II. La spirale hyperbolique a nue droite asymptote
III. La spirale hyperbolique est composée de deux branches symétriques ayant même point asymptote et même droite asymptote. . 80
lY. Dans la spirale hyperbolique , la sous-tangente est constante 80
y. Le cône hélicoïdal est coupé par des cylindres concentriques suivant des hélices ayant
toutes même inclinaison 81
Yl. Une spirale hyperbolique étant donnée, construire la tangente en un de ses points. 83 VII. Étant donnés une droite T et un pgint d sur cette droite et un point- o horç de la droite T, construire la spirale hyperbolique passant par le point d, ayant, le point o pourpoint asymptote et la droite T pour tangente au point d 84
T%éoréme. Si l'on a deux courbes A et B tangentes l'une à l'autre en un point m ; si l'on prend un point o hors de ces courbes et que l'on mène par ce point o la droite om et une droite on perpendiculaire k om ; considérant om comme axe des y. et on comme axe des â;, on pourra transformer les courbes A et B en deux autres courbes A, et B^ en regardant le point o comme pôle ou centre commun d'une suite de cercles ayant pour rayons les ordonnées y des courbes A et B, et en enroulant sur chaque cercle l'abscisse X correspondante de ces mêmes courbes A et B, et les courbes A, et B| seront tangentes Pune à l'autre au point m, transformé du point m 84
Vin. Etant donnés deux points et une droite , construire la spirale hyperbolique ayant l'un de ces points pour asymptote et passant par l'autre point et ayant la droite pour tangente 84
IX. Étant donnés trois points, construire la spirale hyperbolique passant p«r deux de
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ces points et ayant le troisiènie pour point «syinptote 85
X. Par nn point extérieur, construire hi tangente à la spirale hyperbolique 86
S m. — De la spirale hyperbolique conique ®^
Théorème, La surface déyeloppable ï qui a pour arôte de rebroussement iitte spirale hyperbolique + est coupée par un plan Q passant par le sommet du cône de révolution (sur lequel la courbe 4 est tracée) et perpendiculaire à l*axe de ce odne soirant nn cercle ayant pour centre le sommet du cône , et pour rayon la sous-tangettte de la
spirale hyperbolique plane , projection de la courbe 4 sur le plan Q 89
Problème 1 . Construire en un point m de la spirale hyperbolique 4 , le plan oecnteteur
de cette courbe a double courbure 89
Problème 2. Construire le rayon de courbure en un point d^une spirale hyperbolique
conique 89
Problème 3. Construire le rayon de courbure en nn point d'une spirale hyperbolique
plane (deux modes de solution) ^^
S IV. Groupes de spirales différentes ^'
S V. Des spirales ayant une courbe asymptote 9^
30 De la «piffttle 4'Ai€biniéde. 9<»
fi I«r.^ Problème 1 . Oongtmire la tangente en nn point de k spirale eomqne d'Archimède. . . 98 Problème 2. Étant donnés une spirale plane d'Archimède et s<m p61e ou origine , construire la tangente en nn de ses points 99
Théorème i. Si Ton donne sur un plan P une spirale d'Archimède y'^ dont Péqnation soit
- =s a ; si par son pdie S on mènenne droite y perpendicnlaire an plan P ; «i Ton trace
Cê
sur le plan P un cercle ayant son centre au pôle S et son rayon ^al à a ; si par le point S on mène une droite G Taisant avec Taxe y un angle «, et que Ton Ause tourner la droite G autour de y, on aura un cône B de révolution et dont le demi-angle au sommet sera égal à « ; si Ton conçoit un cylindre A ayant pour section droite la spirale y^ ; et si Ton fait mouvoir une droite K parallèlement au plan P et s'appnyant mr Taxe y et sur la courbe à double courbure y , on aura une hélicotde gauche 2 ; cela posé, je dis que le cylindre A et la surface gauche z se couperont suivant une hélice H
qui coupera les génératrices droites du cylindre A sons un angle égal à « 99
Théorème 2. Dans la spirale d'Archimède la sous-normale est constante 100
