DE LA SPHÈRE SATISFAISANT A QUATRE CONDITIONS

Lorsque Ton propose de construire une sphère sathfaisant à certaines condi^ tions , on demande évidemment la potUion du centre et la langueur du rayon de la sphère.

Supposons que les conditions soient pour la sphèrede passer par certains points , ou d'être tangente à certaines droites ou à certains plans.

Quatre conditions I comme on le sait, suffisent pour déterminer la sph%re, on pourra donc avoir (pour construire le centre et le rayon d'une sphère satisfaisant à quatre des conditions indiquées ci-dessus) à résoudre l'un des quinze problèmes suitants :

Problème i. Sphère passant par quatre points.

— 2. passant par trois points et.taiigènte à une droite.

— 3. passant par deux, points et tangenteà deux droites.

— 4. passant par un point ettangeDtei trois droites.

— 5. tangente à quatre droites.

— 6. passant par trois points et tangente à un plan.

— 7. passant par deux points et tangente à deux plans.

— 8. passant par un point et tangente à trois plans.

— 9. tangente à quatre plans.

— iO. tangente à trois droites et un plan.

— il. tangente à deux droites et deux plans.

i2. tangente à une droite et trois plans.

— i3. passant par deux points et tangente à une droite et à un

plan.

— 14. passant par on point et tangente à deux droites et à un

plan.

— 15. passant par un point et tangente à une droite et à deux

plans.

On sait : 1* que le centre d'une sphère passant par d^nx points est situé sur le lieu jréomélHfue des points deTeapace égalefnent distants des deux points donnés; et lorsqu'on suppose : 2*" que la sphère passe par un point et se trouve tangente à

une droite el à un plan ; et 3*" que la sphère est assujettie à être tangente à deuï droites, ou à deux plans, ou à une droite et à un plan; on sait aussi que dans ces divers cas le centre de la sphère est toujours situé sur le lieu géométrique des points de l'espace égalemenl distants; 2"* du point et de la droite, ou du point et du plan , et S*" ou des deux droites , ou des deux plans , ou de la droite

et du plan.

La première chose à faire est donc de rechercher la nature géométrique de ces divers lieux géoméiriques , puisque nous devrons nous servir de ces lietix pour obtenir la solution des problèmes proposés.

f. Lieu géométrique des points de r espace également distants de deuxpwnts donnés.

Étant donnés deux points m et m' situés dans l'espace, on sait que la surface demandée est un plan P mené perpendiculairement à la corde qui unit les deux points et en son milieu.

II. Lieu géométrique des points de l'espace également distants de deux plans donnés.

Étant donnés deux plans Q et Q\ on sait que la surface demandée est composée de deux plans P et P, passant par la droite intersection des deux plans donnés Q etQ', et divisant en deux parties égales, savoir : le plan P, Tangle a formé par les plans Q et Q' et le plan P, Tangle supplémentaire de a.

Les deux plans P et P. sont rectangulaires entre eux.

Si les deux plans donnés Q et Q' sont parallèles, la surface ne secompose plus que d*un seul plan P équidistant des deux plans donnés et dès lors qui leur est parallèle; le second plan P, se trouve transporté à l'infini.

III. Lieu géométrique des points de l'espace également distants de deux droites données.

Étant données deux drokes D et D', il peut se présenter deux cas.

Premier cas. Les deux droites étant situées dans un même phu:. Lorsque deux droites^ D et D' sont situées dans un même plan X, on sait f ) que la surface se compose de deux plans P et P, passant par le point d en lequel se coupent les droites données, ces deux plans étant perpendiculaires au

(*) Foir le chapitre IV de U Théorie géométrique des engrenages , etc.^ ournis^ que j^ai publié en I80.

^r^^^^'mm'^'^^^^''^^^^^f^^^^mmm^r^immt^m^f^mKmmmmmftif^m

plan X et divisant en deux parties égales , le plan P, Tangle a des deux droites données D et D' et le plan P, , l'angle supplémentaire de a-.

Si les deux droites D et D' sont parallèles , la surface se réduit à un seul plan P équidistant des deux droites données, le second plan P, se trou vànl transporte à rinfini.

Deuxième cas. Les deux droites n'étant pas situées dans un même plan.

Lorsque deux droites D et D' ne sont pas situées dans un même plan , on sait que {*) lasurface demandée n'est a u tre qu'un paraboloîde hyperbolique Z, ayant son sommet situé au point o milieu de la plus courte distance existant entre les deux droites données, et dont Paxe infini est dirigé suivant cette plus courte distance, et qui a pour ses génératrices droites, se croisant au sommet o, deux droites G et K qui sont rectangulaires entre elles et font des angles égaux avec les droites données. Lies deux plans directeurs R et R' de la surface 1 soRt 9 l'un R perpendiculaire à la droite G , et Tautre R' perpendiculaire à la droite K.

Pour que le paraboloîde 1 soit complètement déterminé , il faudra construire une seconde génératrice G' du système G ou une seconde génératrice K' du système K.

Pour cela, on mènera un plan X parallèle au plan R, ce plan sera perpendiculaire à la droite G et la coupera en un point g.

Les droites D et D' couperont ce plan X , la droite D en un point a et la droite D' en un point a\

Les droites D et D' se projetteront sur ce plan X pris pour plan horizontal de projection suivant deux droites D'^ et D'^ qui seront parallèles et équidistantes du point 9; de plus les deux droites D et D' feront des angles égaux avec le plan X.

En sorte qu'en prenant le plan qui passe par les droites G et K pour plan vertical de projection, les droites D, D' et G s'y projetteront suivant les droites D^, D'^, G% et la droite G"" sera perpendiculaire à la ligne de terre et partagera en deux parties égales l'angle a formé par les droites D"" et D'^ , cet angle a étant évidemment égal à celui que font entre elles les droites D et D' dans l'espace.

Gela posé :

11 faudra chercher sur le plan horizontal X un point x, tel qu'il soit également

distant des deux droites D et D", et la droite 90: ne sera autre que la droite K' cherchée. •

(*) Foir le chapitre IV de la Théorie géométrique des engrenages, etc.

K! étant déterminée, si Ton fait moinroir la droite G sur K et K' et parallèlement au plan X , on engendrera le paraboloîde 2.

Or, pour constraire ce point x, nous mènerons dans le plan X et par le point A une droite N perpendiculaire à D^, et nous chercherons sur N un point x tel qu'il soit également distant du point a et de la droite D^

Cette même question devant se représenter dans la solution de plusieurs des quinze problèmes à résoudre , nous allons la traiter complètement.

iHtOBLÈME 1. Étant donnée dans t^espace un point m et une droite D^ trouver sur une droite B {nssujettie à couper la droite D) un point x également disUmi et de ta droite D et du point m .

Concevons le plan X passant par le point m et la droite D.

Prenons ce plan X pour plan horizontal de projection {fig. 107 ).

Prenons pour plan vertical de projection un plan perpendiculaire à la droite D. La ligne de terre sera dès lors perpendiculaire à D.

Projetons sur les plans de projection la droite B et rappelons-nous quelle coupe la droite D ; nous aurons B' et B*.

Cela posé :

Concevons un pointa; si tué sur B; sa distance au point m sera la droite tnx et sa distance à la droite D sera la perpendiculaire N abaissée de- ce point x sur la droite C ; dès lors la projection N^ de celle perpendiculaire N sera perpendiculaire àD. .

Désignons par p le point en lequel le droites N et D se coupent, on devra avoir mx = px et par suite ma^= pa?.

Le problème deîespaceest donc ramené à un problème dans dn«plan, car il suffîl de chercher sur la droite B^ un point xf" tel que ses distances au point m et à la droite D soient égales.

Pour trouver ce point i^, on peut employer deux constructions.

Pretniêre aantiructimi. doBStruisofts la parabole 6 ayant lepoiiift m pemr foyer et la droite D pour directrice (fig. 107 ); celte courbe 6 coupera la droite B* en de«x points ou en un seul point, ou ne la rencontrera pas.

A^inai kipreUèmeiuuradeuxfiohitîoM ou 4ine seule solution oaancune solution*, cela dépendra des relations de .position qui eKiâteront dans l'espace entre le point m et les droites D et B.

Deuxième construction. Le point x!" {fig. 108), que Ton cherche sur B*^, est évidemment le centre d'un cercle C passant par le point m et tangent à la droite D.

Le problème à résoudre est donc celui-ci :

Constrtàre un cercle G passant par un point m, tangent à une droite D et dont le centre sait situé sur une droite B^.

Pour résoudre ce problème y nous abaisserons du point m une perpendiculaire sur B^ ; celte perpendiculaire coupera B^ en un point </ et D en un point s.

A partir du point q nous prc|pdrons un point m' tel que l'on ait qm = qm\

Évidemment le point rn appartiendra au cercle G.

Il suffira donc de trouver le point en lequel le cercle G touche la droite D.

Désignons ce pointpar y. On devra avoir :

sy i=ism. sm.

Il suffira donc de construire une moyenne proportionnelle aux droites stn et sm, et à porter celte moyenne proportionnelle de s en y ou de s eny (k droite et à gauche du point s), et Ton aura en y et y^ les points de contact de deux cercles G et G' passant par le point m ayant leur centre sur B* et tangents à 1^ droite D^ l'un au point y et l'autre au point y.

Pour construire les centres de ces cercles G et G", il suffira d'élever en y et en y des perpendiculaires à D, lesquelles couperont B^, la première en un point a^ et la seconde en un point x"", et ces points seront les centres, le premier du cercle G , et le second du cercle G'.

Si le point s est situé entre les points m et m', le problème est impossible.

Si le point m' n'est autre que le point s, ce point m' est le point de contact du cercle cherché et de la droite D» et le problème n'a qu'une seule solution.

Problèm B.2« Étant donnés deux droites B el D ^t ne serencontrent point dans F espace et un pfnni m sur la droite B , chercher sur cette même droite B , un point x tel que ses distances au point m et à la droite D soient égalm.

Par le point m tt la droite D , nous ferons passer un plan X, que nous prendrons pour plan horizontal de projection, dès lors nous connaîtrons sur ce fdan X la droite B^ projection de B, et en prenant un plan vertical de pfojection per^ pendiculaire à D , noos connatlrons B''.

Ainsi sont écrites graptAquement les données de la question, et le problème proposé dans l'espace se trouve ramené à un problème dans le plan, car il suffit de chercher sur B* un point aï* tel que les distances à ce point m et à la droite D soient égales.

Pour trouver ce point oi* il suffira de mener par le point m et dans le plan X une droite K perpendiculaire à B*, laquelle coupera D en un points. On divisera

Tangie (K, D) en deux parties égales par une droite L, qui. coupera B* au point af" demandé.

Et comme les droites K et D font deux angles supplémentaires Tun de Fautre, on aura deux droites K et par suite deux points j:;^! et le problème aura toujours deux solutions.

La solution du premier problème nous servira plus tard, lorsque nous résoudrons les problèmes relatifs à la sphère, et dans lesquels les données sont des points et des plans.

Quant au second problème, il est posé en des termes trop généraux pour le cas qui précédemment devait être résolu.

Car on doit remarquer que les données de la question étaient telles que les droites B et D sont rectangulaires entre elles.

Dès lors, si par B on mène un plan perpendiculaire à D , il sera perpendiculaire à tout plan passant par D et par conséquent au plan X passant par D et le point m : dès lors B^ sera perpendiculaire à D {fig. 109).

Il suffira donc, pour résoudre le problème, de prendre le point p en lequel B* coupe D et de prendre le milieu de pm, et Ton aura le point oc!' demandé.

Et dans ce cas tout particulier, le problème n'a plus qu'une seule solution et en a toujours une.

Nous avons dit précédemment que le lieu géométrique des points de l'espace également distants des deux droites situées ou non situées dans un même plan était connu.

Et nous avons, dans une note au bas de la page, renvoyé à un ouvrage publié en 1842, dans lequel la solution se trouve exposée. Cette solution a été donnée dans cet ouvrage en employant Vanalyse de Desgartës ; nous reproduirons à la fin de ce chapitre la même question , et nous la traiterons encore par Vaxualyse , mais avec plus de développements quQ. dans l'ouvrage cité.

Toutefois, il n'est pas sans intérêt et aussi parée que cela rentre tout à fait dans nos idées , de faire voir que la géométrie descriptive n'est pas aussi bornée qu'on paraît trop génécalement le supposer et de donner ici une démonstration purement géométrique relativement à la nature géométrique de ces lieux , en employant les méthodes graphiques que nous fournit la géométrie descriptive.

