Construire une section conique tangente à cinq droites

2. Construire une section conique passant par un point et tangente à quatre droites.

Mais nous savons que ces deux problèmes peuvent se résoudre au moyen de la théorie des polaires , par des constructions graphiques exécutées sur le plan même de la courbe cherchée et sans avoir besoin d'employer la construction d'un cône, jet ainsi sans avoir besoin de passer dans l'espace»

Mode de solution à employer pour ta V^ série.

' Sur la droite qui unira deux des points donnés m, et m,, on construira un

cercle C ayant la droite m,m^ pour diamètre et dont le plan sera vertical, et Ton prendra ce plan pour plan vertical de projection. Pour le problème i :

On regardera chacun des points m,, m^ , m, comme le sommet d'un cône ayant le cercle C pour base.

On aura donc trois cônes 2,, 2^, 2,.

Les deux cônes 2, et 2^ se coupant déjà suivant le cercle C se couperont encore suivant une section conique E.

Les deux cônes 2, et 2, par la même raison se couperont suivant une section conique E', et les deux cônes 2^ et 2, par la même raison ie couperont suivant une section conique E'\

Or, l'on sait que la section conique S cherchée, et qui est celle qui doit passer par les cinq points donnés m,, m„ m,, m^, m,, et le cercle C ayant une corde commune m,m^y ne peuvent être euTeloppées que par deux cônes K et K', par conséquent les trois courbes E, E", E" se couperont en deux points «et s, qui seront les sommets des cônes K et K'.

Or, l'on peut déterminer œs points s et s' sans avoir beioin de construire les courbes £, E\ E"] et en eAt :

On construira tt*ois points de la courbe E «t trois points de la courbe E", on coniiallra dès lors les plans de ces deux courbes; on pouira déterminer la droite D intersection de ces deux plans ^ et cette droite D par son intersection avec l'un des trois cônes 2,, 2^ , 2, déterminera les points s et s'.

Il ne restera plus qu'à chercher l'intersection du cône K ou du cône K' par le plan horizontal de projection pour avoir la section conique 6 passant par les cinq points donnés «ur le plan horizontal.

Pour le Problème 2 :

Étant .donnés les quatre points tn^jm^jm^, m^ et la droite B^ nous, tracerons le

cercle G sur la corde m,m, comme diamètre^ par la droite B nous mènerons un plan T tangent au cercle G en un point p ; ce plan T contiendra les sommets s et / des deux cônes K et K^

Nous regarderons tes points m, et m^ comme les sommets respectifs des deux cônes 2, et 2^ ayant le cercle G pour basecommune, et nous déterminerons le plan P de la courbe E , intersection de ces deux cônes 2, et 2^.

Le plan P coupera le plan T suivant une droite D qui contiendra les sommets s' et $, et ces sommets seront les points en lesquels la droite D percera l'un et l'autre cône 2, , 2^.

Pour le Problème 3 :

Étant donnés les trois points m, , m, , ii^ et les deux droites B. et B,, sur m,m^, comme diamètre nous construirons le cercle G.

Par B, et B. nous mènerons deux plans T, et T, tangents au cercle G ; ces deux plans T, et T, se couperont suivant une droite D qui contiendra les sommets «et*', »

Par ladrorle D et le point m, nous ferons passer un plan X lequel coupera le

cercle G en deux points x, , j;,; la droite xjn^ coupera la droite D au point s y et la droite xjn^ coupera la droite D au point s\

Pour le Problème A :

Étant donnés les deux points m. , m, et les trois droites B. , B,, B,, nous construirons surent, comme diamètre le cercle G.

Parles droites B,, B„ B, nous mènerons trois plans T. , T., T, tangents au cercle G ; ces trois plans se couperont en un point s qui sera le sommet d'un cône qui , ayant le cercle G pour directrice , sera coupé par le pian horîzonul suivant une section •conique € passant par les deux points donnés et tangente aux trois droites données.