Théorème 3. Étant donnée une spirale conique d*Archimède , si en un de ses pointe on construit le plan tengent au cône, sur lequel la courbe est tracée, et le plan normal à la courbe , ces deux plans se couperont suivant une normale à la courbe, qui ira percer le plan mené par le sommet du cône et perpendiculairement à l*axe de ce cône , en nn
point qui sera sitné snr un cei^le «g«nt le sommet du odsie pour sommet 108
Problème 3 ( Insolation ). Étant donnés sur nn plan une droite , on point m sur cette «hroiteen im point 'S hors de cette droite, construire la spirale d'Arobiméde ayant le point S pour pôle et passant par le point rm et ayant en ce point m la droite pour
tangente 110
Problème 4. Étant donnés trais points # , m et «^'(non en ligne droite), construire la spirale d'Arcfaimède passant par les deux points m^ et m' et ayant le point s ponr pôle. . 111
Deuxième solution du problème 3 112
De la coorbe-lien des pieds des diverses tangentes menées à la spirale plane d^Archimède. . 112
Du plan oscnlatenr de la spirale coniqne d'Archimède 113
De la spirale parabolique 113
^ Problème 5. Étant donnée une spirale conilqne d'Archimède tracée sur on oône de révo-
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lation , constmire la tangente à cette courbe pour le point sommet du cône 113
Problème 6. Étant donnée une spirale conique d'Archimède tracée sur un cône de révolution, construire la tangente au pâle US
De la forme que doit avoir la spirale plane d'Archimède 116
Le rayon de courbure au pâle ou sommet de la spirale d'Archimède est nul 117
$11. — 1» Du conoTde à courbe directrice plane 119
20 Du oonoïde & directrice à double courbure 120
Transformation du conoïde en un cylindre. 121
La projection de la courbe intersection de la surface annulaire par le conoïde a directrice à
double courbure est une spirale d'Archimède (voûte d'arête en tour ronde) 122
Construction de la tangente en un point de la spirale d'Archimède 123
Étant donnée une spirale d'Archimède , construire une surface annulaire et nue surface conoïde telles que leur intersection ( ou courbe de pénétration ) se projette suivant un
arc de la courbe donnée 123
Construction de la tangente en un point de la spirale tangoitofde 124
Construction de la tangente au point culminant , on mieux au pomt multiple de la eoorbeintersection d'une surface annulaire et d'une surface oonofde ayant même naitSMKit et
même montée 125
Nouvelle construction de la tangente à la spirale d'Archimède et i la sfurale tangentoSde. . 127 Étant donnée une spirale d'Archimède , trouver le point de cette courbe pour lequel la
tangente et le rayon vecteur font entre eux n» angje donné »... 128
S 111. — La spirale d'Archimède peut être considérée comme la prcgection horizontale de la pénétration d'une vis Saint^Giles et d'un conoïde rampant. 129
S lY. — > Nouvelle construction de la tangente en un point d'une spirale d'Archimède. ... 133
Simplification dans la construction de la tangente 134
S V. «— Du lieu géométrique des foyers dessections elliptiques d'un conoïde droit ou oblique. . 136
Nouveau conoïde elliptique 140
Théorème. Toute snriiftoe gauche engendrée par une droite G se mouvant parallèlement à un plan H en s'appuyant sur. une droite Z et sur une courbe arbitraire à simple ou à double courbure C , est coupée par deux plans X et X' parallèles entre eux et à la directrice droite Z , suivant deux courbes E et E', telles que si par la droite I intersection du
plan directeur H et du plan sécant X, on mène une suite de plans P, P, , P., et par
la courbe E une suite de cylindres a, à,, à,, ayant leurs génératrices droites respectivement parallèles aux plans P, P, , P., on pourra toujours mener par la droite
Z, parallèle à la droite Z et située dans le plan X , une suite de plans R , R, , R,,
tels qu'ils coupent respectivement les cylindres a , ^,, ^, suivant des courbes D ,
D,,D., toutes identiques ou superposables entre elles et la section E' 144
Constructions d'un second nouveau conoïde elliptique. 147
S VL — 1. Sections elliptiques des conoSdes du genre ^ 149