Car d'ailleurs, on sera ainsi conduit à mieux apprécier la différence qui existe entre l'esprit des méthodes analytiques et l'esprit des méthodes graphiques.

Et il faut bien le reconnaître, Vintelligence ne travaille pas de la même manière lorsqu'on cherche la solution d'un problème par Vanalyse, ou qu'on la cherche par la géométrie descriptive.

Lieu des points de l'espace également distants :

V De deux droites qui se coupent.

Soient données deux droites D. et D. se coupant en un point s {fig. liO ).

Désignons le plan de ces deux droites par P, et par a Tangle que ces droites comprennent entre elles.

Traçons dans le plan P deux droites B et B' divisant en deux parties égales , Tune l'angle « et l'autre l'angle a supplémentaire de «.

Je dis que tous les points des droites B et B' sont également distants des deux droites D. et D,.

Et en effet :

Prenons sur B un point quelconque m, abaissons de ce point deux perpendiculaires my et my' sur D, et D., ces deux perpendiculaires seront les distances du point m aux droites D. et D, , et ces perpendiculaires seront égales , puisque les triangles sym et sym sont évidemment égaux. On pourra en dire autant de chaque point de B et B", donc , etc.

Cela posé :

Menons par le point m une droite K perpendiculaire au plan P. Prenons sur K un point arbitraire z.

Le plan passant par le point z et la droite my sera perpendiculaire à D, et coupera D, au point y; de même, le plan passant par le point z et la droite my sera perpendiculaire à D, et coupera D, au point j('; dès lors, zy et zy' sont respectivement perpendiculaires à D, et D. et mesurent la distance du point z à chacune de ces droites D. et D .

Or, les triangles rectangles zym et zy'm sont égaux, donc : zy = zy' ; donc tous les points de la droite K sont également distants des deux droites D, et D,.

En faisant mouvoir la droite K sur B et parallèlement à elle-même, on engendrera un plan R dont tous les points seront également distants des deux droites D. et D..

Par les mêmes raisons le plan R'^ passant par B' et perpendiculare au plan P aura tous ses points également distants des deux droites D, et D,.

Les deux plans R et R', lieu des points également distants dès deux droites données, se couperont suivant une droite L passant par le point s et perpendiculaire au plan P.

2"* De deux droites non situées dans un même plan.

Soient données deux droites D et D^ non situées dans un même plan. Nous

pourrons toujours {fig* iil) , prendre les plans de projection de telle manière que le plan vertical soit parallèle aux deux droites D et D' et dès lors D* et D'^ seront parallèles à la ligne de terre.

Concevons la droite L plus courte distance entre les deux droites D et D", elle sera perpendiculaire au plan vertical de projection -, nous pourrons donc toujours prendre pour plan horizontal un plan quelconque passant par L.

Les deux projections D'^et D'"" comprennent entre elles un angle a qui est précisément égal à Tangle que les droites D et DTont entre elles dans l'espace.

Divisons cet angle en deux parties égales par la droite B"^ et prenons la ligne de terre perpendiculaire à B"", dès lors le plan horizontal sera fixé de position dans l'espace.

Désignons par s et s les points en lesquels la plus courte distance coupe les droites D et D^ et prenons le milieu de cette plus courte distance ss. Ce point milieu sera la projection horizontale B* de la droite B, laquelle fait , comme on Ta dit ci-dessus , des angles égaux avec les droites D et D^ Par ce même point milieu menons la droite B' perpendiculaire à B , cette droite B' sera tout entière dans le plan horizontal et fera aussi des angles égaux avec les droites D et D', sa projection B'"" qui ne sera autre que la ligne de lerre, divisera en deux parties égales l'angle a! supplémentaire de Tangle a compris entre D^ et D'\

Cela posé.

Concevons un plan X parallèle au plan horizontal.

Ce plan coupera la droite B en un point m,

Traçons dans ce plan X une droite 1 perpendiculaire au plan vertical ; par cette droite I nous pourrons mener deux plans Net N' respectivement perpendiculaires aux droites D et D'.

Le plan N coupera D en un point j^; le plan N' coupera D'en un point y\

Et si nous concevons deux plans P etP' passant respectivement par D et D' et parallèles au plan vertical de projection , la droite I percera le plan Pau point a et elle percera le plan P' au point a.

Faisons tourner les deux plans N et N' autour de I pour les amener dans le plan X. Le point t/ viendra en t/, et le point yf viendra en y\.

Unissons les points y^ et y\ par une droite et en son milieu g menons lui une perpendiculaire, laquelle coupera I en un point o. Il est évident que le point o sera paiement distant des points y, et y/, et il est évident dès lors qu'en joignant le point ( construit ainsi que nous venons de le faire) avec les points t/ et y , les droites oy et oy' seront égales. Or, oy est perpendiculaire à D, oy est perpendiculaire à D', donc le point o sera un point de l'espace également distant des deux droites données D et D'.

Nous pourrons mener dans le plan X une suite de droites I , l\ T parallèles

à I,et pour chaeune d'elles constraire les points o, o\ o^, dont les distances

aux droites D et D' seront égales.Tous ces points formeront une ligne ^.

Nous pourrons mener une suite de plans X , X', X", parallèles entre eux, et

pour chacun d'eux nous aurons une ligne ij Ç', ?" Toutes ces lignes tofme-

ront une surface 2 qui sera le lieu des points de l'espace également distanCs des deax droites données D et D'.

Remarquons que toutes ces lignes l, l\ t' s'appuient toutes sur la droite B;

et, en effet, le point m en lequel le plan X coupe la droite B est égaieoient distant des droites D et D^ C'est ce qu'il est facile de voir en supposant que la droite I passe par le point m; en opérant comme nous l'avons fait ei-detsas, on verra que les points o et 9 se eonfondent dans ce cas particulier.

Ce que nous venons de faire par rapport à la droite B, nons pouvons le laire par rapport à la droite B' en menant des plans X, , X/, X/', paralMes entre euK et perpendiculaires à B", et nous trouverions encore une suite de lignes

ixjli j^\ situées sur 4a surface 2 et chacune d'elles passant par un point de

la droite B'.

Gela posé:

Cherchons la nature géométrique de ces diverses lignes Ij^,^", et ^„ t\ H' ;

mais pour y parvenir il est nécessaire d'établir plusieurs remarques préliminaires.

Remairquee préUmimdres.

(Art. 1^). Concevons la suite de plans parallèles au plan fkorizontal,

X , X\ X" {fig. 412) , chacun de ces plans coupera les droites D et D^ en des

points qui seront unis par une droite horizontale s*appuyant sur la droite B, et qui formeront un paraboloîde hyperbolique.

Par chacun des points m.^ m^ m", de la droite B , menons des plans perpendiculaires aux droites D et D', ainsi :

Par le point m passeront deux plans N et N' respectivement perpendiculaires à D et D'.

Par le point m' passeront deux plans N, et N/ aussi perpendiculaires à D et D'. Par le point tn" passeront deux plans N,et N/, aussi perpendiculaires à D etD'. Et ainsi de suite.

Les pians N, N., N., couperont la droite D en des points « , y, «.••••

Les plans N', N/, N/, couperont la droite D en des points «', y\ «

Les plans N et N^ se couperont suivant une droite I passant par le point m.

Les plans N. el N.' se couperont suivant une droite I, passant par le point m'. Les plans N.et N.' se couperont suivant une droite 1. passant par le point m".

Et ainsi de suite. , ^ , , . „

Et toutes les droites I, I., 1., seront perpendiculaires à la droite B, et

perpendiculaires au plan vertical de projection.

Cela posé : . . . j ,

Faisons tourner les plans N et N' autour de la droite I pour les amener dans le

^ Taisons tourner les plans N, et N.' autour de la droite I. pour les amener dans le

plan X'.

Et ainsi de suite.

Les points y et y' viendront en y, et y,' sur le pian X. Les points » et *' viendront en z, et z,' sur le plan X'.

Et ainsi de suite. ...

Et il est évident que les droites »,*/, j.y.' se projetteront sur le plan hori-

zontel en des droites zX\ y/y.'* qui se croiseront toutes au point B* projection de la droite B. ...

(A.RT. 2). Concevons un seul plan X (fig. 113), et dans ce plan une suite de droites 1 , 1', 1", I'"» parallèles entre elles , équidistantes et perpendiculaires au plan vertical dé projection ; supposons d'ailleurs que la droite I passe par le point m en lequel la droite B est coupée par le plan X.

Menons par chacune de ces droites deux plans , l'un perpendiculaire à la droite D , l'autre à la droite D'. Dès lors on aura , sur le plan vertical de projection , une suite de droites perpendiculaires à D'% et dont les portions Va , IV,

l''-J tomprises entre les droites D" et V, iront toutes en diminuant, la

différence entre la première et la suivante étant constante et égale à : ae.

De même les portions de droites rb\ V'b', T'é",... perpendiculaires à D" iront toutes en augmentant^ et la différence entre la première et la suivante sera

constante et égale à : b^d". . ■ „

Mais les deux triangles rectangles a'ae et bVd" sont égaux , ainsi 1 on a

Vd" = ae.

La somme des perpendiculaires abaissées d'un même point sera donc constante

et Ton aura :

fâ-hrb'=^rd.+ fV = 1^ + fV = etc. = A.

Dans le triangle a'ae rectangle en o , on a l'hypoténuse a'e = VI", et cette distance rT'^ est celle qui existe entre deux positions successives des droites 1 , 1', 1", ; désignons par ( cette distance.

Dans le même triangle, ae est la différence qui existe entre deux perpendiculaires, successives, menées à D^'; et en désignant par a l'angle compris entre D' et T>'\ on aura :

ae:=^a'e.co%aea ou ae =: / . cos -.

Ce qui précède étant compris , revenons au problème à résoudre et démontrons que les lignes ^, ^, et ^,, ^/, sont des droites.

Concevons les deux plans N, etN/ respectivement perpendiculaires aux droites D et D' et se coupant suivant la droite T située dans le plan horizontal X qui coupe la droite B en un point m.

Le plan N, coupera la droite D en un point t/., et le plan N/ coupera la droite D' en un point y/ ; concevons sur la droite V le point o également distant des deux points y, ett//.

Désignons par j/ ie point en lequel la droite T perce le plan P' vertical et passant par D^, et par p le point en lequel V perce le plan P vertical et pissant par D ; nous aurons deux triangles opy! et opy^.

Faisons glisser le système des deux plans N, et N/ parallèlement à lui-même jusqu'à ce que la droite V se superpose sur la droite I passant par le point m, et concevons par ce point m deux plans N et N' perpendiculaires à D et D'. Les plans N et N,, N' et N/ se superposent.

En cette position, faisons tourner les plans N et N, (qui sont superposés) autour de I pour les amener dans le plan X ; faisons ensuite la même opération pour les plans superposés N' et N/.

Gela posé , il est évident que les points en lesquels viendront se placer sur le plan horizontal X , les points y, et y/ seront unis par une droite qui se projettera sur le plan horizontal de projection , suivant la droite q.d^ (fig. 443) , et Ton aura ; « 7 -f-«(i,*=: constante = A , en vertu de ce qui a été dit ci-dessus (art. 4*) et les points en lesquels viendront se placer sur le plan X les points en lesquels les plans N' et N, coupent les droites D et D^ seront sur une droite qui se projettera sur le plan horizontal de projection suivant la droite p6*, et Ton aura : s'p -H «*,*= constante = A , en vertu de ce qui a été dit précédemment (art. 4*).

Les droites p6 * et çd* seront donc parallèles.

En vertu du transport des plans normaux N.et N/, le point 0. sera venu en un point o/situé sur I , et dont on déterminera la projection 0/* en menant sur le milieu r de la droite qdj" une perpendiculaire à çptte droite çrf.* et qui viendra couper la droite I* au point o'^j et en ramenant le point o.'^ parallèlement à la ligne de terre et d'une quantité égale à /, on aura le point o'*.

Or, faisant pour chacune des droites V\ T", ce que noua venons de faire

pour r, on voit que Ton aura pour le lieu des points o^, o"^j o'"^ une droite passant

par m*, car le rapport -jjtïk est constant.