Mais il faut remarquer que toutes les foisquepar use droite on mène un plan tangent à un cercle , on a toujours deux plans tangents passant par cette droite. Dès lors poui* la solution du problème proposé, il faudra mener les pians de manière à ce qu'ils soient tous tangents au demi-cercle situé au-dessus du plan horizontal ou lous tangents au demi-cercle situé au-dessous du plan horizontal.

Mode de êoluiion peur la 2"" série.

On construira un cercle C ayant pour tangente la droite sur laquelle se trouve un point de contact; on prendra ce cercle G de rayon arbitraire et son plan qui sera mené perpendiculaire au plan sur lequel sont tracées les données du problème sera pris pour plan vertical de projection. Ainsi :

Pour le problèmo^ô :

Étant donnés quatre droites B., B., B,, B^ et un point de contact m, sur B, on construira un cercle C d*un rayon arbitraire , dont le plan sera vertical et ayant la droite B.pour tangente au point m..

Ensuite par chacune des Irois droites B. ^ B, « B^ on mènera des plans tangents au cercle C lesquels se couperont en un point s qui sera le sommet du cône K qui ayant le.cercle C pour directrice sera coupé par' le plan horizontal suivant la section conique demandée.

On doit remarquer qu'ici il n'y a pas d'embarras , car par chaque droite on ne peut mei^r qu'un seul plan tangent au cercle C puisque le second plan tangent est le plan horizontal de projection.

Pour le problème 6 :

Étant dcMinés trois droites B., B., B,, un point de contact m, sur B, et un point Hy nous q)nstruirons le cercle C vertical et tangent à B, au point m, ; nous mènerons par les droites B, et B, deux plans tangents au cerclé C et se coupant suivant une droite D ; nous ferons passer par la droite D et le point n un plan X qui sera forcément tangent au cercle C en un point x (parce que deux sections coniques qui ont une tangente commune ne peuvent être en veloppées que par un seulcône).

La droite nx coupera la droite D en un point s qui sera le sommet du cône K.

Pour le problème 7 :

Étant donnés trois droites B., B,, B, et deux points de contact m, sur B. et tn^ sur B,, nous tracerons un cercle C vertical et ayant en m, la droite B, pour tangente.

Par les droites B^ et B, nous mènerons deux plans tangents T. et T, au cercle C, ces plans se couperont suivant une droite D, le plan T, touchera le cercle C au point p, et le plan T, touchera ce même cercle au point p,.

Nous unirons les points n et p, par une droite qui sera une génératrice du cône K et viendra couper la droite D en un point s qui sera le sommet de ce cône K.

Pour le problème 8 :

Étant donnés deux droites B. et B,, deux points n, et n.et un point de contact m, sur B, j nous construirons le cercle G vertical et tangent à la droite B. au point m..

Nous mènerons parla droite B^ un plan T, tangent au cercle G, ce plan T, contiendra le sommet s du cône K.

Nous regardons les points n, et n, comme les sommets de deux cônes 2. et 2, ayant le cercle Gpour base commune, ces deux cônes se couperont suivant une section conique dont, au moyen de trois points, nous déterminerons le plan E, et ce pian coupera le plan T, suivant une droite D qui contiendra le sommet s.

Menant par la droite D et le point n, un plan X , ce plan sera tangent au cercle G en un pointa; (puisqu'il ne peut y avoir qu'un seul sommet s) , et la droite n^x coupera la droite Dau point s qui sera le sommet du cône K.

Si l'on menait par la droite D et le point n. un plan X., ce plan toucherait le cercle G en un point x„ et la droite njx^ couperait forcément la droite D au même point 8 y sommet du cône K.

Pour le problème 9 :

Étant donnés les deux droites B, et B,, le point n et les points de contact m, et m, situés sur les droites B, et B^, iious construirons le cercle G vertical et ayant au point m, la droite B. pour tangente.

