à trois génératrices droites aussi successives et infiniment voisines K, KS K^' du cône directeur A.
Ces trois droites G , G', G" seront les trois directrices ou génératrices du premier système de l'hyperboloide à une nappe H osculateur de deuxième ordre à la surfece 2 tout le long de G.
Or, les trois droites G^ G", G'" s'appuient sur l'axe A. Cet axe A sera donc une génératrice droite du deuxième systtoe de l'hyperboloide H.
Un hyperboloide à une nappe a toujours un cône directeur ; la surface H aura donc un cône du deuxième degré A, pour cône directeur : G , G', G'', et A seront donc parallèles respectivement à quatre génératrices droites de ce cône A,.
On peut placer le cône A, où Ton veut dans l'espace , on peut donc supposer que son sommet est en s.
Dès lors le cône A. doit avoir parmi ses génératrices droites , les quatre droites, K,K, K'etA.
Le cône A. devant avoir, en commun avec le cône A , trois génératrices successives ou infiniment voisines, lui sera osculaleur du deuxième ordre tout le long de K.
Le cône A, sera donc déterminé si l'on connaît sa base. Or, si Ton coupe le cône A par un plan X perpendiculaire à son axe A, on aura un cercle G dont le centre sera le pied de Taxe A, et ce cercle G passera par les trois points successifs ou infiniment voisines Ar, &',&"', en lesquels les droites K, K', K'' sont coupées par le plan X.
Le cône A, aura donc pour base sur le plan X une section conique G, osculatrice du deuxième ordre en K au point k du cercle G et passant par le point o.
Il est évident que la courbe G n'est autre qu'une ellipse ayant la ligne ko pour petit axe et dont le grand axe se calculera de la manière suivante :
Désignant la ligne /co ou le rayon du cercle G parp , p sera le rayon de courbure de l'ellipse G. pour le point k.
En désignant par a le demi-grand axe et par ^ le demi-petit axe de la courbe
G, , on aura : p = -^ ; d'où p*=a + a\
Pour construire a, il faudra donc décrire sur p comme diamètre un demicercle B et prendre le côté du quarré inscrit dans ce cercle B , et l'on aura la
longueur du demi-grand axe de la courbe G,. Or^ il est évident que l'^na : a>~;
donc le sommet du cône («, G.) ou A, sera dans un plan passant par le petit axe de l'ellipse G. ; le cône osculateur A, ne sera donc pas de révolution , puisque l'on sait que tous les cônes de révolution qui passent par une ellipse G, ont leurs sommets situés sur le plan qui passant par le grand axe est perpendiculaire au plan de cette ellipse Q.
Ainsi, le cône directeur de l'hyperboloide osculateur H est déterminé, ei il se trouve démontré que cet byperboloide n'est pas de révolution.
Pour déterminer complètement l'hyperboloide H il faut connaître une seconde directrice du même système que celui auquel appartient la droite A; or, l'on sait que si en un point x d'une génératrice G d'une surface gauche 2 on mène un plan tangent Ta cette surface!, ce plan T coupe 2 suivant une courbe d dont la tangente I au point x est une des directrices de l'hyperboloide osculateur. On devra donc construire, au point x en lequel la droite Ode l'helicoide 2 coupe l'hélice e, le plan tangent T lequel sera déterminé par ta droite G et la tangente 8 au point X de l'hélice e.
Ce planT contiendra la droite i tangente en a; à la. section d faite par ce même plan T dans l'hélicoide 2.
Or : lors même que cette courbe d serait construite on ne saurait pas lui construire directement sa tangente t. Mais si Ton remarque que la droite t cherchée doit être parallèle à une des génératrices du cône directeur A,, il sera facile de construire cette droite ^ sans avoir besoin de construire la courbe 9.
Et en effet :
Menons par le sommet s du cône A, une droite 0| parallèle à , et faisons passer par S| parallèle à et par G. parallèle à G un plan T, (qui dès lors sera parallèle à T) , ce plan T, coupera le cône Ai suivantla génératrice G, et suivantune seconde génératrice i. qui sera parallèle à u
Il suffira donc de mener par le point x une droite ^parallèle à r, pour avoir la seconde directrice droite de rhyperboloîdeosculateur H, lequel sera dès lors engendré par la droite G se mouvant sur les droites A et r et parallèlement au cône directeur A|.