Remarquons que la longueur mV* dépend 1" de l'angle que la droite mV fait avec la droite sb\ et 2^ de la quantité n?r qui est égale à é/rf.* qui elle-même est égale à V'd' ou à M . cos . ^ j; et la quantité o%/* est égale à L

Lorsque Ton prendra un autre plan X, la droite analogue de p6/ fera un angle différent avec s$\ en vertu de ce qui a été dit ci-dessus (art. 2), mais la quantité analogue de trl'r restera la même , car Ton peut supposer / constant pour toutes les droites I , I', tracées successivement dans les plans X , X^ X^'

Aiiisi dans chaque plan X, X', X'', on obtiendra une suite de droites Ij

l\ $", qui s'appuieront toutes sur la droite B et qui ferontavec la plus courte

distance ss' des angles différents entre eux.

Laiturface 2 est donc réglée.

Mais ce que nous venons de dire en considérant des plans X , X', X'', perpendiculaires à B j nous pourrons le dire , en consfdérant des plans X. , X/, \'\ perpendiculaires à B', la surface 2 est donc doublement réglée et elle a deux plans directeurs , elle est donc un paraboUnde hyperbolique.

IV..£iett géométrique des points de l'espace également distants d'un potitf et d'un plan.

Étant donnés un point m et un plan P , on peut par le point m faire passer une infinité de plans Y, Y', Y\ perpendiculaires au plan P; tous ces plans Y, Y', Y", se couperont suivant une droite R perpendiculaire au plan P et passant par le point m.

Chaque plan Y coupera le plan P suivant une droite A , et si l'on considère sur le plan Y un point x, et que l'on veuille connaître sa distance au plan P, il suffira d'abaisser de ce point x une perpendiculaire D sur A , laquelle sera parallèle à la droite R , et par suite sera perp^idiculaireau plan P.

Or, le lieu géométrique des points x qui, situés sur le plan Y, sont également distants du point m et de la. droite A est une parabole 6 ayant le point m pour foyer et la droite A pour directrice] sur chaque plan Y', Y'', Y"\ nous trouverons une parabole S', S", 6"', et évidemment toutes ces paraboles sont identiques ,i car elles ont même paramètre; le lieu de toutes ces paraboles sera un paxfiMOde de révolution ayant la droite R pour axe infini ou de rotation et le point m pour /ot/er et le plan P pour plan directeur.

V . Lieu géométrie des points de t'espace également éistanls d'un point et (tune

droUe.

Étant donnés un point m et une droite D, on peut faire passer par ce point et cette droite un plan X. Sur ce plan le lieu des points également distants du point m et de la droite D sera une parabole 6 ayant le point m powo foyer et la droite D pour directrice.

Imaginons un cylindre B ayant pour base la courbe g, et ayant ses génératrices droites perpendiculaires au plan X. Prenons sur ce cylindre B un point x, et considérons le plan X comme un plan horizontal de projection.

Le point x se projettera en a!' sur la courbe 6 , et la droite mx se projettera en m^. La perpendiculaire menée du point a: à la droite D coupera cette droite en un point p; et la droite ps/'j projection de la droite p;x; de l'espace, sefa perpendiculaire à'D.

Or, la courbe g étant une parabole , on aura :

D'où Ton doit conclure que mx =; px.

Donc tous les points x du cylindre B seront également distants du point m et de la droite D. -

VI. Lieu géométrique des points de Fespace également distants dune droite et dun plan. Étant donnés une droite D et un plan P y il peut arriver deux cas, la droite D peut être parallèle au plan P ou percer ce plan.

Premier cas. La droite D étant parallèle au plan P.

Menons un plan X perpendiculaire à la droite D. Ce plan coupera D en un point m et le plan P suivant une droite A. Sur ce plan X le lieu des points également distants du point m et de la droite A sera une parabole 6 ayant m pour foyer et A pour directrice , et de plus , il faut bien le remarquer, si l'on prend un point X sur 69 et si Ton mène de ce point â; une perpendiculaire xp sur A» les droites mxeiocp seront égales , et de plus mx sera perpendiculaire à la droite D et xp sera perpendiculaire au plan P. Les points de la parabole S satisferont donc au problème proposé.

Pour tous autres plans X', X", X'"', perpendiculaires à la droite D, on trou*

vera des paraboles 6', 6'', è"\ satisfaisant à la question. Évidemment toutes

ces paraboles ont même paramètre j et sont parallèles entre elles; elles forment donc un cylindre B ayant la paraboles pour base et section droite , et ayant ses

génératrices droites parallèles à la droite D. La surface demandée sera doue un cylindre parabolique.

Deuxième cas. La droite D perçant le plan P.

Étant donnés une droite D et un plan P , nous pourrons toujours prendre le plan P pour plan horizontal de projection.

Désignons par a le point en lequel la droite D perce le plan -P. Menons par D un plan X perpendiculaire à P.. Ce plan X coupera P suivant une droite A, et si Ton divise en deux parties égales l'angle a, que font les droites D et A , on aura une droite G, dont tous les points seront également distants de la droite G et du plan P ; la droite K qui divisera en deux parties égales l'angle supplémentaire de a satisfera aussi à la question , et les deux droites G et K sont évidemment rectangulaires entre elles.

Gela posé , menons par le point a une droite arbitraire L faisant avec D un angle a, on fera tourner L autour de D et l'on aura un cône de révolution A ayant D pour axe de rotation , et son demi-angle au sommet égal à a.

Menons par le point a une droite Z perpendiculaire au plan P.

Et par le point a une droite L, faisant avec Z un angle complémentaire de a ; la droite L, , en tournant autour de Z , engendrera un cône A. qui sera de révolution , et dont toutes les génératrices feront avec le plan P un angle a.

Les deux cônes A et A. ayant même sommet a, se couperont suivant deux génératrices droites , ou se toucheront , ou ne se couperont pas.

Or, il est évident l"" que les deux cônes se toucheront , lorsque l'angle a sera

égal à l'angle a que la droite D fait avec le plan P ; 2'' que les deux cônes ne se

couperont pas, lorsque Ton prendra a plus petit que a ; et 3"" que les deux cônes

se couperont toujours suivant deux génératrices droites , lorsque Ton prendra a

plus grand que a.

Les deux génératrices d'intersection, l'une G' et l'autre K', satisferont à la question.

Ainsi la surface demandée est une surface conique ayant le point a pour sommet, et il sera facile de construire autant de génératrices droites, que l'on voudra, de cette surfaee conique.

Cherchons maintenant la nature géométrique de cette surface conique. Rappelons-nous que la surface lieu des points de l'espace également distants d'un point et d'un plan, est un paraboUMe de révolution ayant le point pour foyer et le plan pour plan directeur.

Menons par un point m, arbitrairement pris sur la droite D, un plan y perpendiculaire à D.

Construisons la surface paraboloïde ^ , ayant le point m pour foyer et le plan P pour phtn directeur; le plan 7 coupera la surface ^ suivant une section conique, qui sera une ellipse, ou un cercle, ou une parabole 6; cette courbe sera telle, que si Ton prend un de ses points x et que de ce point x l'on abaisse une perpendiculaire xp sur le plan P , et que l'on mène la droite xm , on aura o^m = rcp ;

et comme la droite xtn est dans le plan y ; elle sera perpendiculaire à la droite D; tous les points a: de 6 seront donc également distants du plan P et de la droite D ;

on pourra faire des constructions analogues pour tout autre point m\ m", m'\

de la droite D.

La surface conique, lieu des points de l'espace également distants de la droite D et du plan P, est donc un cône du second degré. Mais si Ton remarque que l'axe du paraboloïde ^ est perpendiculaire au plan P , on voit de suite que le plan 7 , perpendiculaire à la droite D , coupera toujours la surface ^ suivant une^//ip^^, qui aura pour l'un de ses axes la droite unissant les points en lesquels les deux droites G et K seront coupées par ce même plan y.

Passons maintenant à la solution de chacun des quinze problèmes proposés.

Problème i. Construire le centre et le rayon dune sphère passant par quatre points. Désignons les quatre points donnés par m, , m., m,, m^.

On mènera sur le milieu des cordes mfn^y fn,m^, m^m^j qui se coupent en un m^me point m. , des plans Q , Q^ Q'\ respectivement perpendiculaires à ces cordes.

Ces trois plans se couperont en un point 0, qui sera le centre de la sphère, et a droite om^ en sera le rayon.

On aura donc toujours une solution et une seule.

Si les quatre points sont sur un même plan, il faudra considérer les divers plans menés perpendiculairement sur le milieu de toutes les cordes données, en unissant deux à deux les quatre points.^^Si tous les plans se coupent suivant une seule droite D , le problème aura une infinité de solutions ; la droite D sera le lieu des centres de l'infinité de sphères passant par les quatre points donnés, qui dans ce cas particulier seront situés sur une circonférence de cercle.

Si les plans ne se coupent pas suivant une droite unique , le problème n'a pas de solution possible , et, dans ce cas , les quatre points donnés ne sont pas situés sur une circonférence de cefcle.

Problème 2. Construire le centre et le rayon d'une spkère passant par trois points et tangente à une droite.

Désignons les trois points par m,,m^y m, et la droite par D.

Le lieu géométrique pour deux points sera un plan P, et pour un point et la droite ce lieu sera un cylindre parabolique.

Nous construirons donc deux plans P et P' perpendiculaires sur le milieu des

cordes m,m,, mjm^.

Ces deux plans P et P' se couperont suivant une droite I, laquelle sera le lieu

du centre de la sphère.

Par le poiot m. et la droite D nous mènerons un plan X et dans ce plan nous construirons une parabole 6 ayant le point m, pour foyer et la droite D pour cfirecv trice j et le cylindre B ayant S pour section droite sera coupé par la droite len des points qui seront les centres des sphères demandées et la distance de chaque centre à Tua des points donné sera le roym damandé.

La droite I peut : V ne pas rencontrer le cylindre parabolique B; 2Me percer en deux points; 3° le percer en un seul point.

Le problème peut donc ne pas avoir de solution possible, ou avoir deux solutions ou une seule solution.

Pour construire les centrer avec bcilité , on fera passer par la droite I un plan perpendiculaire au plan X et qui coupera ce plan X suivant une droite H.

l"" Si la droite H ne coupe pas la parabole €, c'est que la droite I ne perce pas le cylindre B.

2"* Si la droite H est parallèle à Taxe de la parabole 6 , elle ne coupera cette courbe qu'en un point, et la droite I percera le cylindre Ben un seul point.

3"" Si la droite H n'est pas parallèle à Taxe de la paraboles, elle coupera cette courbe en deux points et la droite I percera le cylindre B en deux points.

On doit d'ailleurs remarquer que dans ce qui précèdeon suppose que la droite 1 n'est pas parallèle aux génératrices droites du cylindre B, cas pour lequel les données du problème seraient évidemment telles que les trois points et la droite seraient situés dans un même plan. Dans ce cas le problème ne serait possible, et aurait dès lors une infinité de solutions , qu'autant que le cercle G passant par les trois points donnés serait tangent à la droite donnée; Ton aurait dans ce cas une infinité de sphères s*entre-<M)upant suivant le même cercle G.

Problème 3. Comiruire le centre et le rayon (tune sphère fumant par deux pointé et tangente à deux droites.

Désignons par m. et m, les points don nés , et par b, et D, les droites données.

Le centre cherché sera d'abord sur un plan P mené perpendiculairement à la corde m^m^ et en son milieu.

Le centre sera encore sur deux cylindres B, et B,, le premier ayant pour section droite une parabole 6, ayant le point m, pour foyer et la droite D, pour directrice ,

et le second ayant pour section droite une parabole 6, ayant le point m, pour fo^r et la droite D, pour directrice.

Ces deux cylindres B,et B, se couperont suivant une courbe à double courbure V, laquelle sera coupée en général par un plan suivant quatre points , puisque la courbe intersection de deux cylindres du second degré est du quatrième degré.

Ainsi , en général^ le problème peut avoir quatre solutions ; comme a» particu^ tiers j il peut se présenter les donoées suivantes.

PREmEK CAS. La droite Kquitmii les deuxpoints m j et tn^rencm

Dans ce cas on pourra construire deux cercles G et G' passant par les points nti et m, et tangents à la droite D,.

Désignons par o et o' les centres des cercles G et G^ et par Y le plan qni contient les points m. et m, et la droite D.

Menons par les centres o et o des droites L et V perpendiculaires au plan Y.

Pour déterminer les centres des sphères, il faudra chercher sur les droites L et V les points également distants de la droite D, et de Tun des deux points m, et m..

On construira donc la parabole S ayant m, pour foyer et D, pour directrice j et l'on retombera sur le deuxième problème.