Par la droite B, nous mènerons un plan T, tangent au point p, au cercle G; la droite mj>, sera une génératrice du cône K.

Par la droite mj?, et le point n nous mènerons un plan X, ce plan coupera le cercle G aux points p. et x, et la droite nx coupera la droite mjp^en un point s qui sera le sommet du cône K,.

Pour le problème 10 :

Étant donnés la droite B, un point de contact m sur B et trois points i, ? n,, n^ nous construirons le cercle G vertical et tangent à la droite B au point m.

Nous regarderons les trois points n, , n,, n^ comme les sommets de trois cônes 2, , 2., 2, ayant le cercle C pour base commune.

Ges trois cônes se couperont deux à deux suivant trois courbes planes E , ly, E"y dont les trois plans secouperont suivant une seule et même droite D, et comme il ne peut exister qu'un sommet s , cette droite D sera une tangente commune aux trois courbes E, E', E", et le point de contact commun entre ces trois courbes sera le sommet s du cône K.

Pour construire ce points, sans avoir besoin de construire les courbes E, E'^ E'\ la droite D étant déterminée, nous mènerons par la droite D et l'un des trois

poiats n,9 n^, n, (le point n. par exemple) un plan quiloiicliera le :OinolerBeB un point x et la droite xn. cospera la droite D en un- point rqui.aera le:$omniet du cône K.

D'après ce qui précède, il eetdonc toujours possible de conslroire parpoînlf , et en se servaqt des méthodes de la géométrie descriîpiîve, une section conique assujettie aux cinq conditions établies dans les dix problèmes préeéd^nts.

Maintenant nous pouvons arriver facilement à la solution de digéra proUémes qui se présentent fréquemment dans la pratique des arts. .Et iainai, létant donnée une section conique par cinq conditiona, nous pourrons, tam tracer la courbe: V construire les4>oint8 en. lesquels elle est coupée par une droite «donnée; 2*" mener par un point donné une tangente à' la «ourbe, et déterminer le point de contact; 3"* mener à la courbe une langente qui fasse, avec une droite donnée de position , un angle donné, et, comme caroUcireêj construire une tangente parallèle ou ^perpendiculaire à une droite donnée.

Et ces divers problèmes deviennent. faciles, car il suffira de roonsiruire le sommet « du cône K, qui a pour trace horizontale la section conique € donnée par les cinq conditions^ et le cercle C, qui, situé dans le plan vertical, sert de directrice au cône K ; alors par le sommet $ et le point p par lequel on v^ui mener une tangente à la section conique 6, on fera passer une droite L qui percera le plan vertical du cercle C en un point 9, et en menant par Je point 9 «me tangente t au cercle G, le plan (s, t), qui sera tangent au cône K, coupera le ,plan horizontal suivant une droite 8, qui sera la tangente demandée.

Pour mener à la section conique 6 une tangente. 6 parallèle à une droite donnée B, il sufBra de mener par le sommet s du cône K une droite D parallèle à B; la droite D percera le plan vertical du cercle G en un point d; par ce point d on mènera une tangente i au cercle G , et le plan («, l) passera par la droite D et sera tangent au cône K. Ge plan {s, t) étant tangent au cône K, coupera dès lors le plan horizontal suivant une droite 6 tangente à la section conique ë ; et comme ce plan (r, i),passe par la droite D, parallèle à la droite B, la droite sera parallèle à la droite B. Donc, etc.

En déflnitive , on voit que ces divers problèmes se résolvent en .considérant la section conique g comme étant la projection conique. (ou projection centrale ^ le point s étant le centre de projection) d'un cercle G situé dans un plan vertical et cette courbe 6 devant être tracéesur un plan horizontal ; on pourra donc. modifier les solutions précédentes et les simplifier en y appliquant les règles de h perspective , le plan du cercle G étant le tableau et le plan de la courbe 6 étant le plan géométraL