Le demi-angle au sommet du cône A est égal à Tangle sous lequel chaque génératrice G de rhélicoide 2 coupe Taxe A.
Si cet angle devient droit , les cônes directeurs A et A, deviennent un seul et même plan directeur Q perpendiculaireàTaxe A eile filet de vis triangulaire deyieni un filet de vis carré; alors Thyperboloide osculateur H devient un paraboloide osculateur H. ayant le plan Q pour plan directeur.
Ce qui nous montre que le paraboloide osculateur dans ce ca$ Qu'est autre que le paraboloide engendré par une droite s' appuyant sur Taxe A et sur une tangente Oà rhélice e et se mouvant parallèlement au plan Q.
Ainsi le paraboloide de raccordement le long d'une génératrice G d'une surface hélicoide gauche 2 (filet de vis carré) qui a pour directrice l'axe A et la tangente 6 à l'hélicee, n'a pas seulement un contact du premier ordre , tout le long de G, avec la surface 2, mais elle ^ rigoureusement un contact du deuxième ordre tout le long de cette même génératrice droite G , avec la surface gauche 2 {*).
Ce qui précède peut être généralisé de la manière suivante (^^) :
Concevons une surface gauche 2 engendrée par une droite G se mouvant parallèlement à un cône d irecteur du deuxième degré A, ayant son sommet en un point s de l'espace en s'appuyant sur une droite A et sur une courbe arbitraire (f .
(*) Propriété que Pou connaissait ,« mais qui se trouve ainsi démontrée d'une manière nonrelle.
C*) Foyex dans le Bolletin de la Société philomaticnie, sésnce dn 26 mai 1838, la note <iae j'ai publiée, Sur Ut diverses surfaces gauches engendrées par une droite se fnouvant sur deux droites et parailélement à un c&ne d/u second degré.
Pour construire Thyperboloide osculateur H de la surface 1 pour une de ses génératrices droites G , on cherchera le cône directeur A, du second degré de rhyperboloide H. Pour cela on mènera par le sommet s une droite A. parallèle à A , on coupera le cône A par un plan P suivant une section conique s.
Ce plan P coupera la droite A. en un point o. et la droite K génératrice du cône A, laquelle est parallèle à G en un point k.
On construira dans le plan P une section conique e, passant le point o, et ayant en A un contact du deuxième ordre avec e.
Le cône («, e, ) sera le cône directeur A, de rhyperboloide osculateur H, et Ton obtiendra une seconde directrice du même système que A, en construisant le plan T tangent à la surface 2 au point x en lequel la droite G coupe f . Ce plan T passera par G et par la tangente ô en x à la courbe f •
Par le sommet sei la droite K on mènera un plan T, parallèle au plan t ; ce plan T, coupera le cône A, suivant deux génératrices K et K. et en menant par le point X une droite t parallèle à K, on aura en A et < les deux génératrices droites de rhyperboloide osculateur H.
Cet hyperboloide H peutdonc toujours être construit et avec facilité. Si le cône A, est de révolution rhyperboloide H sera aussi de révolution.
Si par hasard le plan T, était tangent au cône A, suivant la droite K , alors les droites i et G se superposeraient.
Alors la droite G ge serait autre que , c'est-é-dire tangente en x à la directrice courbe 9.
Dans ce cas la surfacs 2 aurait pour le point x une infinité de plans tangents. Tout plan passant par la génératrice G serait tangent en x à la surface 2.
La surface 2 offrirait donc une singularité le long de la génératrice G et rhyperboloide osculateur n'existerait pas pour cette génératrice.
§ Vin.
Il y a deux manières de déterminer une courbe plane : la première consiste à construire un certain nombre de points de cette courbe, chaque point étant déterminé séparément et indépendamment des autres; la seconde consiste à construire un certain nombre de tangentes à cette courbe, chaque tangente étant déterminée séparément et indépendamment des autres. Dans le premier cas 9 la courbe est le lieu des points ; dans lé deuxième cas , la courbe est Vetwelappe des tangentes.