Ghacune des droites L et V pourra couper le cylindre B ayant € pour section droite , en deux points.

On pourra donc avoir dans ce cas quatre solutions,

Et ainsi quatre s(^ères , dont deux se couperont suivant le cercle G et deux suivant le cercle C\

Deuxième cas. Les deux droites D, et D. rencontrent et coupent la droite K qui unit les deux points m, et m,.

Dans ce cas on pourra construire quatre cercles passant par les points m, et m, et tangents, savoir : deux à la droite D. et deux à la droite D,.

Désignons par G^ et G/ les cercles tangents à D,, et par G, et G/ les cercles tangents à D,; désignons par Y le plan des cercles G, et G/ -et par Y' le plan des cercles G, et G/,

On sait que lorsque deux cercles ont une corde commune ils peuvent toujours être situés sur une sphère.

On aura donc dans ce cas quatre solutions , car on aura quatre sphères passant par G, et G. , ou G, et G/, ou G/ et G. ou G/ et G/.

Dans les deux cas particuliers précédents , il faut supposer que la droite D, ou les deux droites D, et D. coupent la droite K en un point situé extérieurement par rapport aux points m, et m, ; car si cela n'avait pas lieu , le problème proposé serait impossible avec les données.

Problème 4. Construire le centre et le rayon d'une sphère passant par un point et tangente à trois droites.

Désignons le point par m, et les droites par D, , D,, D,.

On construira trois paraboles 6, è\ S" ayant le point m, pour /oyer commun, et ayant respectivement pour directrices , les droites D., D, , D,.

Les cylindres B, B", B'" ayant respectivement pour sections droites les paraboles 6, g', 6'^ s'entre-couperont en général en huit points.

Il y aura donc en général huit sphères , et le rayon sera , pour chacune , égal à la distance du point m, à l'un des huit points centres.

Problème 5. Construire le centre et le rayon d'une sphère tangente à quatre droites.

Désignons par D,, D,, D,, D^ les quatre droites données.

Nous construirons les paraboloîdes hyperboliques lieux des points de l'espace également distants des droites D, et D,, D,et D„ D, et D^.

Ces trois surfaces 2, 2", l" se couperont en général en huit points qui seront les centres de huit sphères.

On abaissera de chaque centre une perpendiculaire sur la droite D, et Ton aura la longueur du rayon.

Gomme cas particulier, il peut se faire que les quatre droites se coupent deux à deux et forment dès lors un quadrilatère gauche.

Dans ce cas la solution est simple et facile , car si nous désignons par D et D", D, et D/ les côtés opposés d'un quadrilatère gauche et par «, s\ s'\ s'" ses quatre sommets, s étant le point de rencontre des côtés D et D. , s' celui dis côtés D. et D', s" celui des côtés D' et D/ et s"' celui des côtés D/ et D.

Il suffira de mener 1"* un plan P passant par le point s et divisant l'angle intérieur des droites D et D, en deux parties égales, ce plan étant d'ailleurs perpendiculaire à celui des deux droites D et D,.

2'' Un plan P' passant par le points" et divisant l'angle intérieur des droites D, et D' et perpendiculaire à leur plan.

S"" Un plan P"' passant par le point s" et divisant l'angle intérieur des droites D' et D/ et perpendiculaire à leur plan.

Les trois plans P, P', P"se couperont en un point o, qui sera le centre de la sphère intérieure touchant les quatre droites données en des points situés sur les portions des quatre droites qui forment les côtés du quadrilatère gauche. Mais si l'on remarque que les côtés d'un quadrilatère étant prolongés, il a, outre les angles intérmurs les angles extérieurs , et que dès lors on peut diviser ces angles comme les premiers > on devra :

Concevoir les deux plans P et Q passant par le point b\ rectangulaires entre eux et qui sont respectivement les lieux des points de l'espace , également distants des droites D et D .

On aura donc en chacun des sommets deux plans à considérer, et ainsi on aura à considérer en s' les plans rectangulaires P' et Q\ et en s' les plans rectangulaires P'' et Q"-

Il faudra combiner ces six plans et de la manière suivante :

Les plans P et P^ se couperont suivant une droite I.

QetQ' W

PetQ' r.

P'etQ r.

Chacune de ces quatre droites sera coupée en un point par les plans P'' et Q''.

On aura donc en tout huit points qui seront les centres de huit sphères tangentes aux quatre droites indéfinies D, D^ D,, D/, et la sphère dont le centre est le point de rencontre des trois plans P, P", P"', sera celle qui sera tangente au quadrilatère gauche formé par les quatre droites indéfinies.

Par conséquent le problème étant énoncé ainsi :

Inscrire une sphère dans un quadrilatère gauche. N'a 9 en général^ qu'une seule solution.

Et le problème étant énoncé ainsi :

Construire une sphère tangente à quatre droites j qui se coupent deux à deux et interceptent entre elles un quadrilatère gauche.

Aura en général huit solutions.

Nous venons de dire que le problème : Inscrire une sphère dans vn quadrilatère gauche, n'avait, en général y qu'une seule solution.

Nous avons dû employer cette locution , puisque , dans certains cas , le problème peut avoir une infinité de solutions, ou aucune solution.

Et , en effet :

V Concevons un quadrilatère plan, et supposons que ce quadrilatère est un parallélogramme oblique ou rectangulaire oéaV, fig. 114 . Il est évident que les quatre plans P, P', Q, Q', qui diviseront en deux parties égales chacun des angles intérieurs de ce polygone, se couperont deux à deux suivant quatre droites parallèles entre elles A, A', A", A'", et dès lors il est évident- que, dans ce cas, le problème ne peut avoir de solution, ou, en d'autres termes, que le centre de la sphère est situé à l'infini, au point en lequel les quatre droites parallèles A, A', A", A''', se coupent.

2* Concevons un losange, yîy. 115. Les plans P et P' se confondront ainsi que les

plans Q et Q\ et dès lors on aura une seule droite d'intersection A > dont chacun des points pourra être considéré comme le centre d'une sphère tangente aux côtés du losange. On aura donc , dans ce cas , une infinité de solutions.

Si le quadrilatère au lieu d*ètre plan était gauche, des cas anali^es pourraient se présenter. Ainsi, si le quadrilatère gauche a ses quatre côtés ^ox, on se trouvera dans un cas analogue à celui du losange, et le problème aura une infinité de solutions.

Nous devons aussi faire remarquer que , lorsque nous énonçons le problème ainsi : Inscrire une sphère dans un quadrilatère gauclie , nous n'entendons pas que les points de contact de la sphère et des côtés du quadrilatère seront placés sur les côtés mêmes du quadrilatère ; car avec une semblable restriciian , le problème ne serait possible que dans un petit nombre de cas , et , en effet :

Concevons un quadrilatère gauche aa'bb\ les côtés opposés étant ab , a'b' et aa\ bb\

Deux côtés adjacents formeront un plan.

Nous désignerons par A le plan des côtés ab et aa.

Par A^ le plan des côtés alb et db\ Par B le plan des côtés ba et bb\ Par B' le plan des côtés b'a et frV.

Désignons par P^ le plan qui divise en deux parties égales l'angle intérieur en a.

ParP«. o',

ParP, b.

Par P, b'.

Menons par le sommet a une perpendiculaire au plan A , et désignons cette droite par N«.

Nous aurons de même :

Les droites N^r , N^, N^r, passant respectivement par les sommets a^ b^ b\ et perpendiculaires respectivement aux plans A^ B, B".

De plus, ces droites N^, N^., N^, N^. , seront respectivement placées dans les plans bi-secteurs P„ , P„. , P^ , P^.

Les plans P» et P^ se couperont suivant une droite I , laquelle sera coupée par les plans N« et N^ en des points a, et *,.

Le plan P^. coupera I en un point o, qui sera le centre de la sphère <temandée; si le point o est intérieur par rapport aux points a, et b^ , les points de contact de la sphère et des côtés ab et aà seront situés entre les sommets a , 6 et (/. Hais les points de contact de la sphère et des côtés M et db' seront en dehors du sommet b'.

On voit, d'après ce qui précède, qu'ayant construit les quatre droites 1, 1', T, I'

intersection des couples de plans P. et P«, P«. et P^ , P^ et P^.^ P«. et P^ et les huit points en lesquels ces quatre droites I , T, ï\ r\ sont coupées par les quatre droites N^., N^, N^, N^ , le point o, qui est le point de rencontre des quatre droites I , l\ V\ V", doit se trouver dans Tintérieur du polyèdre ayant pour sommets ces huit points et les sommets du quadrilatère » pour que les points de contact de la sphère et des côtés du quadrilatère gauche, se trouvent situés sur les côtés mêmes de ce quadrilatère, c'est-à-dire entre les sommets de ce quadrilatère , ces sommets étant considérés deux à deux.

Problème 6. Construire le centre et le rayon (Tune sphère passant par trois points et tangente û un plan.

Désignons ces trois points par m,,m^y m, , et le plan par P.

Première solution.

On mènera deux plans N et N' perpendiculaires sur le milieu, le premier de la corde m^m^ , le second de la corde mjn^.

Ces deux plans se couperont suivant une droite 1 qui contiendra le centre de la sphère cherchée.

Il faudra ensuite chercher sur la droite I un point o également distant du plan P et de Fun des trois points donnés ; le point m, par exemple.

Pour résoudre cette dernière question , on mènera par la droite I un plan perpendiculaire au plan P et qui le coupera suivant une droite D , et le problème sera ramené au problème suivant :

Trouver sur ladnÀte I un point o également distant du point m.6€ de la droite 0.

Remarquons que les deux droites I et D se eoupent et qu'ainsi on a à résoudre le problème qui nous a occupé précédemment.

En vertu de ce qui a été dit alors , on voit que le problème aura ou l"" deux solutions, ou 2* une seule solution , ou 3"" aucune solution.

Lorsque Ton voudra exécuter Vépure, on prendra pour simplifier les constructions, le plan P pour plan horizontal de projection et pour plan vertical de projection un plan passant par deux des trois points donnés.

Deuxième soluHon.

On peut aussi supposer que les trois points donnés sont situés sur le plan horizontal de projeetion, et que le plan P est perpendiculaire au plan vertical de projection.

Avec cette position particulière des données ( et à laquelle on peut toujours ! , arriver par des changements de plans de projection ) , la droite I sera verticale et

^ se projettera sur le plan horizontal en un point qui sera le centre du cercle cir-

I conscrit au triangle m,mjm^.

} Désignons par p le point en lequel la sphère cherchée doit toucher le plan

I P et par H' la trace horizontale du plan P.

î Prolongeons les trois côtés du triangle m,mjn^ jusqu'à la trace H' ; cette trace

\ sera coupée : l"" par m,m^ prolongé en un point q; 2* par m^m^ prolongée en un

^ point q'i et 3* par mjn^ prolongée en un point q".

Le plan pm^, coupera la sphère cherchée suivant un cercle G ayant m,mjj pour sécante et pq pour tangente en p. On aura donc :

cm, . qm^czzqp

Le pian pmjm^ coupera la sphère cherchée suivant un cercle G' ayant m^mjf pour sécante et p(f pour tangente en p , on aura donc :

q'm, . qm,:=zq'p^

i Le plan pm/n^ coupera la sphère cherchée suivant un cercle C ayant mjn^

l pour sécante et pq'' pour tangente en p, on aura donc :

Si dans le plan P nous traçons trois cercles, savoir (Jig. 216): ^ le cercle B du point q comme centre et avec qp pour rayon,

le cercle B' du point q' comme centre et avec q'p pour rayon , le cercle B'^du point 9'' comme centre et avec^^P^^'* rayon, ces trois cercles B, B', B'^ se couperont , en général , en deux points p et p'^ mars ces deux points p etp' pourront se réunir en un seul r, qui serait alors situé sur la droite H' et dans ce cas , le plan P serait perpendiculaire au plan horizontal et tangent en rau cercle circonscrit K aux trois points donnés, et les trois cercles B, B', B" seront tangents en r.

Mais si la trace H% coupe le cercle K, alors quelle que soit la direction du planP dans Fespace, le problème sera impossible et les trois cercles B, B', B" ne se couperont plus.

Ainsi : i"" il y aura deux solutions si H' ne rencontre pas le cercle K et quelle que soit la direction du plan P.

^^^^^^^^^''^mmmmmmtmmtmmfl'mi9^i^''9mtfmmm^9mm^

2"" Il n'y aura qu'une seule solution si H' touche le cercle K, et , dans ce cas , le plan P devra être perpendiculaire au plan du cercle K.

S"" 11 n'y aura pas de solution possible si H' coupe le cercle K. D'après ce qui précède , nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Étant donnés sur un plan trois points m^, m, et m^et une droite H' telle quelle ne coupe pas le cercle K, circonscrit au triangle m,m,m3; prolongeant les trois côtés du triangle jusqu'à leur rencontre en q^ q', q" avec la droite W y si de chacun de ces trois points q , q^ q" on mène des tangentes qi , q'i' , q''i'' au cercle K et si de chacun des points q , q', q", comme centres et respectivement avec les rayons qi , q'i', q"î", on décrit les trois cercles V, V, V, ces trois cercles s'entrecouperont en deux points y et y' situés sur la droite L menée par le centre o du cercle K et perpendiculairement à la droite IT'^ et les deux points y et Y seront également distants du point s en lequel les droites L et W se coupent.

On peut faire varier Tangle a que le plan donné P fait avec le plan des trois points donnés m, , m., fn,, dès lors il n'est pas sans intérêt de savoir quel sera \elieu ^éomé/riçtie des divers points de contact p des divers plans Pet des diverses sphères passant toutes par le cercle K qui est circonscrit au triangle m,m,m^.

Pour déterminer ce lieu , menons par le centre o du cercle K , un plan Z perpendiculaire aux divers plans P ayant pour trace commune la droite H'.

Prenons ce plan Zpour plan vertical de projection, le plan du triangle étant le plan horizontal de projection; ce plan Z coupera H' en un point s; le cercle K en deux points m et m'; et les divers plans P, P', P"' ( faisant avec le plan du

triangle les angles», «', a') y suivant des droites V, V, V", qui feront avec

la ligne de terre précisément des angles égaux à a , œ', a'

Ce même plan Z coupera les diverses sphères qui s'entrecoupent suivant le

cercle K, suivant des grands cercles, C, C', C", tels que C et Cet C,

seront respectivement tangents (/i^. 117) aux traces V^VjV", et aux points pyp\p'.

Et ces points p, p\ p"y seront précisément les points de contact des sphères

et des plaos.

Ainsi le lieu des divers points de contact des sphères et des plans , sera une %ne plane et située dans le plan Z.

M.\J\X^,%ji3 %.\J9 IfOlUCC^UIrl

ijO O^ , Op

i Of9 , 19^1 VU l> CI

et

sip z=zsim . sm

et

sp s=9iii • sm

et ainsi de suite.

Ainsi le lieu des points de contact est un cercle ayant pour centre le point $.

Lorsque l'on supposera que l'angle a est droit, le plan P sera vertical et dès lors, lescentres des sphères se trouvant sur la droite A élevée perpendiculairement au plan du cercle K et par le centre o de ce cercle , il faudra que Ton cherche sur la droite A un point a tel que sa distance au point m ou m soit égale à la perpendiculaire sd menée par le point « à la ligne de terre , et Ton aura alors en d le point culminant du cercle D lieu des points de contact des diverses sphères et des divers plans satisfaisant les uns et les autres aux conditions établies ci-dessus.

De ce qui précède , on peut déduire divers théorèmes relatifs à l'hyperboloide à une nappe.

Et en eiïet :

Concevons un hyperboloîde à une nappe 2, tel que les plans des sections circulaires soient perpendiculaires à une des génératrices droites G du premier système de cette surface gauche, ce qui peut exister; ces plans seront alors perpendiculaires à une génératrice droite G, du second système , laquelle sera parallèle à G.

Prenons pour plan de projection un plan Z , perpendiculaire à G et G. ; ce plan Z coupera G en un point m et G, en un point m\ et une suite de plans

Z'j Z'\ Jl'\ parallèles à Z couperont la surface 2 suivant des cercles €', G"',

Çl'\ qui se projetteront sur le plan Z suivant des cercles ayant pour

corde commune la droite mai.

Si nous menons dans le plan des droites G et G., une droite H' parallèle à G ou Gi 9 elle coupera le plan Z suivant un point ^. Et dès lors si Ton mène aux

divers cercles G, C', G", G'", des tangentes s'appuyant sur la droite H% on

formera un conoide A tangent à la surface gauche 2, et la courbe de contact \ se projettera sur le plan Z suivant un cercle D. De sorte que la courbe de contact (sera située sur un cylindre 4^, ayant la droite H' pour axe et le cercle D pour section droite.

On peut généraliser, ce qui précède de la manière suivante :

On peut couper l'hyperboloide à une nappe 2 par une suite de plans parallèles Z , Z\ Tl' y Z"\ suivant des ellipses , toutes ces ellipses seront semblables.

Concevons deux génératrices droites de systèmes différents G et G, parallèles entre elles ; menons dans l'espace une droite H parallèle à G ou G, et située dans le plan y , qui , passant par G et 6. , sera un plan asymptote de la surface 2.

Cela posé :

Coupons tout le système par un plan Z, perpendiculaire aux droites G, G, et H. Ce plan Z, coupera ces droites, et respectivement en les points m, m'et ^ , et remarquons que les trois points m, m'et^ seront en ligne droite.

Les diverses ellipses parallèles se projetteront sur le plao Z, suivant des ellipses semblables et semblablement placées, et ajantpour corde commune la droite wni^

Et si du point s on mène des tangentes à toutes ces projections elliptiques ^ les points de contact seront sur une ellipse D ayant le point « pour centre, et qui sera semblable et semblablement placée par rapport aux ellipses-projections.

Ainsi on peut énoncer le théorème général suivant :

^tani donné un hyperboUnde à une nappe 2 y si Con prend sur cette surface une génératrice droite G , et si l'on construit le plan T qui , passant par G , sera asymptote à la surface 2 ; si dans ce plan T on trace une droite H parallèle à G, la courbe ( de contact de la surface 1 et d'un con&ide A engendré par une droite se mouvant parallèlement à un plan arbitraire X , en s' appuyant sur la droite H et sur la surface 1 , sera située sur un cylindre ^ , tel que , ses génératrices étant parallèles à la droite G ouVL^Vsa section droite sera une ellipse semblable et semblablement placée par rapport à la projectiah , sur le plan de section droite , de C ellipse section de la surface hyperboUnde 2 par tout plan parallèle au plan X , €l 2* son axe sera la droite H.

Et nous devons faire remarquer que nous établissons , comme condition , que le plan X (quelle que soit sa direction dans l'espace) coupe toujours la surface hyperboloide 2, suivant une ellipse ou un cercle.

Si l'ellipse de section par le plan parallèle à X se projette sur le plan de section droite suivant un cercle, le cylindre 4^ sera alors de révolution et il aura la droite H pour axe de rotation .

Problème 7. Canstndre le centre et le rayon d'une sphère passant par deux points et tangente à deux plans.

Désignons les deux points par m, et m, et les deux plans par P et Q.

Les deux plans P et Q se couperont suivant une droite L; par cette droite L, nous pourrons mener deux plans R et R' perpendiculaires et bi-secteurs des angles a et a que font entre eux les plans P et Q.

Sur le milieu de la corde m^^ y et perpendiculairement à cette corde , nous mènerons un plan S.

Les plans S et R , S elR' se couperont suivant deux droites X et X' sur lesquelles seront situés les centres des sphères cherchées.

On devra donc chercher sur X un point o tel que ses distances à l'un des points m. et m. et à l'un des plans P et Q soient égales. Nous sommes donc encore conduit à employer le premier mode de solution du problème 6 précédent.

Il pourra donc y avoir deux points sur X et sur X', ou un seul , ou aucun. Dès lors 9 le problème peut avoir :

i"* Quatre solutions, ou 2"" trois solutions, ou 3"" deux solutions, ou A"" une solution, ou 5"" aucune solution.

Lorsque l'on voudra construire V épure , pour simplifier les constructions , on pourra prendre : i"" le plan P pour plan horizontal de projection et le plan vertical de projection perpendiculaire au plan Q et passant par un des deux points donnés , ou 2"" le plan P pour plan horizontal de projection et le plan vertical de projection passant par les deux points donnés. Alors le plan Q sera oblique par rapport aux deux plans de projection.

Problème 8. Construire le centre et le rayon d'une sphère passant par un point et tangente à trois plans.

Désignons le point par m et les plans par P, Q et R.

Les plans P, Q et R se couperont deux à deux suivant trois droites I , Vj l" qui se croiseront en un point p, et ces trois droites seront :

I intersection des plans P et Q

1' P et R

1" Q et R

Gela posé :

Par la droite I , nous ferons passer deux plans X et X' rectangulaires entre eux et bi-secteurs par rapport ^ux plans P et Q ; par la droite 1^ nous ferons passer deux plans Y et Y' rectangulaires entre eux , et bi-secteurs par rapport aux plans PetR.

Par la droite V\ nous ferons passer deux plans Z et Z' rectangulaires entre eux , et bi-secteurs par rapport aux plans Q et R.

Les trois plans P, Q, R forment un angle solide; les plans X^ Y^ Z qui divisent en deux parties égales les angles dièdres intérieurs de cet angle trièdre se coupent suivant une même droite J, laquelle contiendra le centre o de la sphère cherchée.

Il faudra donc chercher sur la droite J un point o également distant du point m et de Tun des trois plans donnés P, Q, R.

On se trouve ainsi conduit à employer le premier mode de solution du problème 6.

Le plan Z coupera les plans Y' et X' suivant une droite J'. Le plan X coupera les plans Y' et Z' suivant une droite i". Le plan Y coupera les plans Y' et Z' suivant une droite J'".

Pour chacune de ces droites, il pourrait exister deux centres ou un centre ou aucun centre.

Le problème parait donc y à la première vue, avoir en général ^ huit solutions ; voyons si la chose est possible.

Les quaire droites J, J', i", i"\ se coupent en un seul et même point qui n'est.autre que le point p.

Les trois plans donnés P, Q, R divisent l'espace en huit riions trièdres.

1" Le point donné m ne peut être que dans une de ces régions, sll n'est pas situé sur Tun des trois plans.

2"* Si le point m est situé sur un des trois plans donnés , il appartiendra à deux régions adjacentes parle plan sur lequel le point est placé.

S"" Si le point OL est situé sur l'une des trois droites I , T, T qui se croisent au point p , ce point m appartiendra à quatre régions contiguês par l'arèle sur laquelle le point m est situé.

i"* Lorsque le point m sera dans l'intérieur d'un angle trièdre, on ne pourra considérer que la droite intersection des plans bissecteurs des angles dièdres intérieurs par rapport à cet angle trièdre.

On ne pourra donc avoir que deux solutions et toujours deux dans ce cas.

2"" Lorsque le point m sera sur un des trois plans donnés , pour que le problème soit possible , il. faudra .que la perpendiculaire menée par le point m à ce plan aille rencontrer l'une des deux droites J et J^ intersection des plans bi-secteurs des angles dièdres intérieurs par rapport à chacune des régions dièdres adjacentes.

Dans ce cas, il n'y aura en général aucune solution; toutefois, avec certaines données^ il pourra .en exister une; et pour qu'il y en ait deux, il faudra que le plan bi-secteur qui contient les deux droites J et J", non-pseulement passe par le point m, mais soit encore perpendiculaire au plan sur lequel ce point m est situé.

3"* Lorsque le point m. est situé sur une des trois arêtes I, T, T, il ne peut évidemment exister aucune solution.

On voit donc que les trois problèmes 6, 7 et 8 se résolvent delà même manière, puisque pour leur solution on est conduit, en définitive, à celle d'un problème unique et le même pour les trois cas, savoir : tramer sur une droite un point également distant d'un point donné et d'un plan donné.

Problème 9. Construire le centre et le rayon d'une sphère tangente à quatre plans.

Désignons les quatre plans par 2,, 2., 2,, 2^.

Ces quatre plans se couperont deux à deux suivant six droites, et trois à trois suivant quatre points.

Ces quatre points seront les sommets d'un tétraèdre dont les six droites seront les arêtes.

Désignoaft par «, 9 «. f «, » «« les quatre sommela; ê^ élant qipoaià la Ihce 2. t <. ^ la face 2. , et ainsi de suite.

Les arêtea («,«.) et (V4)~(««0 ^^(v*)— (mO «t (M4) seront dites aorétas apposées, et les arêtes opposées ne peuvent être évidemment situées daps un même plan.

Pour faciliter les raisonnements désignons les trois couples d'arèles opposées par 1 et T, I. et I/, I. et I/.