Dans beaucoup de questions, il est utile de construire une courbe comme étant V enveloppe de ses tangentes.
Il n'est donc pas sans intérêt de savoir construire une suite de tangentes à une section conique donnée par deux tangentes et ses points de contact et un troisième point situé dans Tangle des tangentes.
Lorsque l'on a résolu pour le cercle ou une section conique particulière G un problème de relation de position , on peut toujours faire passer, comme on le dit, cette relation de position sur toutes les autres sections coniques; et , pour cela faire, on considère la section conique particulière G comme la base d'un cône A ayant pour sommet un point s arbitrairement placé dans l'espace, et Ton fait passer par ce point s et par toutes les lignes du système plan , du système tracé dans le plan de la courbe G , des plans ou des cônes , et l'on coupe tout le nouveau système de l'espace par un plan P. Ce plan P coupe le cône A suivant une eUipse, une parabole ou une hyperbole; on obtient la relation de position qui existe pour chacune de ces sections coniques entre les diverses /î^« situées sur le plan sécant P. Et Ton voit que par ce moyen on n'a besoin de démontrer une relation de position que pour une dessectiom coniques^ pour l'obtenir immédiatement pour toutes les autres.
Lors donc que l'on veut résoudre un problème du genre des relations de position , on doit choisir la section conique pour laquelle la solution est la plus simple et la plus facile, et ensuite au moyen d'un cône on fait passer la propriété démontrée sur toutes les antres sections coniques.
C'est ainsi que l'on fait pour les propriétés des hexagones, ou pentagones . ou quadrilatères inscrits à une section conique; on démontre d'abord les propriétés pour l'ellipse^ et l'on feit passer ensuite ces propriétés sur les autres sections coniques au moyen d'un cône auxiliaire (^).
Nous allons appliquer cette méthode à la oonstruction d'une suite de tangentes à une section conique donnée par deux tangentes et ses points de contact sur ces tangentes et un troisième point situé dans l'angle des tangentes.
On sait que si l'on a deux droites A et B se coupant en un point o (fig. 98) , si l'on porte, à partir du point o, des divisions égaies entre elles, oa\ dd\ d'à sur A, et ob'\ b%\b'b sur B ; les divisions de A étant égales ou inégales à celles de B ; les droites db\ a"b'\ seront les tangentes d'une parabole P, ayant A et B (lonr tangentes et les points €i et 6 pour points de contact avec ces tangentes.
(♦) Voir mon eoun de géométrie descriptive , lithographie pour les élèves de l'École centrale dei arta et mannfactiiref.
Si donc (fig. 99) on a une parabole P et deux tangentes A et B aux points a et 6 de cette courbe, ces deux tangentes se coupant en un point o , pour mener, par le point b\ situé sur la tangente B, une seconde tangente à la courbe P, il Êiudra porter sur A à partir du point o, une longueur oa' calculée au moyen de la proportion :
oa : bV : : oa : ob.
Et l'on est conduit à cette proportion, parce que (fig* 98), les droites o6, a%\ db" sont parallèles.
11 nous suffira donc défaire passer sur toutes les sections coniques la propriété reconnue vraie pour la parabole.
GonccYons un cône de révolution {fig. 100) ayant la cercle B pour base sur le plan horizontal et le point z pour sommet.
Coupons ce cône par un plan parallèle à la génératrice G laquelle est parallèle au plan vertical de projection , 'nous aurons pour section une parabole P.
Menons en son sommet a une tangente, laquelle sera horizontale.
Etconstruisons au point a , en lequel la courbe P coupe le cercle B , la tangente à cette parabole P.
Les deux tangentes aux points a et d de la courbe P se couperont en un point o.
Divisons la tangente m en n parties égales entre elles et aussi la tangente od en n parties égales entre elles.
Les droites axi^ bb\ oc, seront parallèles et les droites cb\ bc\ seront des tangentes à la courbe P.
Gela posé :
Menons par le points, sommet du cône une droite K, parallèle à la droite K qui unit les points a eta^de la courbe P; la droite K, percera le plan horizontal en un point p.