Les deux faces qui se coupent suivant Taréte 1 fiorment deux anglfsqnt sont suppléments fun de Tautre. Désignons par P et Q lefli plans bMecleurs de ces angles, le plan P divisant Fangle intérieur du tétraèdre et le plan Q l'angle eité-

rieur de ce même tétraèdre.

Nous désignerons de même:

par P' et Q' les plans bi-secteurs passant par TaréteT par P^ et Q, les plans bl-seeteurs qui passent par I. par P/ et Q/ oeux^ qui passent par 1/ par P3 et Q. ceux qui passent par I, et par P/ et Q/ ceux qui 1 passent par V Cela posé :

Les plans biniecteurs intérieurs P et P/ se couperont, soi vaut une droite J et les plans bi-secleurs extérieurs P et Q' suivant une droite J'. Mk droite J coupera Tarète I au point f7i et Tarètel^ au point m'. La droite J' coupera Tarète lau point x et Tarète Tao pointa:'. Quelle que soit la fbcmedu tétraèdre leapoints met m' existeront toujours, mais les points x et x' peuvent être situés, tous deux à l'infini. Et en effet : si les plaqsR et Q sont parallèles, la droite J^ sera située à Tinfini. Si les plans R et Q' sont parallèles, ladroite Xleur sera perpendiculaire > puisque les plans bi-secteurs Pet Q, P'et Q' sont perpendiculaires entre eux, et dès lors la droite mm' sera la plus courte distance existant entre les arêtes I et T.

€e que nous venons de dire pour le couple* d'arêtes I et T peut avoir lieij en même temps pour le second couple I, et I/, et ainsi avoir lieupour deux couples; et la même chose peut aussi avoir lieu pour les trois couples»

Si lesdroite» J', J/, J/ sont respectivement dirigées suivant les plus courtes distances existant entre I et i', I, et I/, I. et L% alors, le tétraèdre est évidemment régulier.

Construisons les centres des sphères tangentes aux plans dw ^atre faces du tétraèdre.

Les six plans bi-secteurs des angles intérieurs P, P', P, , P/, P„ P/ se coupe*

ront en uDseol etjnèmepotiilo'qiiisera le oMlred^ la sphère inscrite an tétraèdre.

Les trois plans qui divisent en parties ^lea les • trois aqgles extérieurs par rapport à une fiioe 2, se couperont en un point p, qui sera extérieur à cette face , et quelle que soit la forme du tétraèdre ce point p, évidemment existera toujours; on aura donc quatre sphères extérieures tangentes aux quatre faces I^ , 2^ , X, 2^ et dont les centres seront désignés par p., p.» p,* p^-

Remarquons que le point de contact delà sphère (ayant p, pour centre) avec la face 2, sera situé dans l'intérieur de cette face triangulaire 2, du tétraèdre et qu'il en sera de mène pour les quatre sphères extérieures.

Considérons maintenant l'angle prismatique formé sur une des arêtes du tétraèdre, l'arête I par exemple.

Le centre de la sphère tangente aux quatre plans aura son centre sur la droite J, intersection des deux plans bi-secteurs et intérieurs P passant par l'arête I et P^ passant par l'arête opposée V.

Le centre sera ensuite donné par la rencontre do la droite J avec l'un des quatre plans bi-secteurs extérieurs passant par l'une des quatre autres arêtes

Or, peut-il arriver que l'arête J soit parallèle à l'un de ces plans ^ et par suite à tous les quatre ? Auquel cas le œure de la èphère se trouveraii sHùé à l'i^ni.

Remarquons que ce qui peut arriver pour la droite J, peut arriver en même temps pour la droite ï et aussi pour la droite y et ainsi les trois sphères tangentes aux faces des angles prismatiques , peuvent exister toutes trois ; mais peut-il n'en exister que deux, peut-il n'en exister qu'une , peut-il n'en exister auc>ine?

D'après ce qui précède on voit que ce problème aura toujours cinq solutions données par la sphère inscrite et les quatre sphères extérieures tangentes aux faces du tétraèdre. Mais pourra-t-on avoir six, ou sept, ou huit solutions suivant qu'une, ou deux, ou trois des sphères tangentes aux faces des angles prisma* tiques auront leurs centres situés à l'infini? Cest ce qu'il s'agU d'examiner.

Nous allons donc démontrer que les centres de ces trois sphères peuvent , suivant h forme du tétraèdre, l"" être situés tous les trois à diatanoe finie, ou 2"" que l'un d'eux peut être situé à l'infini ^ ou 3"* que deux d'entre eux , ou A"" que tous les trois, peuvent être transportés à l'infini.

Lorsque l'on considère l'angle prismatique existant sur l'arête I , Ton considère aussi l'angle prismatique existant sur l'arête opposée T; et l'on a vu que le centre de la sphère était situé sur la droite J s'appuyant sur les arêtes opposées I et V, et au point en lequel cette droite J perçait l'un des quatre plans (bi-secleurs des angles extérieurs du tétraèdre) menés par les quatre arêtes Mm ^.^^

«,^9 ^4 9 désignant par «, et t. les sommets par lesquels passe la droite I, et par s, et 8^ ceux par lesquels passe Tarète opposée T.

Les quatre plans bissecteurs dont nous venons de parler se coupent donc en on seul et même point, que nous désignerons par z, lequel sera situé sur la droite J et sera le centre de l'une des trois sphères qui peuvent exister ou non.

Pour chaque couple d'arêtes opposées I, T, et I., T., et I,, T., on pourra faire les mêmes constructions , on aura donc trois centres z, z\ z\

Dès lors, on voit que les six plans bi-secteurs des angles extérieurs du tétraèdre se coupent quatre à quatre en les trois points z , z\ z\

Ainsi ces six plans déterminent, par leur intersection deux à deux, un tronc de pyramide quadrangulaire , qui sera un noyau commun à trois pyramides quadrangulaires ayant respectivement pour sommet les points z , z% %*.

Une de ces pyramides deviendra un prisme si son sommet est transporté à l'infini ; deux de ces pyramides pourront être des prismes; enfin les trois pyramides pourront être des prismes.

Cela pose :

Concevons un tronc quadrangulaire quelconque, r, «. i^ ê^ t, s^ t^s^ (fig, ilS) noyau de trois pyramides quadrangulaires ayant pour sommet respectif les points z , z'j z'*. Les sommets 9, «, s^ s^ formeront un tétraèdre.

Imaginons que les six faces du tronc quadrangulaire sont précisément les six plans bi-secteurs des angles extérieurs de ce tétraèdre.

La droite J passera par le point z et s'appuiera sur les deux arêtes t)pposées I et l' ou 8, 8^ et «, 8^ du tétraèdre.

La droite J, passera par le point z' et s'appuiera sur les deux arêtes opposées 1, et I/^ ou s «, et «, s^du tétraèdre.

La droite J, passera par le point z" et s'appuiera sur les deux arêtes opposées I, et l/ou 8,8^ et V, du tétraèdre.

Ces trois droites J, J., J, passeront par le centre o de la sphère inscrite au tétraèdre ; ainsi qu'il a été dit ci-dessus.

Les faces opposées du tronc de pyramide quadrangulaire formé par les six plans bi-secteurs des angles extérieurs, n'étant point parallèles, les droites J , J. et J. ne seront point dirigées suivant les plus courtes distances existant entre les couples d'arêtes opposées du tétraèdre.

Gela dit :

Supposons que le point z soit transporté à l'infini , alors les arêtes 8,î, , «.i., #,(, , 8j^ seront parallèles..

Menons par la droite qui unit lés points z' et z" un plan perpendiculaire à ces

arêtes parallèles. Ton aura pour section un quadrilatère , dont les côtés opj^osés prolongés iront concourir aux points z et z''

Le tronc prismatique que Ton obtiendra dans ce cas, n'aura pas de faces opposées parallèles.

Supposons que les deux points z et Assoient tous les deux transportés à Tinfini ; alors nous pourrons mener par le point 2'^ deux droites, Tune R parallèle aux quatre arêtes : ê,t, , 9jt^, s^u^ 9j^ qui sont parallèles entre elles puisque le point s est supposé situé à l'infini, l'autre R, parallèle aux quatre arêtes: «^, sjt^^ 9ji^, sjt,, qui sont parallèles entre elles puisque le point z' est supposé situé à l'infini.

Les deux faces «,^.«,t, , M^Vi» ^^ont donc des parallélogrammes, et les deux faces «.^,*A» #.MA seront des trapèzes.

Par conséquent , le tronc compris entre les six plans bi-secteurs des angles extérieurs du tétraèdre sera un prisme tronqué {fiy. 119), ayant pour section droite un trapèze.

Dans ce cas les faces Stt^jt^ et tfijijt^ étant parallèles, la droite J, qui passe par le point z'^ et qui s'appuie sur les arêtes opposées du tétraèdre s^s^ei 8,8, sera dirigée suivant la plus courte distance existant entre ces deux arêtes.

Supposons que les trois points z, z\ z" soient en même temps transportés à l'infini, alors le tronc deviendra un pri8me. Et comme les six faces de ce prisme seront deux à deux parallèles, il s'ensuivra que les trois droites J , J. et J, seront dirigées suivant les plus courtes distances existant entre les arêtes opposées I et l\ I. et !/, I. et 1/ du tétraèdre, qui évidemment sera dans ce cas un tétraèdre régulier.

Le prùme ne sera donc autre qu*un cttéeCji^. 120), puisque le tétraèdre est régulier.

De ce qui précède nous pouvons conclure le théorème suivant :

Étant donné un tétraèdre et ayant construit le centre delà splière inscrite; une seule des trois plus courtes distances existant entre les trois couples d'arêtes opposées peut passer par ce centre 0; mais s'il en passe deux, toutes les trois y passeront.

On doit voir, en vertu de tout ce qui précède , que les sommets r,, 1,, r,, t^ du tronc de pyramide triangulaire , sont précisément les centres des sphères tangentes aux faces prolongées du tétraèdre et dont le contact est situé pour chacune d'elles dans l'intérieur de la face triangulaire du tétraèdre qui lui correspond.

En sorte que les huit centres (fig. 118) des sphères tangentes à quatre plans seront : l"" le point o pour la sphère inscrite au tétraèdre , 2"* les quatre points 1. , ^ > ^> ^4> pour les quatre sphères extérieures tangentes aux faces du tétraèdre , et

3"* les trois points z, z\ s"' pour les trois sphères construites pour ios angles prismatiques.

On aura donc en lignes droites les trois points:

Et les droites oz, oz\ az\ s'appuieront, savoir : oz sur les arêtes opposées M4 et m. du tétraèdre. oz sur les arêtes opposées tjt^ et M4 du tétraèdre. oz' sur les arêtes opposées s^s^ et ^4 ^^ tétraèdre.

Lorsque les trois dernières sphères auront leurs centres transportés à F infini, alors le cube pourra être décomposé en deux tétraèdres :

M.M4 et t,tj,t^.

Pour le premier tétraèdre les centres des quatre sphères extérieures tangentes aux faces seront les points (.^,14 , et pour le deuxième tétraèdre ces centres seront les points itSj^^^.

On peut donc dire que ces deux tétraèdres sont réciproques l'un par rapporta Tautre; de plus, le centre des sphères inscrites à l'un ou i l'autre sera le même point centre du cube, et ces deux sphères auront évidemment même rayon ; ainsi les deux tétraèdres ont dans ce cas même sphère inscrite.

En résumé le problème peut n'avoir que cinq solutions, il peut en avoir Ci ou 7 ou 8.

Le minimum du nombre des solutions est cinq.

Le maximum du nonibre des solutions est huit.

Problème 10. Construire le centre et le rayon de la sphère tangente à trois droites et à un plan.

Désignons les trois droites par D,^ D. , D, , et le plan par P.

Dans le cas le plus général les trois droites données perceront le plan donné chacune en un point.

Désignons par tf., d,, (/,, le point en lequel le plan P est respectivement percé par les droites D, , D,, D,.

Nous construirons les trois cônes du second degré A, , A,, A^, qui ayant respectivement pour sommet les points e/,, d,, rf,, sont le lieu des points de Tespace également distants du plan P et de chacune des droites D,, D., D,. Les cônes A. et A, se couperont suivant une courbe à double courbure du quatrième degré ,

kiq.u6lle sera coupée par le cône A, en général en buit points. Ainsi le problème aura en général huit solutions.

Comme cas parliculiers on peut supposer que les trois droites données sont parallèles au plan P. Et pour que le problème soit possible, il faut évidemment que les trois droites soient situées d'un même côté du plan P.

Dans ce cas les oônesAi, A,, A,» deviendront des cylindres paraboliques.

Si deux droites seules D. et D, sont parallèles au plan P et situées du môme côté par rs^^port. à ce plan , alors les deux cônes A, , A, seront seuls des cylindres paraboliques.

Si une seule droite D, est parallèle au plan P, alors le cône A, sera le seul qui.deviendra un cylindre parabolique.

Et, dans tous ces cas, on pourra avoir en général huit solutions.

Si lesdroitesD.etD.ylout en étant parallèles au plan P, sont aussi parallèles entre elles, alors les deux cylindres A, et A, se couperont suivant deux génératrices droites K et K', parallèles à D. et D, , parce que les sections droites de ces cylindres seront deux paraboles 6. et 6,, dont les axes infinis seront parallèles , et que les paramètres de ces courbes ne seront point égaux si D, et D. sont inégalement distants du plan P. Dans ce cas, Ton n'aura que quatre solutions, puisque chaque droite K et K' percera le cône A, en deux points.

Si les droites D. et D, sont également distantes du plan P, les deux paraboles 6. et 6, seront égales et ne se couperont qu'en un point, alors les cylindres A. et A, ne se couperont que suivant une génératrice droite K, laquelle percera le cône A3. en deux points; le problème n'aura donc, dans ce cas, que deux solutions.

Si les trois droites D. , D,, D,, sont parallèles entre elles et au plan P, il faudra que les trois cylindres A., A, , Aj , se coupent suivant une seule et même génératrice droite K pour que la solution du problème soit possible , et , dans ce cas , on aura une infinité de sphères de même rayon , et dont les centres seront situés sur la droite K.

Problème il. Canstrmre le centre et le rayon d'une sphère tangente à deux droites et à deux plans.

Désignons les deux droites par D, et D^, et les deux plans par P, et P,.

Désignons par d, et 6. les points en lesquels la droite D, perce les plans donnés , etpar<i(i,et6^e6ux.eAle8qiiel8!la droite D. perce cas mêmes pians, les points d. et d, étant sur le plan P. et les points b, et 6. éUnt sur le plan P,.

Désignons par Q et Q' les plans bi-secteurs des angles compris par les plans P.etP..

Désignons par A. le cône du second degré ayant son sommet en <, et qui est le lieu des points de l'espace également distants de la droite D. et du plan P..

Désignons par B. le cône du second degré ayant son sommet en^. , et qui est le lieu des points deTespace également distants de la même droite D, et du second plan P^.

Nous aurons encore les deux cônes A, et B., lorsque Ton considérera la droite D,.

Le plan Q coupera respectivement les cônes A, , B. , A,, B., suivant des sections coniques 7., 6,, 7,, 6,.

Les points communs à 7. et 6. seront également distants de la droite D. et du plan P. comme appartenant à la courbe 7,, et ils seront également distants de la droite D, et du plan P, comme appartenant à la courbe 6,.

Ces deux sections coniques, 7. et 6,, se couperont en général en quatre points.

Le plan Q' coupera respectivement les cônes A., B., A., B,, suivant des sections coniques 7/, 6/, 7/, 6/, et les points communs à 7/ et 6/, et qui en général seront au nombre de quatre , donneront quatre nouvelles solutions. Ainsi en général le problème peut avoir huit solutions.

Remarquons que les points en lesquels se coupent les deux sections coniques 7, et 6,, ne peuvent être que quatre des premiers points trouvés et fournis par l'intersection des courbes 7, et 6,; ainsi les quatre courbes situées sur le plan Q s'entre-coupent en quatre points et aussi les quatre courbes situées sur le plan Q'.

Problème 12. Construire le centre et le rayon d'une sphère tangente à une droite et à trois plans.

Désignons la droite par D et les trois plans par P., P,, P,.

La droite donnée D percera les plans donnés P., P,, P,, chacun en un point

Désignons les cônes lieux des points de Tespace également distants de la droite D et de chacun des plans donnés par :

A. ayant son sommet en d\

Les plans donnés se couperont en un point s, par lequel passeront les trois arêtes de l'angle trièdre formé par les trois plans.

Désignons ces arêtes par I, \\ V\ I étant l'intersection des plans P, et P., r des plans P, et P„ l" des plans P, et P,.

Désignons par Q et Q. les plans bi-secleurs passant par Taréte I , par Q' et Q/ ceux passant par l\ par Q" et Q", ceux passant par 1".

Les plans Q, Q\ Q" seront ceux qui divisent les angles intérieurs de l'angle triédre.

Cela posé :

Les trois plans Q, Q\ Q'\ se couperont suivant une droite R, et les droites J, J', y\ seront les intersections des plans Q,, Q!j.Q'\ combinés deux à deux.

Chacune des quatre droites R , J , J', J" percera Tun des trois cônes A, , A, , A3 en deux points ; on aura donc en général huit solutions.

Et comme Ton peut combiner les quatre droites avec l'un quelconque des trois cônes, il s'en suit que les points, centres des huit sphères, seront ceux en lesquels les trois cônes A,, A,^ A, s'entrecouperont.

Chacun des trois plans Q , Q\ Q" bi-secteurs des angles intérieurs coupera les trois cônes, et l'on aura :

une section conique 7, intersection de Q et A,

y. Q et A.

y. Q et A,

une section conique 7/ intersection de Q' et A,

7/ Q' et A.

7/ Q" et A,

une section conique 7/' intersection de Q" et A,

y/' Q'' et A.

7/' Q" et A,

Ces neuf sections coniques s'entrecouperont en deux points situés sur la droite R, etc., etc.

Problème 13. CoMînàre le centre et le rayon ttvne sphère panant par deux points et tangente à une droite et à un plan.

Désignons les deux points par m. et m. ; la droite par D ; et le plan par P.

1* Nous construirons le plan X mené par le milieu de la corde m,iii, et perpendiculairement à cette corde.

2'' Nous construirons le cône A lieu des points de l'espace également distants de la droite D et du plan P.

3"" Nous construirons le cylindre parabolique . B, lieu des points de l'espace également distants du point in, et de la droite D.

Le plan X coupera le cône A suivant une section conique 7 et le cylindre B, suivant une autre section conique S.

Les deux courbes 6 et y se couperont en général eu quatre poiQt$ qui seront les centres des sphères demandées.

Ainsi le problème aura en général qua&re solutions.

Problème ià. Construire le centre et le rayon d'une sphère passant par un point et tangente à deux droites et à un plan.

Désignons le point par m , le plan par P et les deux droites par D, et D.. Nous construirons :

1*" Le cône A. lieu des points également distants du plan P et de la droite D,. 2'' Le cône A, lieu des points également distants du plan P et de la droite D,. 3" Le paraboloîde de révolution 2 ayant le point m pour /oi/er et le plan P pour plan directeur.

Ces trois surfaces A, , A, et 1 s'entrecouperont en général en huit points qui seront les centres des sphères demandées.

Problèmi: 15. Construire le centre et le rayon d'une sphère passant par un point et tangente à une droite et à deux plans.

Désignons le point par m, la droite par D et les deux plans par P. et P..

Nous construirons :

l"" Les deux plans Q et Q' bi-secteurs des angles des deux plans P, et P..

S"" Les cônes A. et A, lieu des points de l'espace également distants le premier de la droite D et du plan P, et le second de la même droite D et du plan P..

3*" Les deux paraboloîdes de révolution 2, et 2. ayant le point m pour foyer commun et respectivement les plans P, et P, pour plan directeur.

4"" Le cylindre parabolique B lieu des points de l'espace également distants du point m et de la droite D.

Toutes ces surfaces doivent s'entrecouper en des points qui seront les centres des sphères demandées.

Le plan Q coupera le cône A. suivant une section conique y. dont tous les points seront également distants de la droite D et des deux plans P, et P..

Le même plan Q coupera le paraboloîde 2, suivant u^e section conique (, dont tous les points seront également distant du point m et des deux planai P. et P..

Par conséquent , les quatre points en lesquels les deux courbes y, et i se couperont ( en général; , seront également distants du point m , de la droite D et des deux plans P, et P..

On aura donc quatre points sur le plan Q ; on ^ura aussi quatre points sur le plan Q' qui sevmi les centres des sphères cherchées»

Ainsi le problème peut avoir en général huit solutions.

Étant donnés sur le plan horizontal un point /et une droite B {fiy. 121 ), on sait que le lieu des points du plan horizontal également distants de la droite B et du point / est une parabole 6 ayant le point / pour foyer et la droite B pour directrice.

Concevons un cylindre 2 ayant la parabole 6 pour section droite. Si par la droite

B on mène une suite de plans P, P\ chacun de ces plans coupera le cylindre

suivant une parabole d, if^ qui aura pour projection horizontale la paraboles.

Si Ton regarde le point /comme le sommet commun aux divers cônes K, K^....

ayant respectivement pour directrices les paraboles d, H^ ces divers cônes K,

K', seront de révolution, et auront pour axe commun de rotation la droite A

élevée par le point /perpendiculairement au plan horizontal.

Et en effet :

Prenons la ligne de terre LT perpendiculaire à la droite B; H'' (qui ne sera autre que la droite B) et V seront les traces du plan P' coupant le cylindre 1 suivant une parabole ^ dont 6 sera la projection horizontale.

Considérons un point m de la courbe i, ses projections seront m" et m'^; la

distance du point m à la droite B aura pour projections m'Y^, m'Y (1^ droite m'^q étant perpendiculaire à la droite B ) et la distance du point ml à la droite B sera

égale à sa projection verticale m'Y^ puisque cette distance est mesurée sur une droite parallèle au plan vertical.

La distance du point m' au point/, aura pour projections m^f et m'y.

Et comme on a : m'^q:=m'^f puisque le point m'* est sur la parabole 6 et que / est le foyer de cette parabole 6 et que B est la directrice de cette même parabole ,

il est évident que les distances q'm' et m/sont égales.

Ainsi , tous les points de la parabole if sont également distants du point/ et de la droite B.

Ainsi le cylindre 2 est le lieu des points de l'espace également distants du point / et de la droite B.

Ainsi toutes les paraboles d, ^, ont hors de leur plan, un foyer commun

qui est le point/ et une directrice commune qui est la droite B, trace horizontale commune à tous les plans P, P", de ces diverses paraboles d> d"

Cela posé :

Menons par le point / une droite G' parallèle au plan vertical de projection et

faisant avec le plan horizontal un angle a' égal à l'angle que le plan P' fait avec

le même plan horizontal.

Les projections de cette droite G' seront G'* parallèle à la ligne de terre et G" faisant avec la ligne de terre un angle a égal à l'angle que la trace verticale V du plan P' fait avec cette même ligne de terre.

Si l'on fait tourner la droite G' autour de la verticale A passant par le point /, cette droUe G' engendrera un cône de révolution K ayant le point / pour sommet et la droite A pour axe de rotation.

Ce cône K sera coupé par le plan P' suivant une parabole y', car ce plan P' sera parallèle à la génératrice G' du cône K , qui se trouve située dans le plan méridien de ce cône K mené parallèlement au plan vertical.

Or, pour un point x de la courbe /, la dislance de ce point xk la droite Bsera égale à la distance de ce même point x au point /, puisque ces distances sont comptées sur des droites qui font avec le plan horizontal un même angle et égal

La courbe y' n'est donc autre que la courbe J*. Donc , etc.

5 ni-

Proposous-nous de chercher le lieu géométrique H des points de Tespace dont les distances à deux autres lieux géométriques S et S' sont dans un rapport constant, et supposons, pour simplifier le problème et pour le faire rentrer dans les conditions que nous avons établies précédemment en cherchant le centre et le rayon d'une sphère satisfaisant à quatre conditions, que le lieu S ou S' est un jmniy ou une cb-oîte, ou un p/an.

I. Lieu des points de C espace dont les distances à deux droites fixes sont dans un rapport constant.

Désignons par M et N les deux droites données.

Prenons la droite M pour axe des z, et supposons que le plan des %x soit parallèle à la droite N, et, de plus, que Taxe des y soit dirigé suivant la plus courte distance existant entre les droites M et N.

Désignons par a la tangente trigonométrique de Tangle que les droites M et N font entre elles, et par b la longueur de leur plus courte distance, et par n le rapport des distances d'un point de l'espace à ces droites M et N.

Les équations de la droite M seront : x=0\ 9= 0. Les équations de la droite N seront : y = 6 , a;s=3az.