Et tous les plans passant par le sommet s et les parallèles ad^ bb\ cc\
auront leurs traces horizontales Q , Q', Q"^ passant par le point p et par les points a , 6*, c*, 0' en lesquelsles droites ad^ bb\ cc'j parallèlesà Kpercent leplan horizontal.
Tous les points a", 6% c*, d seront sur la trace horizontale du plan de la courbe P, laquelle trace sera perpendiculaire à la ligne de terre et tous ces points seront équidistants entreeux } en sorte que Ton aura : a'**î=6V=:cfo'.
Le plan tangent mené au cône par la génératrice sa , aura sa ti^ce tangente en a, au cercle B et les droites Q, Q', Q" couperont cette trace en des points a.» b, , c„ o, qui seront aussi équidistants entreeux, puisque lesdroitesaV eta, o, sontparallèles.
Si Ton mène par la génératrice m' un plan tangent au cône, il passera par la tangente od en d à la parabole P, et sa trace do^ sera tangente en d au cercle B.
Et celte trace a'o, coupera les droites Q , Q', Q", (}"' en lespoinis a , r, r\ o, tels que les droites a'o, , rc. , r'b^ o^a^ seroot des tangentes au cercle B.
IlsuflSt de jeter les yeux sur F^ptira et d'y suivre les constructions pour êlre assuré de Texactitude du résultat énoncé ; car il suffit de voir que les droites a'o^ rc^ , r'b,^ 0, a, sont les traces horizontales de plans passant par le sommet s et par les tangentes a^o , b'cy cb, oak la parabole P, et que dès lors ces plans sont tangents au cône, et que dès lors leurs traces horizontales doivent être tangentes au cercle B , base de ce cône.
De ce qui précède , on peut donc conclure pour le cercle y les constructions suivantes.
I. Étant donné {fig. 101) un cercle B on mènera aux extrémités aei b d'un de ses diamètres deux tangentes, dès lors parallèles, aq et bp.
On unira un point m du cercle B avec le point a ; la droite ma coupera bp en un point p.
On mènera au point m la tangente mq au cercle B, laquelle coupera aq en un point q.
Gela fait : si l'on divise la droite aq enn parties égales entre elles par des points de division équidistants entre eux , savoir, 1,2,3,... et si l'on mène les diverses
tangentes pA, p^, p.3, elles couperont la tangente mq en des points 3', 2', 1^
tels qu€f les droites 1,3^ 2,2^ 3,3", seront tangentes au cercle B.
Si le point m (Jig. 102) choisi sur le cercle B, est à l'extrémité du diamètre perpendiculaire au diamètre ab , les constructions seront les mêmes , seulement on remarquera que le point p situé sur la tangente bq sera tel que l'on aura bp ç=iab.
II. Pour YetUpse , les constructions seront identiquement les mêmes que pour le cercle , si Ton considère le grand axe ou le petit axe ou un diamètre quelconque comme remplaçant le diamètre ab du cercle B dans le cas indiqué par la fig. 101 .
Mais dansleca^ analogue à celui indiquéy!^. 101, les diamètres perpendiculaires entre eux ba et mn du cercle devront être remplacés pour Vellipse par un système de diamètres conjugués.
Il est facile de se convaincre de l'exactitude des résultats énoncés ponv Vellipse, car il suffit de considérer le cercle B comme la base d'un cylindre de révolution et de mener par les diverses droites du système (fig. 101 et 102; des plans parallèles aux génératrices droites de ce cylindre , et de couper ensuite tout le système de l'espace par un plan quelconque ; on obtiendra une ellipse pour section dans le cylindre et une suite de droites pour sections dans les divers plans verticaux qui auront évidemment entre elles les relations de position décrites ci-dessus.
III • Pour V hyperbole les constructions seront les mêmes que pour Vellipse] on
pourra prendre pour ab l'axe réel ou uo diamètre réel , et un point m sur l'une
des deux branches. Seulement on remarquera que les droi les 4, i', 2, 2' qui sont tangentes à la branche sur laquelle on a pris le point m , ne se croisent pas dans
l'intérieur de ranglemçacomme pour le cercle (yîy. 101) : cela tientà ce que le point
p est situé dans l'intérieur de Tangle mqa pour V hyperbole {fig. 103), et hors de cet angle pour le cercle et Y ellipse (fig. 102).