Et réqualion du lieu H demandée sera (^) :

a.-+îr=n'[(*-,)'+iî^]

La surface H est donc un hyperboloide à une nappe, et non de révolution. Si Ton suppose que <i=q» on trouve Péquation:

Ainsi le lieu des points de l'espace dont les distances à deux droites fixes rectangulaires entre elles et non situées dans un même plan sont entre .elles dans le rapport constant n, est encore un hyperboloide à une nappe, et non de révolution.

Si Ton suppose que a = , on trouve Téquation :

aî«(n*— 1) =y'— n'(6— y)*

Ainsi le lieu des points de l'espace dont les distances à deux droites fixes et parallèles sont entre elles dans le rapport constant n^ est une surface cylindrique du second degré dont les génératrices sont parallèles aux droites fixes.

Si Ton suppose que 6 = , on trouve l'équation :

Ainsi le lieu des points de l'espace dont les distances, à deux droites fixes qui se coupent , sont entre elles dans le rapport constant n , est une surface conique du second degré ayant pour sommet le point en lequel se coupent les droites fixes.

Je n'ai pu encore parvenir à déterminer la nature géométrique du lieu H et dans les cas précédents , au moyen des considérations de la géométrie descriptive ; j'ai donc dû recourir à Vanalyse de Descartes.

Mais pour tous les cas où l'on suppose que ii=l| j'ai pu parvenir au résultat par des considérations géométriques assez simples , ainsi que cela a été exposé et développé au commencement de ce chapitre , § V\

(*) Foir la Théorie géométrique des engrenages destinés à transmettre le mouvement de roUtion entre deux axes sitaés ou non dans un même plan , page 108 et suivantes*

H. Lieu des points de l'espace dont tes distances à un point fixe et à mh plan invariable sont dans un rapport constant.

Désignons le point par o et le plan par P.

Plaçons l'origine des coordonnées au point donné, et prenons le plan des zy parallèle au plan donné.

Les coordonnées du point o seront a: = 0, i/ = 0,z=:0.

L'équation du plan P sera x =:a.

Cela posé :

Prenons un point m dans l'espace, et représentons ses coordonnées par

La distanoe D du point m an point o, sera exprimée par Dca \/x'^^^^x'*, La distance D. du point m au pian P sera égale à (a — x'), et comme on doit

. D avoir rr- = n , on aura :

OU

qui sera l'équation du lieu demandé (en remplaçant x\ j^, % par x, y, %).

Cette équation (1) représente une surface de révolution, dont l'axe de rotation est l'axe des x.

En y faisant zowy égal à zéro , on aura l'équation de la courbe méridienne , qui sera , en faisant z ?=: :

x\l— n') +y*+ Wax^n^a^ = (2)

1^ Cette équation (2) rq^résentera une elMpae , si l'on a : ii'> 1 ,. et alors la surface sera un ellipscide de révolution ayant son axe de rotation dirigé suivant la plus courte distance du point o au plan P;

2"" Cette équation (2) représentera une kyperkolCf si Fou a:ii*>l, et Taxe transverse de cette courbe sera dirigé suivant l'axe des x] car en transportant l'origine au centre de la courbe on trouve pour l'équalion dte cette hyperbole :

£t il est évident qu'en vertu de la condition : n*>1, quel que soitn, le dernier terme sera positif. Donc etc.

La surface sera donc dans ce cas un hyperbol&ute à deux nappes et de révolu*

tion ayant son axe de rotation > dirigé suivant la plus courte distance du point o au plan P.

3** Cette équation (2) représente une parabole si Ton a : }ii=; 1 , et cette courbe a Taxe des x pour axe infini.

La surface sera donc dans ce cas un parabolaide de révolution ayant son axe de rotation dirigé suivant la plus courte distance du point o au plan P.

III. Lieu des points de l'espace dont les distances à un point fixe et à une droite tnm-* riable sont dans un rapport constant.

Désignons le point par o et la droite par B.

Plaçons l'origine des coordonnées au point donnéet prenons Taxe des 2 parallèle à la droite B et de plus faisons passer le plan des zx par cette droite B.

Les coordonnées du point o seront a;=Oy t/p=:0, 2;=:0» et les équations de la droite B seront y 2=^0 et xz=a.

Prenons un point m dans l'espace et représentons ses coordonnées par x\

La distance D du point m au point sera exprimée par D=k^x* +1/'' + * '-

La distance D, du point m à la droite B sera exprimée par D, = J/^ 1/'' + (a — x'y . Et comme on doit avoir g- =»*, on aura :

OU

qui sera l'équation du lieu demandé (en remplaçant x\ y, %' par «, y, *).

Cette équation (3) représente une surface de révolution dont l'axe de rotation est parallèle à l'axe des z et situé dans le plan des zx.

En faisant y=0, on aura l'équation de la courbe méridienne qui sera :

V Cette équation représentera une ellipse j si Ton a : n'<l, et la surface sera un elHpscUde de révolution.

2* Cette équation représentera une hyperbole dont l'axe transverse sera dirigé parallèlement à l'axe des a , si l'on a : ii*<4 ; et la surfaee sera un hffperbolOde à deux nappes et de révolution.

3- Si l'on suppose que Ton a : n^=^, alors Téquation du Heu demandée, se réduit à : .

qui est l'équatioD d'un cylindre dont les génératrices droites sont parallèles à Taxe des y et dont la section droite donnée par le plan des 20; est une parabole ayant le point pont foyer, la droite B pour directrice et Taxe des x pour axe infini.

IV . Lieu des points de l'espace dont les distances à une droite fixe et à un plan invariable sont dans un rapport constant.

Désignons la droite par B et le plan par P.

Prenons la droite B pour axe des z et le plan des %x perpendiculaire au plan P.

Les équations de la droite B seront x=0, yc=3 0; l'équation du plan P sera

xp=3p2 + q.

Gela posé :

Prenons un point m dans l'espace , et représentons ses coordonnées par x\

La distance D du point m à la droite B sera exprimée par D=|/^x ' +y'\ La distance D, du point m au plan P sera exprimée par D,= ^" ^/ ~ .

Et comme on doit airoir ^ c= n , on aura :

ou

qui sera l'équation du lieu demandé (en remplaçante 1 y\ s' par x, y, s).

Transportons l'origine des coordonnées au point en lequel la droite B perce le plan P; ce point a pour coordonnées

âpsso et «= — - L'équation (4) deviendra :

(?•—»'+ 1) «'+ (P"+ i)>*+«n*|i. j?*— n-fVsO (5)

Cette équation étant homogène , représente un cône ayant pour sommet l'origine des coordonnées.

Ainsi le fieti cherché est un cùne du second degré ayant son sommet au point en lequel la droite B perce le plan P.

Si l'on suppose que it = 1 ; l'équation (5) deviendra :

pV+Cp'+Dy'+S^.M-I^V^O (6)

■■, iim .MB——

Si la droite B est parallèle au plan P, alors on a p = ; l'équation (4) deviendra dans ce cas particulier :

(1— n')a;'-f.y'+2n'g.a;— nY=0 (7)

qui est Téquation d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à Taxe des %.

Et il pourra se présenter les trois cas suivants :

1* Si Ton a : n*<l , la section droite de ce cylindre par le plan xy sera une hyperbole;

2* Si l'on a : n'>l , cette section droite sera une ellipse;

S"" Si Ton a : n'= 1 » cette sectiop droite sera une parabole.

§IV

Étant données deux droites M et N dans Tespace, nous savons que le lieu des points de l'espace dont les distances à ces deux droites sont dans le rapport n, est une surface hyperboloîde à une nappe, et non de révolution H, dont l'équation est :

En se rappelant que Ton prend la droite M pour axe des z et pour l'origine des coordonnées le point en lequel la droite M est coupée par la plus courte distance existant entre les droites données M et N. De plus^ b représente la longueur de cette plus courte distance , et a représente la tangente trigonométrique de l'angle que font entre elles les deux droites données M etN.

Gela posé :

l"" Si Ton fait tourner la surface H autour de Taxe M , on aura une surface de révolution 2 qui sera l'enveloppe de Tespace parcouru par la surfSsice H, considérée comme enveloppée ;

2"" Si Ton fait tourner la surface H autour de l'axe N , on aura une surface de révolution 2. qui sera Tenveloppe de l'espace parcouru par la surface H , considérée comme enveloppée ;

On demande si les trois surfaces 2, 2,, et H, seront tangentes entre eHes suivant une même ligne?

Pour que cela ait lieu» il faut que l'on puisse mener une suite de droites

s'appuyant sur M et N , et coupant eo même temps seus l'angle droit lea aur&ces 2,2. et H.

Cherchons donc le lieu y des points en lequel se trouve coupée la surface H par une suite de normales s'appuyant sur la droite M-, cherchons ensuite le lieu y des points en lequel se trouve coupée la même surface H par une suite de normales s'appuyant sur la droite N.

Si les courbes y et y se confondent , la question sera résolue affirmativement ; dans le cas contraire la réponse sera négative.

Cherchons l'équation de la surface gauche ^ formée par là série des normales à la surface H, et s'appuyant sur la droite M ou l'axe des z.

Représentant les coordonnées d'un point m de la surface H par x\ y y z\ les équations de la normale D à cette surface, et passant par le point m, seront :

y — y'= -^ {z-^x!) et x—af= -^ {z r-i')

Si je déduis de ces deux équations , celle qui appartient à la projection de la normale sur le plan des xy , j'aurai :

''"5?-*+ di^

Or, si toutes les normales doivent passer par l'axe des 2, il faut qqe l'équation de la projection d'une normale quelconque sur le plan des xy , soit toujours de la forme x s=s my.

On devra donc avoir l'équation de condition :

.dsi . d^ ^ ,^.

Ainsi représentant l'équation de la surface H par«5=<j (a:, y), Ton devra éliminer x'y t/, z\ entre les quatre équations :

j dji , ^ . dz' M ,dsi ^

et '

Et l'on aura pour équation finale eux^y^z^ Téquation de la surface gauche (p,

fopniée par toutes les normales à la surfSice H, et passant par la droite M ou Taxe des z:

Or, pour que la proposition énoncée soit vraie, il faudra que la surftice <{; passe par la droite N , dont les équations sont :

y=s6 et xs=az

Pour que la surface ip passe par la droite N, il faudra que la normale D s'appuie sur cette droite N.

Ou bien il faudra , pour que Ténonoé soit vrai , que la surface ^\ lieu des normales à la surface H , et s'appuyant «ur la droite N , se confonde avec la surface ^.

Si la normale D s'appuie sur la droite N , on devra avoir :

Et en éliminant z entre ces deux équations on aura :

daf

équation de condition qui devra être satisfeite en même temps que l'équation de condition (1).

On devra donc avoir :

Or, cette équation (2) de condition ne peut être satisfaite que dans certains cas particuliers.

l"" Lorsque a = , c'est-à-dire lorsque les axes M eiîi sont parallèles.

Dans ce cas les axes M et N sont dans le plan des yz, et l'équation de la surface H devient :

Dans ce cas , la surface H est un cylindre dont les génératrices droites sont parallèles aux deux axes M et N ou à l'afxe des %. Lorsque a = , l'équation (2) se réduit à :

di' *£? = «

équation toujours satis&ite dans ce cas , vu la nature de la surface H.

Ainsi , dans le cas des axes M et N parallèles, les trois surfaces 2| 2, et H , sont tangentes l'une à l'autre suivant une ligne qui est évidemment une ligne droite B située dans le plan des axes M et N , et parallèle à ces axes.

2° Lorsque 6 =: 0, c'est-à-dire lorsque les axes M et fi se coupent ^ les deux axes sont dans le plan des xz^ et l'équation de la surface H devient :

x'+j^= ny+ -.— {x—azy (3)

Dans ce cas , la surface H est un cdne dont le sommet est à l'origine des coordonnées, qui est le point en lequel les droites M et N se coupent.

Tirons de l'équation (3) le ^ et le ^, nous aurons:

dz ^ n*{x — az) — x(a*+i) dx ^ an*(x — az)

et

dz ^ (a'-f-i)(n'-i)y dy an*{x — az)

Dans le cas particulier qui nous occupe toutes les normales D , pour s'appuyer sur les droites N et M, doivent être dans le plan zo;, on a donc y;=:0, et par

dz

suite — = 0.

dy

Or, l'équation (2), en vertu de ce que 6;=:0, se réduit à :

dz!'

El cette équation (2) se trouve satisfaite.

Examinons les cas suivants :